数学分析题目 求解 关于反常积分的

\u6570\u5b66\u5206\u6790\uff1a\u8ba8\u8bba\u53cd\u5e38\u79ef\u5206\u7684\u655b\u6563\u6027\u7684\u9898\u76ee

\u663e\u7136\uff0c\u88ab\u79ef\u51fd\u6570\u6709n\u4e2a\u7455\u70b9\uff0c\u8fd8\u6709\u4e24\u8fb9\u65e0\u7a77\u79ef\u5206\u3002
\u7531\u4e8ea1\u2026\u2026an\u4e92\u4e0d\u76f8\u540c\uff0c\u6545\u5728\u7455\u70b9ai\u9644\u8fd1\uff0c\u6536\u655b\u5f53\u4e14\u4ec5\u5f53pi<1\uff1b
\u5728\u6b63\u8d1f\u65e0\u7a77\u5904\uff0cx\u7684\u6700\u9ad8\u6b21\u9879\u7cfb\u6570\u4e3a(p1+\u2026\u2026+pn)\uff0c\u6240\u4ee5\u6536\u655b\u5f53\u4e14\u4ec5\u5f53\u03a3pi>1
\u6240\u4ee5\u8be5\u79ef\u5206\u6536\u655b\u7b49\u4ef7\u4e8e\u4efb\u53d6i\uff0cpi1

\u56e0\u4e3a\u901a\u8fc7\u5206\u6bb5\u533a\u95f4\uff0c\u53ef\u4ee5\u628a\u8fd9\u79cd\u79ef\u5206\u8f6c\u5316\u4e3a\u6807\u51c6\u7684\u6b63\u5e38\u79ef\u5206\u3002 \u7b2c\u4e00\u7c7b\u95f4\u65ad\u70b9\u5c31\u662f\u533a\u95f4\u7684\u5206\u5272\u70b9\u3002

\u53cd\u5e38\u79ef\u5206\u5f80\u5f80\u662f\u51fd\u6570\u5728\u67d0\u70b9\u7684\u6781\u9650\u4e3a\u65e0\u7a77\uff0c\u8fd9\u662f\u901a\u8fc7\u5206\u6bb5\u51fd\u6570\u65e0\u6cd5\u89e3\u51b3\u7684\uff0c\u6240\u4ee5\u4ed6\u53cd\u5e38\u3002

I(0)=0要分开算

对于a>0，把1/[x(1+x^2)]拆成1/x-x/(x^2+1)
第一项直接化到条件中的Dirichlet积分
第二项得另外处理，在复分析里面比较容易，如果在实数域上处理的话要引进Laplace积分
J(a)=\int_0^\infty cos(ax)/(1+x^2) = \int_0^\infty dx (\int_0^\infty cos(ax) e^{-y(1+x^2)} dy)
交换积分次序后再用Poisson积分即可算出结果

最后对J(a)求导得到第二项是pi/2*e^{-a}

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