在rt三角形ABC中,角C=90°,AC=4,角A=60°，CD是边AB上的中线，直线BM
\u5728Rt\u4e09\u89d2\u5f62ABC\u4e2d,\u89d2C=90\u00b0,\u89d2A=60\u00b0,AC=4 \u6c42AB,BC\u7684\u957f\u7b54\u6848\u4e3a4\u500d\u7684\u6839\u53f73\uff0c\u8fc7\u7a0b\u5982\u4e0b\uff1a
\u5728\u4e09\u89d2\u5f62ABC\u4e2d\uff0c\u89d2C \u4e3a90\u5ea6\uff0c\u89d2A\u4e3a60\u5ea6\uff0c\u6240\u4ee5\u89d2B\u4e3a30\u5ea6\uff0c\u53c8\u56e0\u4e3aAC=4\uff0c\u6839\u636e\u76f4\u89d2\u4e09\u89d2\u5f62\u4e2d\uff0c30\u5ea6\u7684\u89d2\u6240\u5bf9\u7684\u8fb9\u662f\u659c\u8fb9\u7684\u4e00\u534a\u53ef\u77e5\uff0cAB=8\uff0c\u6839\u636e\u52fe\u80a1\u5b9a\u7406\u53ef\u77e5BC=4\u500d\u7684\u6839\u53f73\u3002
\u5939\u89d2\u6700\u5927\u65f6\u4e5f\u5c31\u662fQ\u70b9\u79bbC\u6700\u8fd1\u5904\u3002
\u6700\u8fd1\u5904\u4e5f\u5c31\u662f\u76f4\u7ebf\u8ddd\u79bb\u3002
\u6240\u4ee5CQ=4*sin60=4*(\u221a3)/2=2\u221a3
\u56e0\u4e3atan\u2220CPQ=CQ/PC=(2\u221a3)/6=\u221a3/3
\u6240\u4ee5\u2220CPQ=30\u5ea6\u3002
\u5219\u8fd9\u5939\u89d2\u4e3a=90-30=60\u5ea6\u3002
PQ\u4e0e\u5e73\u9762ABC\u6240\u6210\u89d2\u7684\u6700\u5927\u503c\u662f60\u5ea6
解：在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的中线
∴CD = AD = (1/2)AB
而，∠BAC=60°，
∴△ACD为等边三角形
即有，∠BAC=∠ECD=60°，AC=CD
又，CD⊥EF 即，∠ACB=∠CDE=90°
∴△ABC≌△CED（AAS）
∴CE=AB = 2*AC
即，AE = AC = 4
又，BM//AC，AD=BD， 易证△ADE≌△BDF（AAS）
∴EF=AE = 4
【第（2）题】
①证明：设∠ADE=∠BDF= α
∵外角∠CAD = ∠AED + α = 60°
∴∠AED = 60°- α
而，∠BDG = 180° - ∠BCD - ∠CBD - ∠CDE’‘………………………………（*）
由（1）得，△ACD为等边三角形
则有，∠BCD +∠CBD = ∠ADC = 60°
由题意，△CDE‘’是△CDE翻折所得
∴△CDE‘’≌△CDE
则有，∠CDE‘’=∠CDE = 60°+ α
代入（*）式，得
∠BDG = 180° - 60° -（60°+ α） = 60° - α
∴∠AED = ∠BDG
又，BM//AC
∴∠AED = ∠BFD
∴∠BFD = ∠BDG
而，∠DBG为△BDF和△BGD的公共角
∴△BDF∽△BGD 得证 （证毕）
②过点D作DN⊥BM于N，
∵D为Rt△ABC斜边AB上的中点，
易证DN= (1/2)BC= (1/2)AC*tan60° = (1/2)*4*√3 = 2√3
由①得，△BDF∽△BGD
∴BF：BD = BD：BG
∴BG = BD²/BF
∴FG = BG - BF = BD²/BF - BF
而，BD = AD = AC = 4， BF = AF = x
代入，得
FG = (16/x) - x
∴ S△DFG = (1/2)DN*FG = (1/2)*2√3*[ (16/x) - x ]
即，y = (16√3 /x ) － √3 x
∵点G必须在点F右侧，
画图可知，∠CDE的度数必须在区间（60°，90°）内
当∠CDE=60°时，x=AE=0
当∠CDE=90°时，x=AE=AC = 4 （已证）
∴ 0＜x＜4
【第（3）题】
解：当 y = 6√3时，
即，(16√3 /x ) － √3 x = 6√3
解得，x = -8（舍去），或 x = 2
∴当S△DFG = 6√3时，AE = 2
6根号=0.848526，0.848526*3/xy=4
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