高效学习概率论之（公式与性质）
高效学习概率论之（公式与性质）如下：
一、概率论的基本概念
事件的运算律：
交换律：A∪B＝B∪AA＼cupB＝B＼cupAA＼cupB＝B＼cupAAB＝BAAB＝BAAB＝BA
结合律：（A∪B）∪C＝A∪（B∪C）（A＼cupB）＼cupC＝A＼cup（B＼cupC）（A＼cupB）＼cupC＝A＼cup（B＼cupC）（A∩B）∩C＝A∩（B∩C）（A＼capB）＼capC＝A＼cap（B＼capC）（A＼capB）＼capC＝A＼cap（B＼capC）
分配律：（AUB）C＝（AC）U（BC）（AUB）C＝（AC）U（BC）（AUB）C＝（AC）U（BC）
AU（BC）＝（AUB）（AUC）AU（BC）＝（AUB）（AUC）AU（BC）＝（AUB）（AUC）
摩根律：A∪B¯＝A¯∩B¯＼bar{A＼cupB}＝＼bar{A}＼cap＼bar{B}＼bar{A＼cupB}＝＼bar{A}＼cap＼bar{B}
A∩B¯＝A¯∪B¯＼bar{A＼capB}＝＼bar{A}＼cup＼bar{B}＼bar{A＼capB}＝＼bar{A}＼cup＼bar{B}
减法运算：A−B＝AB¯A-B＝A＼bar{B}A-B＝A＼bar{B}
条件概率：
若P（B|A）＝P（AB）P（A）（若P（A）＞0）P（B|A）＝＼frac{P（AB）}{P（A）}（若P（A）＞0）P（B|A）＝＼frac{P（AB）}{P（A）}（若P（A）＞0）
若P（A|B）＝P（AB）P（B）（若P（B）＞0）P（A|B）＝＼frac{P（AB）}{P（B）}（若P（B）＞0）P（A|B）＝＼frac{P（AB）}{P（B）}（若P（B）＞0）
乘法法则：
若P（AB）＝P（A）P（B|A）（若P（A）＞0）P（AB）＝P（A）P（B|A）（若P（A）＞0）P（AB）＝P（A）P（B|A）（若P（A）＞0）
若P（AB）＝P（B）P（A|B）（若P（B）＞0）P（AB）＝P（B）P（A|B）（若P（B）＞0）P（AB）＝P（B）P（A|B）（若P（B）＞0）
P（A1A2…An）＝P（A1）P（（A2|（A1）×P（（A3|（A1A2）…P（（An|（A1…（An−1）P（{A_{1}}{A_{2}}…{A_{n}}）＝P（{A_{1}}）P（（{A_{2}}|（{A_{1}}）＼timesP（（{A_{3}}|（{A_{1}}{A_{2}}）…P（（{A_{n}}|（{A_{1}}…（{A_{n-1}}）P（{A_{1}}{A_{2}}…{A_{n}}）＝P（{A_{1}}）P（（{A_{2}}|（{A_{1}}）＼timesP（（{A_{3}}|（{A_{1}}{A_{2}}）…P（（{A_{n}}|（{A_{1}}…（{A_{n-1}}）
全概率公式：
若事件A1A_{1}A_{1}，A2A_{2}A_{2}，…构成一个完备事件组，且都具有正概率，则对任何一个事件B，有
P（B）＝∑P（Ai）P（B|Ai）P（B）＝＼sum_{}P（A_{i}）P（B|A_{i}）P（B）＝＼sum_{}P（A_{i}）P（B|A_{i}）
贝叶斯公式：
若A，A2，…构成一个完备事件组，且均具有正概率，则对任何一个概率不为零的事件B，有
P（Am|B）＝P（Am）P（B|Am）∑iP（Ai）P（B|Ai）P（A_{m}|B）＝＼frac{P（A_{m}）P（B|A_{m}）}{＼sum_{i}P（A_{i}）P（B|A_{i}）}P（A_{m}|B）＝＼frac{P（A_{m}）P（B|A_{m}）}{＼sum_{i}P（A_{i}）P（B|A_{i}）}
事件独立性结论：
事件与独立事件A与B独立⇒P（AB）＝P（A）P（B）事件A与B独立＼RightarrowP（AB）＝P（A）P（B）事件A与B独立＼RightarrowP（AB）＝P（A）P（B）
若事件与独立则与与与中的每一对事件都相互独立若事件A与B独立，则A与B¯，A¯与B，A¯与B¯中的每一对事件都相互独立若事件A与B独立，则A与＼bar{B}，＼bar{A}与B，＼bar{A}与＼bar{B}中的每一对事件都相互独立若事件A与B独立，则A与＼bar{B}，＼bar{A}与B，＼bar{A}与＼bar{B}中的每一对事件都相互独立
若事件相互独立则若事件A1，An相互独立，则P（A1…An）＝∏i＝1nP（Ai）若事件A_{1}，A_{n}相互独立，则P（A_{1}…A_{n}）＝＼prod_{i＝1}＾{n}P（A_{i}）若事件A_{1}，A_{n}相互独立，则P（A_{1}…A_{n}）＝＼prod_{i＝1}＾{n}P（A_{i}）
若事件相互独立则若事件A1，An相互独立，则P（∑i＝1nAi）＝1−∏i＝1nP（Ai）若事件A_{1}，A_{n}相互独立，则P（＼sum_{i＝1}＾{n}{A_{i}}）＝1-＼prod_{i＝1}＾{n}P（A_{i}）若事件A_{1}，A_{n}相互独立，则P（＼sum_{i＝1}＾{n}{A_{i}}）＝1-＼prod_{i＝1}＾{n}P（A_{i}）
伯努利定理：
设一次试验中事件A发生的概率为p（0＜p＜1），则n重伯努利试验中，事件A恰好发生k次的概率P_{n}（k）为
其中Pn（k）＝CnkPKqn−k（k＝0，1，…，n）其中q＝1−pP_{n}（k）＝C_{n}＾{k}P＾{K}q＾{n-k}（k＝0，1，…，n）其中q＝1-pP_{n}（k）＝C_{n}＾{k}P＾{K}q＾{n-k}（k＝0，1，…，n）其中q＝1-p。
绛旓細鏈功浠ュ叾绯荤粺銆佹柊棰栧拰娓呮櫚鐨勭紪鎺掞紝涓瀛︿範姒傜巼璁轰笌鏁扮悊缁熻鐨勫鐢熸彁渚涗簡鏈夊姏鐨勮緟瀵间笌涔犻瑙ｆ瀽銆傞鍏堬紝瀹冧互鍥捐〃鍜岀簿鍑嗙殑鑰冪偣鎻愮偧鐩哥粨鍚堢殑鏂瑰紡锛屽鏁欐潗鍐呭杩涜浜嗙簿鐐肩殑姒傛嫭锛屼娇寰楀鏉傜煡璇嗗彉寰楃洿瑙傛槗鎳傘傞氳繃鏉冨▉鐨勯鍨嬪綊绾筹紝鏁欐潗鍐呭琚畝娲佹槑浜嗗湴闃愯堪锛屽府鍔╄鑰呭揩閫熺悊瑙ｅ拰鎺屾彙锛屽舰鎴愮ǔ鍥虹殑鐭ヨ瘑鍩虹锛屼负鍚庣画鎻愰珮...
绛旓細鐒跺悗灏辨槸姒傜巼璁浜,杩欎篃鏄垜瑙夊緱鏈鎬曠殑涓閮ㄥ垎銆傚垰濂芥湁涓澶╀腑鍗堝緢鐑﹁簛娌＄潯濂,涓嬪崍 瀛︿範娌＄簿绁,浜庢槸鍘讳功搴楅涗簡閫,鍑嗗涔颁竴鏈鐜囪緟瀵间功,杩欎篃鏄垜鑰冪爺鐢ㄧ殑绗竴鏈嚜 宸变拱鐨2003鐗堢殑涔,鍏朵粬鐨勯兘鏄埆浜洪佺殑鏃х増鐨,鎵浠ュ鏋滀綘缁忔祹鏈夌偣鍥伴毦鐨勮瘽,涔版棫 鐗堟暀鏉愭槸涓鏍风殑,鍏抽敭浣犺鐪熸瀛﹀埌涓滆タ銆傚湪涔﹀簵鐪嬪埌浜嗕竴鏈瀛熻嚕...
绛旓細銆姒傜巼璁轰笌鏁扮悊缁熻杈呭鍙婁範棰樼簿瑙ｃ嬩竴涔︿互绯荤粺銆佹柊棰栧拰娓呮櫚鐨勭紪鍐欐柟寮忥紝鐙壒鍦板憟鐜颁簡涓夊ぇ鐗硅壊锛屽府鍔╄鑰楂樻晥瀛︿範鍜鎺屾彙鐭ヨ瘑銆傞鍏堬紝浣滆呬互鍥捐〃鍜岀簿鍑嗙殑鑰冪偣鎻愮偧锛屽皢鏁欐潗鍐呭绠鍖栵紝浣夸箣鏄撲簬鐞嗚В鍜岃蹇嗐傞氳繃鏉冨▉鐨勯鍨嬪綊绾筹紝灏嗗鏉傜殑姒傚康绠鍖栦负鏄撲簬鐞嗚В鐨勬鏋讹紝渚夸簬璇昏呭揩閫熷涔狅紝褰㈡垚绋冲浐鐨勭煡璇嗕綋绯伙紝涓烘彁鍗...
绛旓細楂樻柉杩囩▼锛氶珮鏂繃绋嬫槸涓绉嶉噸瑕佺殑闅忔満杩囩▼锛屽畠鍦ㄧ粺璁″鍜屾満鍣瀛︿範涓湁骞挎硾鐨勫簲鐢ㄣ傞珮鏂繃绋嬬殑鏍稿績鏄崗鏂瑰樊鐭╅樀锛岃繖鏄竴涓嚎鎬т唬鏁板璞°傞氳繃鐮旂┒鍗忔柟宸煩闃电殑鎬ц川锛屾垜浠彲浠ヤ簡瑙ｉ珮鏂繃绋嬬殑鐗圭偣鍜岃涓恒姒傜巼璁鍦ㄨ繖閲屾彁渚涗簡涓涓悊璁哄熀纭锛屼娇鎴戜滑鑳藉瀵归珮鏂繃绋嬭繘琛屽缓妯″拰鍒嗘瀽銆備俊鍙峰鐞嗭細鍦ㄤ俊鍙峰鐞嗛鍩燂紝鎴戜滑缁忓父...
绛旓細濡傛灉璁や负鑷繁鐨勫熀纭纭疄涓嶅ソ锛岄偅涔堜綘鑲畾闇瑕佹彁鍓嶇敋鑷虫槸姣忓ぉ澶氳姳鏃堕棿杩涜澶嶄範銆傝繖涓樁娈靛缁濆ぇ澶氭暟鍚屽鏉ヨ锛岄兘搴旂ǔ绋冲綋褰撶殑澶嶄範鏁欐潗锛屾棤璁烘槸鏁颁竴銆佹暟浜屻佹暟涓夛紝浠ヤ笅鏁欐潗閮芥槸涓嶄簩閫夋嫨銆備笁銆佹暟瀛﹀涔犳暀鏉愮殑閫夋嫨 1銆侀珮绛変唬鏁帮細鍚屾祹澶у绗叚鐗(涓娿佷笅涓ゅ唽)2銆佺嚎鎬т唬鏁帮細鍚屾祹澶у绗簲鐗 3銆姒傜巼缁熻锛氭禉姹...
绛旓細姹傞嗘柟闃点佹眰鐭╅樀鐨勭З锛岃В绾挎ф柟绋嬬粍绛夐兘绂讳笉寮鐭╅樀鐨勫垵绛夊彉鎹紝瑕佹噦寰楀叾涓殑閬撶悊锛屼负浠涔堝彲浠ョ敤鍒濈瓑鍙樻崲瑙ｅ喅浠ヤ笂闂锛岀悊璁轰緷鎹槸浠涔堬紵鏄綔鍒濈瓑琛屽彉鎹㈣繕鏄垪鍙樻崲銆傚張濡傦紝绾挎ф柟绋嬬粍瑙ｇ殑瀛樺湪瀹氱悊鍙婅В鐨勭粨鏋勫畾鐞嗭紝鍒ゆ柇鍚戦噺缁勭嚎鎬х浉鍏充笌绾挎ф棤鍏崇殑鏈夊叧瀹氱悊锛岄兘鏄繀椤荤墷璁扮殑銆傚湪姒傜巼璁鐨瀛︿範涓紝寰Н鍒嗙煡璇...
绛旓細鈶″紶瀹囪冪爺鏁板绯诲垪锛氬紶瀹囩殑楂樻暟18璁诧紝绾夸唬9璁鍜屾鐜囪9璁叉槸鎴戣寰楁瘮杈冨ソ鐨勮祫鏂欎功锛屽洜涓哄熀鏈笂閫氳繃姣忎竴璁叉妸鐭ヨ瘑鐐瑰拰鑰冭瘯棰樼洰閮芥兜鐩栧叏闈紝楂樻暟18璁插緢澶氬悓瀛﹂兘浜烘墜涓鏈紝閲岄潰鐨勯鐩缃拰璁茶В閰嶅悎瑙嗛璧勬枡涓璧瀛︿範姣旇緝鎵庡疄锛岄毦搴︿篃閫備腑锛岃创鍚堣冪爺銆傚湪鍩虹闃舵閫傚悎鍚勪綅浣跨敤锛岄鐩毦搴﹀拰鏂版剰涔熸瘮杈冮傚悎璁＄畻鏈轰笓涓...
绛旓細浣犲ソ锛佷綔涓烘浘缁忕殑鑰冪爺浜猴紝鍏充簬鑰冪爺鏁板鐨勫涔狅紝鍑犵偣寤鸿锛氬繀椤绘爲绔嬫纭殑瀛︿範蹇冩 瀛︿範涓嶈兘閫熸垚锛岃繖涓亾鐞嗗ぇ瀹跺績鐭ヨ倸鏄庯紝浣嗗悓瀛︿滑渚濈劧鍦ㄥ鎵惧揩鎹锋柟娉曠殑璺笂涓嶇煡鐤插︺備粖澶╁氨鏄庣‘鍛婅瘔澶у瀛︿範娌℃湁閫熸垚鐨勬柟娉曪紝鍙湁楂樻晥鐨勫涔犳柟娉曡浣犲皯璧板集璺紝浠ユ渶灏戠殑鏃堕棿銆佺簿鍔涘彇寰楁渶澶х殑鎴愭灉銆傛暟瀛﹀挨鍏跺姝わ紝鐩樻牴閿欒妭鐨...
绛旓細鍩虹闃舵(3鏈-6鏈)1.瀛︿範鐩爣锛氫笉鐣欐瑙掑湴澶嶄範姣忎釜鐭ヨ瘑鐐 2.闃舵閲嶇偣锛氭寜鐓ф暀鏉愰愪竴姊崇悊姣忎釜绔犺妭鐨勬瘡涓煡璇嗙偣锛屽苟鍋氳鍚庝範棰 3.澶嶄範寤鸿锛(1)鎸夌収绔犺妭椤哄簭缁撳悎澶х翰姊崇悊鏁欐潗锛屼笉鐣欐瑙掑拰绌虹櫧銆(2)瀵逛簬閲嶈鐨勫畾鐞嗐鍏紡锛屼笉鑳藉浠呭仠鐣欏湪鈥滅湅鎳備簡鈥濈殑灞傞潰涓婏紝涓瀹氳鑷繁浜叉墜鎺ㄥ鍏惰瘉鏄庤繃绋嬨(3)姣忓ぉ...
绛旓細閫嗗悜鎯筹紝宸у彉褰紝缁煎悎鐢ㄩ浂璺濈澶囪冩硶鍚岃涓夎鍑芥暟鐨勫熀鏈叧绯诲紡渚嬫瀽1.3銆涓夎鍑芥暟鐨勮瀵鍏紡閲嶉毦鐐圭獊鐮存硶銆婁笁瑙掑嚱鏁扮殑璇卞鍏紡銆嬪瀛﹁皥姝ｅ鸡銆佷綑寮︾殑璇卞鍏紡璇卞鍏紡鍦ㄤ簬鈥滆鈥濇槗閿欑偣杈ㄦ瀽娉曟妸鎻¤鐐硅繙绂昏鍖楂樻晥鑳借В棰樻硶璇卞鍏紡鍏镐緥鍓栨瀽璇变汉鐨勮瀵煎叕寮忛浂璺濈澶囪冩硶璇卞鍏紡鑰冩儏鍒嗘瀽1.4銆涓夎鍑芥暟鐨勫浘璞涓庢...
