设A为三阶可逆矩阵，B为实对称矩阵，且BA=｛｝，且B有特征向量a=（1.1.1）转至
a,b相似即存在可逆矩阵p,使p^(-1)ap=b.
所以|b|=|p^(-1)ap|=|p|^(-1)*|a|*|p|=|a|,
所以(a)正确.
多说一点的话,
可以类似证明相似矩阵的特征多项式相等|入i
-
a|=|入i
-
b|.
所以相似矩阵有相同的特征值.
但是特征向量一般不同.
例如bx=入x,
也就是p^(-1)apx=入x,
左乘p得到apx=入px.
所以b的特征向量x其实对应到a的特征向量px,
而x自身一般不再是a的特征向量.
反例就不举了,
总之(b)的后半是不对的.
(c)直接移项就是a=b,
完全没道理.
取个行列式还差不多.
(d)是说a,b都能对角化,
这个未必成立,
因为我们知道不能对角化的矩阵是存在的,
但这些矩阵照样可以与别的矩阵相似.
不过以下命题是成立的:
如果a,b相似且a可对角化,
那么b也可对角化.
（Ⅰ）∵A不可逆
∴A的特征值必有一个为0
设属于0的特征向量为α3＝(b，c，d)T
则α1、α2、α3是正交的
∴?2a＝0
b?2c+d＝0
?b+ac+d＝0
解得：a=0和满足条件的一个α3＝(1，1，1)T
∴存在可逆矩阵P＝1?11
?201
111
，使得P?1AP＝∧＝1
?1
0
∴A=P∧P-1
又容易求出P?1＝?1
6
?12?1
30?3
?2?2?2
∴A＝?1
3
11?2
1?21
?211
（Ⅱ）
由（I），得
A2009β=P∧2009P-1β=P∧P-1β=Aβ=0
0
0
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