在三角形ABC中，求证 a^2(b+c-a)+b^2(c+a-b)+c^2(a+b-c)<=3abc 用排序不等式证明，谢谢了啊！在线等答案啊 三角形ABC三边长a,b,c满足等式a^2(b-c)+b^2...

\u4e09\u89d2\u5f62ABC\u4e09\u8fb9abc\uff0c\u6c42\u8bc1\uff1aa^2/\uff08b+c-a)+b^2/(c+a-b)+c^2/(a+b-c)>=a+b+c

\u6b64\u9898\u5e94\u4ed4\u7ec6\u89c2\u5bdf\u5f85\u8bc1\u5f0f\u5de6\u8fb9\u7684\u5206\u6bcd,\u53ef\u4ee5\u53d1\u73b0\uff08b+c-a)+(c+a-b)+(a+b-c)=a+b+c,\u6545\u53ef\u5229\u7528\u5747\u503c\u4e0d\u7b49\u5f0f\u89e3\u51b3.

\u89e3:\u7531\u9898\u6613\u77e5a>0,b>0,c>0.
\u7531\u5747\u503c\u4e0d\u7b49\u5f0fa+b>=2\u221a(ab)\u6709
[a^2/\uff08b+c-a)]+\uff08b+c-a)>=2\u221a(a^2)=2a
[b^2/(c+a-b)]+(c+a-b))>=2\u221a(b^2)=2b
[c^2/(a+b-c)]+(a+b-c)>=2\u221a(c^2)=2c
\u4e0a\u8ff0\u4e09\u5f0f\u76f8\u52a0\u5373\u5f97
a^2/\uff08b+c-a)+b^2/(c+a-b)+c^2/(a+b-c)>=a+b+c
\u6240\u4ee5\u539f\u4e0d\u7b49\u5f0f\u5f97\u8bc1.

(a^2)*(b-c)+(b^2)(c-a)+(c^2)(a-b)
=a^2b-a^2c+b^2c-b^2a+c^2a-c^2b
=ab(a-b)+bc(b-c)+ac(c-a)
=b(a^2-ab+cb-c^2)+ac(c-a)
=b[(a+c)(a-c)-b(a-c)]+ac(c-a)
=b(a-c)(a+b-c)-ac(a-c)
=(a-c)(ab+b^2-bc-ac)
=(a-c)(a-b)(b-c)=0
\u6240\u4ee5a-c=0\u6216a-b=0\u6216b-c=0
\u5373\uff1aa\uff0cb\uff0cc\u4e09\u4e2a\u6570\u4e2d\u81f3\u5c11\u6709\u4e24\u4e2a\u6570\u76f8\u7b49
\u6240\u4ee5\u4e09\u89d2\u4e2a\u6848ABC\u662f\u7b49\u8170\u4e09\u89d2\u5f62

解一：排序不等式
设a≥b≥c
可知a(b+c-a)≤b(c+a-b)≤c(a+b-c),
排序不等式：倒序小于乱序
a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c)≤ba(b+c-a)+cb(c+a-b)+ac(a+b-c)
a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c)≤ca(b+c-a)+ab(c+a-b)+bc(a+b-c)
两式相加
2[a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c)]≤ba(b+c-a)+cb(c+a-b)+ac(a+b-c)
+ca(b+c-a)+ab(c+a-b)+bc(a+b-c)
=b^2a+abc-a^2b+c^2b+abc-b^2c+a^2c+abc-c^2a+abc+c^2a-a^2c+abc+a^2b-ab^2+abc+b^2c-bc^2=6abc
所以a^2(b+c-a)+b^2(c+a-b)+c^2(a+b-c)<=3abc
解二：
原式=b(a^2-b^2+c^2)+c(a^2+b^2-c^2)+a(c^2-a^2+b^2)
=2abccosB+2abccosC+2abccosA<=3abc
即证cosA+cosB+cosC<=3/2
这个很基础，证法很多，可自己百度。

我是应届生，高考不考选修4系列，你只了解就行了，不必太仔细

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