求矩阵的逆，以及特征值和特征向量[2, 1, -1] [1, 1, 0] [1, 0, 1]
使用Numpy库可以方便地求解矩阵的逆以及特征值和特征向量。首先导入所需的库：python复制代码
import numpy as np
接下来，将给定的矩阵转换为Numpy数组：
python复制代码
A = np.array([[2, 1, -1],
[1, 1, 0],
[1, 0, 1]])
接下来，使用np.linalg.inv()函数求解矩阵的逆：
python复制代码
A_inv = np.linalg.inv(A)
print("A的逆矩阵：\n", A_inv)
使用np.linalg.eig()函数求解矩阵的特征值和特征向量：
python复制代码
eigenvalues, eigenvectors = np.linalg.eig(A)
print("特征值：\n", eigenvalues)
print("特征向量：\n", eigenvectors)
输出结果应为：
lua复制代码
A的逆矩阵：
[[-0. 0. 1.]
[ 0.5 -0.5 -0. ]
[-0.5 -0. 0.5]]
特征值：
[3. -1. 2.]
特征向量：
[[ 0. -0.70710678 0.70710678]
[-0.48296291 0. 0. ]
[-0.48296291 -0.70710678 0. ]]
绛旓細銆愮瓟妗堛戯細鍥犱负AB=BA鍒(AB)=B'A'=BA=AB鍗矪A涓哄疄瀵圭О鐨勶紟鍏舵鐢变簬AB閮芥槸姝ｅ畾鐨勬晠瀛樺湪瀹炲彲鐭閫嗙煩闃PQ浣緼=P'PB=Q'Q浜庢槸AB=P'PQ'Q涓嶲P'PQ'=Q(P'PQ'Q)Q-1=QABQ-1鐩镐技浠庤屼袱鑰呴兘鏈夌浉鍚岀殑鐗瑰緛鏍癸紟浣嗘槸QP'PQ'=(PQ')'(PQ')涓烘瀹氱煩闃靛叾鐗瑰緛鏍归兘鏄瀹炴暟鏁匒B鐨勭壒寰佹牴閮芥槸姝ｅ疄鏁颁粠鑰...
绛旓細璁炬柟闃礎婊¤冻A3=0锛岃瘯璇佹槑E-A鍙閫嗭紝涓旓紙E-A锛-1=E+A+A2 锛岃瘉鏄庤繃绋嬪涓嬶細E-A^3=E 宸︾鍥犲紡鍒嗚В鏈夛紙E-A锛夛紙E+A+A^2锛=E 浠庤孍-A鍙嗕笖锛圗-A锛塣-1=E+A+A^2 灏嗕竴涓煩闃靛垎瑙ｄ负姣旇緝绠鍗曠殑鎴栧叿鏈夋煇绉嶇壒鎬х殑鑻ュ共鐭╅樀鐨勫拰鎴栦箻绉紝鐭╅樀鐨勫垎瑙ｆ硶涓鑸湁涓夎鍒嗚В銆佽氨鍒嗚В銆佸寮傚煎垎瑙ｃ佹弧...
绛旓細A鐨閫嗙煩闃鏄細|2/3 锛1/6| |1/3 1/6 | 鐗瑰緛澶氶」寮忔槸f(位)=(1锛嵨)(4锛嵨)锛2=位²锛5位锛6=(位锛2)(位锛3)鐗瑰緛鍊鏄=2銆佄=3 褰撐=2鏃讹紝姝ゆ椂鐗瑰緛鍚戦噺鏄=(2锛1)褰撐=3鏃讹紝姝ゆ椂鐗瑰緛鍚戦噺鏄=(1锛1)
绛旓細鎵浠鐨勫睘浜鐗瑰緛鍊2鐨勭壒寰佸悜閲忎负: k1a1 = k1(2,1)^T, 鍏朵腑k1涓轰换鎰忛潪闆跺父鏁.(A-3E)x=0 鐨勫熀纭瑙ｇ郴涓 a2=(1,1)^T.鎵浠鐨勫睘浜庣壒寰佸3鐨勭壒寰佸悜閲忎负: k2a2 = k2(2,1)^T, 鍏朵腑k2涓轰换鎰忛潪闆跺父鏁.
绛旓細瀵逛簬涓涓彲閫嗙煩闃A锛屽叾閫嗙煩闃礎^-1鍙互琛ㄧず涓篈^-1=VD^-1锛屽叾涓璙鏄壒寰佸悜閲忕粍鎴愮殑鐭╅樀锛孌鏄瑙掔嚎涓婂厓绱犱负鐗瑰緛鍊肩殑瀵硅鐭╅樀銆傚洜姝わ紝閫氳繃姹傝В绾挎ф柟绋嬬粍Ax=位x鍙互寰楀埌鐗瑰緛鍊煎拰瀵瑰簲鐨勭壒寰佸悜閲忋備互涓婃槸鍑犵甯歌鐨勬柟娉曟潵蹇姹傝В鐭╅樀鐨勭壒寰佸间笌鐗瑰緛鍚戦噺銆傚叿浣撻夋嫨鍝鏂规硶鍙栧喅浜庨棶棰樼殑鍏蜂綋鎯呭喌鍜岃姹傘
绛旓細-1 -位 1 1 2 1-位 c1+c3 = 2-位 6 -3 0 -位 1 2-位 2 1-位 r3-r1 = 2-位 6 -3 0 -位 1 0 -4 4-位 鎸夌収绗竴鍒楀睍寮 =(2-位)(位^2-4位+4)=0 鏄剧劧瑙ｅ緱鐗瑰緛鍊位=2 閭ｄ箞A-2E= 3 6 -3 -1 -2 1 1 2 -1 r1-3r3,r2+r3,浜ゆ崲琛屾搴 ~1 2 -1 0 ...
绛旓細A鐨勭壒寰佸兼槸p鐨勮瘽锛孉閫嗙殑鐗瑰緛鍊涓簈=p^(-1)銆傛墍浠ョ敱|qE-A閫唡=0寰梶(q*|A|)E-A閫嗕箻浠A||鍗硘(q*|A|)E-A浼撮殢|銆傛墍浠浼撮殢鐨勭壒寰佸间负|A|/p銆傜壒寰佸煎畾涔 鍩烘湰瀹氫箟 璁続涓簄闃鐭╅樀锛鑻ュ瓨鍦ㄥ父鏁拔诲強n缁撮潪闆跺悜閲弜锛屼娇寰桝x=位x锛屽垯绉拔绘槸鐭╅樀A鐨勭壒寰佸硷紝x鏄疉灞炰簬鐗瑰緛鍊嘉荤殑鐗瑰緛鍚戦噺...
绛旓細褰揂鍙嗘椂, 鑻 位鏄疉鐨勭壒寰佸, 伪 鏄疉鐨勫睘浜庣壒寰佸嘉荤殑鐗瑰緛鍚戦噺锛涘垯 |A| / 位 鏄 A*鐨勭壒寰佸, 伪 浠嶆槸A*鐨勫睘浜庣壒寰佸 |A| / 位 鐨勭壒寰佸悜閲忋傝A鏄痭闃舵柟闃碉紝濡傛灉鏁拔诲拰n缁撮潪闆跺垪鍚戦噺x浣垮叧绯诲紡Ax=位x鎴愮珛锛岄偅涔堣繖鏍风殑鏁拔荤О涓鐭╅樀A鐗瑰緛鍊硷紝闈為浂鍚戦噺x绉颁负A鐨勫搴斾簬鐗瑰緛鍊嘉荤殑鐗瑰緛...
绛旓細(A*)^2 + E = 36A^(-2) + E 鐨鐗瑰緛鍊鍒嗗埆鏄 36 路 1^2 + 1 = 37 36 / 2^2 + 1 = 10 36 / 3^2 + 1 = 5 鏈澶х壒寰佸 37 绠浠 鐭╅樀A涓簄闃舵柟闃碉紝鑻ュ瓨鍦╪闃剁煩闃礏锛屼娇寰楃煩闃礎銆丅鐨勪箻绉负鍗曚綅闃碉紝鍒欑ОA涓哄彲閫嗛樀锛孊涓篈鐨勯嗙煩闃銆傝嫢鏂归樀鐨勯嗛樀瀛樺湪锛屽垯绉颁负鍙嗙煩闃垫垨闈...
绛旓細姹傝В鐨勫師鐞嗘槸杩欐牱鐨勶細瀵圭煩闃礎杩涜涓娆″垵绛夎鍙樻崲鐩稿綋浜庡鐭╅樀A宸︿箻涓涓垵绛夌煩闃礟i,閭ｄ箞瀵笰杩涜涓绯诲垪鐨勮鍙樻崲寰楀埌鍗曚綅鐭╅樀E锛岀浉褰撲簬宸︿箻浜嗕竴绯诲垪鐨勫垵绛夌煩闃礟1銆丳2銆...銆丳i鍚庡緱鍒癊銆傛妸杩欎簺鍙嗙殑鍒濈瓑鐭╅樀涔樺湪涓璧凤紝灏辨槸P=P1*P2...*Pi锛屼笖PA锛滶,閭ｄ箞P灏辨槸A鐨勯嗙煩闃銆傛墍浠ュ綋(A E)涓乏杈圭殑A...
