一个线性代数问题，求解如图所示矩阵的特征值，谢谢啦。 线性代数问题 如图 这两个实对称矩阵怎么求特征值？
\u4e00\u4e2a\u7ebf\u6027\u4ee3\u6570\u95ee\u9898\uff0c\u6c42\u89e3\u56fe\u4e2dA^TA\u7684\u7279\u5f81\u503c\uff0c\u8981\u8fc7\u7a0b\uff0c\u8c22\u8c22\u5927\u5bb6\u5566\u8fd9\u91cc\u7684A\u662f\u5bf9\u79f0\u65b9\u9635
\u90a3\u4e48A^T A\u5b9e\u9645\u4e0a\u4e5f\u5c31\u662fA^2
\u6240\u4ee5\u5176\u7279\u5f81\u503c\u5c31\u662fA\u7684\u7279\u5f81\u503c\u518d\u5e73\u65b9
\u4e8e\u662f\u8bbeA\u7684\u7279\u5f81\u503c\u4e3a\u03bb\uff0c\u5f97\u5230\u884c\u5217\u5f0f|A-\u03bbE|=
4-\u03bb -1 1
-1 4-\u03bb -2
1 -2 4-\u03bb r3+r2
=
4-\u03bb -1 1
-1 4-\u03bb -2
0 2-\u03bb 2-\u03bb c2-c3
=
4-\u03bb -2 1
-1 6-\u03bb -2
0 0 2-\u03bb \u6309\u7b2c3\u884c\u5c55\u5f00
=(2-\u03bb)(\u03bb^2-10\u03bb+22)=0
\u4e8e\u662f\u89e3\u5f97\u03bb=2\uff0c5+\u6839\u53f73\uff0c5-\u6839\u53f73
\u90a3\u4e48\u518d\u8fdb\u884c\u5e73\u65b9\u4e4b\u540e
\u5f97\u5230A^T A\u7684\u7279\u5f81\u503c\u4e3a4\uff0c28+10\u6839\u53f73\uff0c28-10\u6839\u53f73
\u4e09\u9636\u7684\u76f4\u63a5\u5957\u516c\u5f0f\uff0c\u8ba1\u7b97det(A-sE)=det(B-sE)\u5373\u53ef\uff0c\u6ca1\u5fc5\u8981\u6c42\u7279\u5f81\u503c
A 是对称矩阵， 则 (A^T)A = A^2.|λE-A| =
|λ-4 1 -1|
| 1 λ-4 2|
|-1 2 λ-4|
= (λ-4)^3 - 6(λ-4) - 4
= (λ-4+2)[(λ-4)^2-2(λ-4)-2]
= (λ-2)(λ^2-10λ+22)
得 A 的特征值为 2， 5-√3， 5+√3
则 (A^T)A 的特征值即 A^2 的特征值是 4， 28-10√3， 28+10√3。
大家好，我们接着更新线性代数系列。小编把线性代数的内容划分成24部分，对应着太极拳24式。上一节中我们学习的是“起手势”，其主要内容是回顾了行列式(determinant)的发展历史及学习了行列式计算的定义法、利用行列式性质的方法、升阶法、降阶法、拉普拉斯(laplace)定理(The big formula)。
拉普拉斯
那么，我们今天接着修炼“左右野马分鬃”的内容，也即行列式计算总结部分的数学归纳法、递推法、拆分法，以及会简单提及一个特殊的行列式-范德蒙德(Vandermonde)行列式，威力巨大，可以拿下行列式的半壁江山。(集中注意力！下面教大家一个别人计算10分钟，你却能口算的方法。)
数学归纳法
首先说明，数学归纳法有2种，第一数学归纳法和第二数学分配方法，我们行列式计算中使用的是第一数学归纳法。
范德蒙德行列式(Vandermonde determina)
范德蒙德行列式
范德蒙德行列式作为一类特殊的行列式，范德蒙德行列式的证明无论是在考研等考试中，还是是在许多数学应用中都会有所用到，我们来看下列的证明过程。
证明过程
当然，如果假设n-1时成立，证明n时也成立，是一样的意思。对于范德蒙德行列式的证明，其实方法不仅限于使用第一类数学归纳法。我们还可以使用递推法、构造多元多项式法，下面我们就来讲述递推法。
数学
递推法
使用递推法的关键在于寻找D、D与D之间的关系式。我们来看又是如何使用递推法来证明范德蒙的行列式。
证明过程
倒数第2步是如何推得倒数第1步的呢，只需要重复上面的步骤，递推即可。除此之外，递推法还普遍适用于三对角行列式的计算。(后面会专门详细更新三对角行列式的计算问题)
数学
拆分法
拆分法在行列式计算中十分重要，它能拿下行列式计算问题的半壁江山。当然，也要求我们有一点逻辑思维能力。经常有同学问我特征值的计算问题，求解特征值使用公式｜λE-A｜，最后都归结为一个含有λ的行列式计算问题。从而计算过程变得较为复杂，正确率也急剧下降。可如果你学会了拆分法，会下面这道题，你可以直接口算出正确答案。
例题
在前面的文章中，我们已经提到了这道题，是小编大学时的笔记，给出了4种解法。我们下面主要来梳理拆分法的逻辑过程。
问题分析：观察行列式，我们发现行列式的主对角线上元素都为a，其余元素都为b。自然的，我们会想如果把全部的a都变成b，或者能把一个a变成一个b，那问题就变得简单了。由此，我们把第1行第1列a变成a-b+b，第1列的b改为0+b，再利用行列式拆分的性质，从而得到了一个递推式，观察发现它是一个等差数列，利用高中数列知识求解即可。（需要注意的是，要把a等于b的情况单独列出来。)如下图所示
解题过程
若按前面提到的，把所有的b都改为a-b+b，利用行列式的拆分性质，我们可以拆分为2个行列式。在利用若行列式两行或两列相同，那么行列式的值为0的性质。最后，只剩下两类行列式。
拆分
①全为b的列只能出现一次，其余为一个a-b和n-1个0组成的列。全为b的列有从第1列到第n列的n种情况，如下图
1
②第2种情况就是全部都取a-b和0组成的列，如下图
2
第1种情况的n倍，加上第2种情况就是我们上面的答案了。
数学
说到这里，有些同学可能会说觉得难。其实不然，线性代数还只是一门基础学科，大家会觉得难，只是没有真正地理解线性代数，例如，不知道矩阵是用来描述线性空间中元素的变换的。
给大家推荐一本全球300多所名校都在用的，京东一个店的好评高达4万多的，某瓣评分9.0的线性代数教材《Linear Algebra Done Right》，作者Sheldon Axler，国内有翻译版《线性代数应该这样学》。
这本教材避开了从抽象晦涩、一脸懵的行列式、矩阵讲解，带你真正的理解什么才是线性代数，而不是填鸭式的学习。这本书无论是在对线性代数的学习，还是对在工作的程序员，都是十分重要的必修课。
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绛旓細瑙: |A-位E| = 3-位 2 -2 -k -1-位 k 4 2 -3-位 = - 位^3 - 位^2 + 位 + 1 = -(位 - 1)(位 + 1)^2 A鐨勭壒寰佸间负 -1,-1,1.瀵圭壒寰佸-1, 蹇呮湁2涓嚎鎬鏃犲叧鐨勭壒寰佸悜閲忔墠鑳戒娇A鐩镐技浜庡瑙掔煩闃 鍗 R(A+E)=1. 鑰 A+E = 4 2 -2 -k...
绛旓細閫塀 a1锛屽彲浠ョ敱鍏朵綑s-1涓鍚戦噺绾挎琛ㄧず 鍥犳k1涓嶄负0锛屽叾浣欑郴鏁颁笉鍏ㄤ负0
绛旓細绠鍗曞垎鏋愪竴涓嬶紝绛旀濡傚浘鎵绀
绛旓細1 鍘熷紡 = |-2A^(-1)| |3B| = (-2)^3/|A| * 3^2|B| = -4*(-9) = 36 2. A^2+A+3E = O, A(A+E) = -3E, (A+E)^(-1) = -(1/3)A 3. |A| = |a1, a2, a3| = |1 1 1| |1 2 3| |1 3 t| |A| = |1 1...
绛旓細绯绘暟鐭╅樀琛屽垪寮 |A| = |1 1 1| |1 a 1| |1 1 a| |A| = |1 1 1| |0 a-1 0| |0 0 a-1| |A| = (a-1)^2 a 鈮 1 鏃舵柟绋嬬粍鏈夊敮涓瑙ｃ俛 = 1 鏃讹紝 澧炲箍鐭╅樀 (A, b) = [1 1 1 -2][1 1 1 ...
绛旓細濡傚浘鎵绀猴紝杩欎釜涓昏鏄牴鎹瓵*涓嶢涔嬮棿鐨勫叧绯昏繘琛岃浆鍖栵紝鍙互寰楀埌(A*)^-1蹇鏈変竴涓鐗瑰緛鍊间负1/3位
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绛旓細绠鍗曡绠椾竴涓嬶紝绛旀濡傚浘鎵绀
