求解答： 高中数学竞赛的两道基础训练题。 高中数学竞赛题，急求解答
\u6c42\u4e0b\u5217\u51e0\u9053\u9ad8\u4e2d\u6570\u5b66\u7ade\u8d5b\u9898\u7684\u89e3\u7b54\u6211\u505a\u51fa\u6765\u4e863-5\u9898\uff0c\u81f3\u4e8e1\u30012\u9898\uff0c\u60f3\u51fa\u6765\u4e86\u518d\u8865\u5145\uff0c\u5bf9\u4e86\uff0c\u4f60\u7b2c\u4e00\u9898\u7684\u9898\u610f\u4f3c\u4e4e\u6709\u4e9b\u4e0d\u660e\uff0c\u80fd\u4e0d\u80fd\u518d\u5199\u6e05\u695a\u4e00\u70b9\u3002
3.\u663e\u7136m\u22610,1,2,3(mod4)\uff0c\u4e0b\u9762\u4f9d\u6b21\u8ba8\u8bba\u3002
\u82e5m\u22610(mod4)\uff0c\u90a3\u4e48A[1]\u2261m^5+487\u2261487\u22613(mod4)\uff0cA[2]\u2261A[1]^5+487\u2261(-1)^5+487\u22612(mod4)\uff0cA[3]\u2261A[2]^5+487\u22613(mod4)\uff0c\u8fd9\u6837\u6613\u5f97A[4]\u22612(mod4)\uff0cA[5]\u22613(mod4)\uff0c\u2026\u2026\uff0c\u8fd9\u6837\u4f9d\u6b21\u5faa\u73af\u3002\u800c\u5b8c\u5168\u5e73\u65b9\u6570\u5bf94\u53d6\u6a21\u5e94\u4f590\u62161\uff0c\u8fd9\u6837A[n]\u4e2d\u81f3\u591a\u53ea\u6709\u4e00\u4e2a\u5b8c\u5168\u5e73\u65b9\u6570(A[0])\u3002
\u82e5m\u22611(mod4)\uff0c\u90a3\u4e48\u6613\u77e5A[1]\u22610(mod4)\uff0cA[2]\u22613(mod4)\uff0cA[3]\u22612(mod4)\uff0cA[4]\u22613(mod4)\uff0c\u2026\u2026\uff0c\u6b64\u65f6\u81f3\u591a\u67092\u4e2a\u5b8c\u5168\u5e73\u65b9\u6570(A[0]\u548cA[1])\u3002
\u540c\u6837\u7684\u5206\u6790\uff0c\u82e5m\u22612\u62163(mod4)\uff0c\u90a3\u4e48A[n]\u4e2d\u4e0d\u53ef\u80fd\u6709\u5b8c\u5168\u5e73\u65b9\u6570\u3002
\u7531\u4e0a\u77e5A[n]\u4e2d\u81f3\u591a\u67092\u4e2a\u5b8c\u5168\u5e73\u65b9\u6570\uff0c\u4e14\u53ea\u53ef\u80fd\u4e3aA[0]\u548cA[1]\uff0c\u4e0b\u9762\u6c42m\u7684\u503c\u4f7fA[0]\u548cA[1]\u90fd\u4e3a\u5b8c\u5168\u5e73\u65b9\u6570\u3002
\u8bbeA[0]=m=k²\uff0c\u90a3\u4e48\u8bbeA[1]=m^5+487=k^10+487=n²\uff0c\u2234487=n²-k^10=(n-k^5)(n+k^5)\u3002\u6ce8\u610f\u5230487\u662f\u8d28\u6570\uff0c\u90a3\u4e48n-k^5=1\uff0cn+k^5=487\uff0c\u89e3\u5f97k=3\uff0c\u2234m=9\u3002\u7ecf\u68c0\u9a8c\uff0cm=9\u65f6A[0]\u548cA[1]\u5747\u4e3a\u5b8c\u5168\u5e73\u65b9\u6570\uff0c\u2234\u6240\u6c42m\u5373\u4e3a9\u3002
4.a³+b³=(a+b)(a²+b²-ab)=p^n\uff0c\u663e\u7136a+b>1\uff0c\u90a3\u4e48p|a+b
\u5047\u5982p=3\uff0c\u90a3\u4e48a³+b³=(a+b)(a²+b²-ab)=3^n\u3002\u8bbea²+b²-ab=3^i
\u5982\u679ci\u22641\uff0c\u5f53i=0\u65f6a²+b²-ab=1\uff0c\u90a3\u4e481=a²+b²-ab\u2265ab\uff0c\u2234a=b=1\uff0c\u5f973^n=2\uff0c\u77db\u76fe\uff01\uff1b\u5f53i=1\u65f63=a²+b²-ab\u2265ab\uff0c\u2234a,b\u4e2d\u81f3\u5c11\u6709\u4e00\u4e2a\u4e3a1\uff0c\u53c83|a+b\uff0c\u2234\u53e6\u4e00\u4e2a\u4e3a2\uff0c\u6b64\u65f63^n=9\uff0c\u2234n=2\uff0c\u7531\u6b64\u5f97\u5230\u4e24\u7ec4\u89e3(1,2,3,2),(2,1,3,2)
\u5982\u679cn\u22642\uff0c\u6613\u77e5n\u22600\uff0c\u5f53n=1\u65f6(a+b)(a²+b²-ab)=3\uff0c\u90a3\u4e48a+b=3\uff0ca²+b²-ab=1\u2265ab\uff0c\u77db\u76fe\uff01\u5f53n=2\u65f6\uff0c\u6b64\u65f6a³+b³=(a+b)(a²+b²-ab)=3^2\uff0c\u2234a+b=a²+b²-ab=3\uff0c\u5f97a,b\u4e00\u4e2a\u4e3a1\uff0c\u4e00\u4e2a\u4e3a2\u3002\u5373\u5f97\u5230\u5148\u524d\u6c42\u5f97\u7684\u4e24\u7ec4\u89e3(1,2,3,2),(2,1,3,2)
\u5373\u5f53i\u22641\u6216n\u22642\u65f6\u6709\u4e24\u7ec4\u89e3(1,2,3,2),(2,1,3,2)\uff0c
\u5982\u679ci\u22652(\u5373a²+b²-ab\u22659)\u4e14n\u22653\uff0c\u90a3\u4e483|a+b\uff0c\u4e143²|a²+b²-ab=(a+b)²-3ab\uff0c\u22343²|3ab\uff0c\u53733|ab\uff0c\u22343|a\u4e143|b\uff0c\u8fd9\u6837(a/3)³+(b/3)³=(a/3+b/3)((a/3)²+(b/3)²-(a/3)(b/3))=3^(n-3)\uff0c\u82e5\u6b64\u65f6\u4ecd\u6709(a/3)²+(b/3)²-(a/3)(b/3)\u22659\u4e14n-3\u22653\uff0c\u90a3\u4e48\u91cd\u590d\u4ee5\u4e0a\u6b65\u9aa4\uff0c\u91cd\u590dk\u6b21\u4ee5\u540e(a/3^k)³+(b/3^k)³=(a/3^k+b/3^k)((a/3^k)²+(b/3^k)²-(a/3^k)(b/3^k))=3^(n-3k)\uff0c\u6b64\u65f6\u6709(a/3^k)²+(b/3^k)²-(a/3^k)(b/3^k)\u22643\u6216n-3k\u22642\uff0c\u5982\u4e0a\u5206\u6790\u6709a/3^k=1\uff0cb/3^k=2\uff0cn-3k=2\u6216a/3^k=2\uff0cb/3^k=1\uff0cn-3k=2\uff0c\u5373(a,b,p,n)=(3^k,2\u00b73^k,3,3k+2)\u6216(2\u00b73^k,3^k,3,3k+2)(k\u2208N)\u3002\u8fd9\u91cc(1,2,3,2)\u4e0e(2,1,3,2)\u8fd9\u4e24\u7ec4\u89e3\u4e5f\u53ef\u6982\u62ec\u8fdb\u6765\u3002\u7ecf\u68c0\u9a8c(3^k,2\u00b73^k,3,3k+2)\u4e0e(2\u00b73^k,3^k,3,3k+2)(k\u2208N)\u5747\u662f\u539f\u65b9\u7a0b\u7684\u89e3\u3002
\u5047\u5982p\u22603
\u5982\u679cn\u22642\uff0c\u6613\u77e5n\u22600\uff0c\u5f53n=1\u65f6a³+b³=(a+b)(a²+b²-ab)=p\uff0c\u2234a²+b²-ab=1\u2265ab\uff0ca+b=p\uff0c\u2234a=b=1\uff0cp=2\uff0c\u6b64\u65f6\u5f97\u5230\u4e00\u7ec4\u89e3(1,1,2,1)\u3002\u5982\u679cn=2\uff0c\u6b64\u65f6a³+b³=(a+b)(a²+b²-ab)=p^2\uff0c\u2234a+b=p^2\uff0ca²+b²-ab=1\u6216p=a+b=a²+b²-ab\u3002\u82e5\u662f\u524d\u8005\u5219a=b=1\uff0cp^2=2\uff0c\u77db\u76fe!\u6545p=a+b=a²+b²-ab\u2265ab\uff0c\u2234a\u2265b(a-1)\u3002\u82e5a,b\u90fd\u4e0d\u5c0f\u4e8e2\uff0c\u90a3\u4e48a\u2265b(a-1)\u22652(a-1)\uff0c\u5f97a\u22642\uff0c\u2234a=2\uff0c\u90a3\u4e48b²+4-2b=b+2\uff0c\u5f97b=1\u62162\uff0c\u2234p=3\u62164\uff0c\u77db\u76fe!\uff0c\u2234a,b\u81f3\u5c11\u6709\u4e00\u4e2a\u4e3a1\uff0c\u5f53a=1\u65f6\uff0cb²+1-b=b+1\uff0c\u5f97b=2\uff0c\u540c\u7406b=1\u65f6a=2\uff0c\u6b64\u65f6p=3\uff0c\u77db\u76fe!
\u7efc\u4e0an\u22642\u65f6\u6709\u4e00\u7ec4\u89e3(1,1,2,1)\u3002
\u5982\u679cn\u22653\uff0c\u90a3\u4e48(a/p)³+(b/p)³=p^(n-3)\uff0c\u6b64\u65f6\u82e5\u4ecd\u6709n-3\u22653\uff0c\u5219\u7ee7\u7eed\u91cd\u590d\uff0ck\u6b21\u540e(a/p^k)³+(b/p^k)³=p^(n-3k)\u3002\u8bbe\u6b64\u65f6\u521a\u597d\u4f7fn-3k\u22642\uff0c\u5982\u4e0a\u5206\u6790\uff0c\u6b64\u65f6a/p^k=b/p^k=1,p=2,n-3k=1\uff0c\u5f97a=b=2^k\uff0cp=2\uff0cn=3k+1\uff0c\u5373(a,b,p,n)=(2^k,2^k,2,3k+1)(k\u2208N)\uff0c(1,1,2,1)\u4e5f\u53ef\u5f52\u7eb3\u8fdb\u53bb\uff0c\u7ecf\u68c0\u9a8c(2^k,2^k,2,3k+1)(k\u2208N)\u662f\u539f\u65b9\u7a0b\u7684\u89e3
\u7efc\u4e0a\u6240\u8ff0\uff0c(a,b,p,n)=(3^k,2\u00b73^k,3,3k+2)\u6216(2\u00b73^k,3^k,3,3k+2)\u6216(2^k,2^k,2,3k+1)(k\u2208N)
5.\u5047\u8bbe\u5b58\u5728\u8fd9\u6837\u7684n
\u56e0\u4e3an\u65e0\u5e73\u65b9\u56e0\u5b50\u4e14\u6070\u597d\u88ab2011\u4e2a\u4e0d\u540c\u7684\u8d28\u6570\u6574\u9664\uff0c\u53ef\u8bben=p[1]p[2]...p[2011]\uff0c\u8fd9\u91ccp[1],p[2],...,p[2011]\u4e3a\u4e92\u4e0d\u76f8\u540c\u7684\u5947\u8d28\u6570(\u663e\u7136n\u4e3a\u5947\u6570)\u4e14p[1]<p[2]<...<p[2011]\u3002
\u2235n|2^n+1\uff0c\u2234p[1]|2^n+1\uff0c2^n\u2261-1(modp[1])\uff0c\u22342^(2n)\u22611(modp[1])\uff0c\u53c8\u6613\u77e5(p[1],2)=1\uff0c\u7531\u8d39\u9a6c\u5c0f\u5b9a\u7406\u5f972^(p[1]-1)\u22611(modp[1])\uff0c\u22342^(2n,p[1]-1)\u22611(modp[1])\u3002\u6613\u77e5n\u4e0ep[1]-1\u4e92\u8d28(\u5426\u5219n\u6709\u5c0f\u4e8ep[1]\u5927\u4e8e1\u7684\u56e0\u6570)\uff0c\u2234(2n,p[1]-1)=2\uff0c\u22342^2\u22611(modp[1])\uff0c\u5373p[1]|3\uff0cp[1]=3
\u8bbek=p[2]p[3]...p[2011]\uff0c\u90a3\u4e48p[2]|2^(3k)+1=8^k+1\uff0c\u22348^k\u2261-1(modp[2])\uff0c\u22348^(2k)\u22611(modp[2])\uff0c\u800c8^(p[2]-1)\u22611(modp[2])\uff0c\u22348^(2k,p[2]-1)\u22611(modp[2])\u3002\u53738^2\u22611(modp[2])\uff0c\u5f97p[2]|63\uff0c\u53c8p[2]\uff1e3\uff0c\u90a3\u4e48p[2]=7
\u22347|8^k+1\uff0c\u4f468^k+1\u22611^k+1\u22612(mod7)\uff0c\u77db\u76fe\uff01
\u2234\u8fd9\u6837\u7684n\u4e0d\u5b58\u5728
\u4e0d\u76f8\u7b49\u554a
这个定理属于高维东。
我找到了，照抄给大家。
首先，证明对素数P成立。
若有反例a1 a2 ……an
任取p个，做和（x1+x2+……+xp）≠0（mop p）
则由费尔马小定理，（x1+x2+……+xp）^(p-1)=1（mop p）
跑遍求和，
∑（x1+x2+……+xp）^(p-1)=∑1（mop p）
右=C（2p-1,p）≡(2p-1)!/[(p!)（p-1）!]≡1（mod p）
(把p约掉，用Wilson定理)
左边等于什么呢？其中的某一项（以p=13为例）如
a1^2*a2^5*a3^4*a4（m个项，幂数分为k1,k2,……,km）
共展开于若干个(α)括号，每个括号提供若干(β)项，一共就是
αβ=C（2p-1-m,p-m）*β。那个C什么什么的一定能被P整除。不是吗？写写就知道了。
于是左边的∑是0（mod p）,和右边为1矛盾。
对P就证明完了。
假如A，B都被证明满足奇异条件。
对于2AB-1个数{x_n}，从中抽出A个，做和A1为A的倍数；再抽出A个，和也要求是A的倍数A2；一直可以得到2B-1组。（这样最后留下了孤零零的A-1个数）
看看A1,A2,……A_(2B-1)这2B-1个数，自然可以抽出B个，使其和为B的倍数。
这些数对应的x就是AB个数{x_l}，其和为A的倍数之后，还是B得倍数。
这样就证明了该命题。
2.我估计我能写出证明了。刨去K=2和K=N这两个平凡解。
两点间有连线，就连红线；无连线，就连蓝线。
对于某个(N,K)，这样考虑，假如有反例，就是K个点内的小组织很团结，但是N点不团结，我们就考察这个反例，刨去它。
求所有有反例的K即可。
对某个反例图G0，必然有，N个点每个点都有蓝线射出，但是任何一个K点小组织都很红很团结。
G0如果适当的删去一些蓝线换成红线，得到的G也必定是反例。
如何删得干净点呢？
点x1和x2有蓝线相连，把这两点记作一个整体B2。若其他点和B2无蓝线相连，就称B2为x1出发的扩张完毕。若有x3与B2有连蓝线，则x1 x2 x3就是B3；依此扩张至不能再扩张为止。这个B内包含m个点，m-1条蓝线。称这种图形叫“路”。路是不是很像烃？
然后再在剩下的点中选一个扩张中心，再次扩张，得到一个扩张完毕的路C。
D，E……
记得到蓝线系统被缩编为路A1,A2，……,As。（按成员多少从大到小排列）
我们要证明，这样的缩编，对某些K，总有“蓝倾”的不太红不太团结的K点小组。（就是说，反例是不成立的——很拗口很搞脑子= =！）
以上是准备工作。对N为奇数时，A1不小于3
若图G是反例G0（N,K）缩编的结果。
K是W=As+As-1+……+Ar——呔！不能再加了，加一个就超了（或到了）时
若K>W+1=W+w，则As+As-1+……+Ar再在A1中抽前w个点，这些点就是刚好K个，而且每个点在小组内都有蓝线射出。
若K=W+1,适当构造仍有反例。可以自己试试。如果你领会这个证明的精神。（若As=2……若否……）
说明对N位奇数，举不出反例。
思路相同，对于n为偶数,对反例，一样有A1,A2，……,As
如果大家都是2就有好戏看了，是不是？我们证明它。
1）若A1>=3则如奇数情形讨论，不存在这样的反例。
2）若A1=2
就是说，x1x2 x3x4 x5x6 ……抱对。
此时对K为偶数一样，“反例”可以轻易推翻。
对K位奇数，不难证明，此时恰好是成立的反例。
综上所述，对N为奇数，K可以取遍2到N；对N为偶数，K为2到N间的偶数。
应该不错。
不会，我才初二。
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