高数 数列的极限和函数的极限 大一高数 数列极限与函数极限的关系 这个怎么理解看不懂。

\u51fd\u6570\u6781\u9650\u4e0e\u6570\u5217\u6781\u9650\u7684\u5173\u7cfb

\u6570\u5217\u7684\u6781\u9650\u4e0e\u51fd\u6570\u7684\u6781\u9650\u5177\u6709\u5982\u4e0b\u5173\u7cfb\uff1a

\u5173\u4e8e\u6570\u5217\u7684\u6781\u9650\u6709\u56db\u4e2a\u9700\u8981\u77e5\u9053\u7684\u70b9\uff1a
1\u3001\u6709\u6781\u9650\u7684\u6570\u5217\u79f0\u4f5c\u6536\u655b\u6570\u5217\uff0c\u6ca1\u6709\u6781\u9650\u7684\u6570\u5217\u79f0\u4f5c\u53d1\u6563\u6570\u5217\u3002
2\u3001\u6536\u655b\u7684\u6570\u5217\u4e00\u5b9a\u6709\u754c\u3002
3\u3001\u6536\u655b\u6570\u5217\u6ee1\u8db3\u4fdd\u53f7\u6027\u3002
4\u3001\u6536\u655b\u6570\u5217\u7684\u4efb\u4e00\u5b50\u6570\u5217\u7684\u6781\u9650\u90fd\u4e0e\u8be5\u6536\u655b\u6570\u5217\u7684\u6781\u9650\u76f8\u7b49\u3002
\u5173\u4e8e\u51fd\u6570\u7684\u6781\u9650\u6709\u56db\u4e2a\u9700\u8981\u77e5\u9053\u7684\u70b9\uff1a
1\u3001\u540c\u4e00\u53d8\u5316\u8fc7\u7a0b\u4e2d\uff0c\u4e00\u4e2a\u51fd\u6570\u4e0d\u53ef\u80fd\u6709\u4e24\u4e2a\u6781\u9650\u3002
2\u3001\u6536\u655b\u7684\u51fd\u6570\u5c40\u90e8\u6709\u754c\u3002
3\u3001\u6536\u655b\u7684\u51fd\u6570\u5c40\u90e8\u6ee1\u8db3\u4fdd\u53f7\u6027\u3002
\u6269\u5c55\u8d44\u6599
\u6709\u4ee5\u4e0b\u5b9a\u7406\u9700\u8981\u6ce8\u610f\uff1a
1\u3001\u6709\u9650\u4e2a\u65e0\u7a77\u5c0f\u7684\u548c\u4e5f\u662f\u65e0\u7a77\u5c0f\u3002
2\u3001\u6709\u754c\u51fd\u6570\u4e0e\u65e0\u7a77\u5c0f\u7684\u4e58\u79ef\u662f\u65e0\u7a77\u5c0f\u3002=>\u5e38\u6570\u4e0e\u65e0\u7a77\u5c0f\u7684\u4e58\u79ef\u662f\u65e0\u7a77\u5c0f\u3002\u6709\u9650\u4e2a\u65e0\u7a77\u5c0f\u7684\u4e58\u79ef\u4e5f\u662f\u65e0\u7a77\u5c0f\u3002
3\u3001\u4e00\u822c\u60c5\u51b5\uff0c\u6781\u9650\u5b58\u5728\u7684\u51fd\u6570\u7684\u52a0\u51cf\u4e58\u9664\u7684\u6781\u9650\u7b49\u4e8e\u4ed6\u4eec\u7684\u6781\u9650\u52a0\u51cf\u4e58\u9664\u7684\u7ed3\u679c\u3002\u4f46\u662f\u9700\u8981\u6ce8\u610f\u7684\u662f\uff0c\u6c42\u4e24\u4e2a\u6781\u9650\u4e3a\u65e0\u7a77\u5c0f\u4f19\u65e0\u7a77\u5927\u7684\u51fd\u6570\u76f8\u9664\u7684\u6781\u9650\u65f6\uff0c\u8fd9\u4e2a\u6cd5\u5219\u4e0d\u9002\u7528\u3002
4\u3001\u5982\u679c\u51fd\u6570g(x)>=f(x)\uff0clim g(x)=a, lim f(x)=b, \u5219a>=b\u3002
5\u3001\u590d\u5408\u51fd\u6570\u7684\u6781\u9650\u8fd0\u7b97\u6cd5\u5219\u3002
\u53c2\u8003\u8d44\u6599\u6765\u6e90\uff1a\u767e\u5ea6\u767e\u79d1-\u6781\u9650

\u51fd\u6570\u6781\u9650\u5b58\u5728\uff0c\u6211\u4eec\u77e5\u9053\u51fd\u6570\u5728\u5b9a\u4e49\u533a\u95f4\u4e0a\u662f\u8fde\u7eed\u7684\uff0c\u4f46\u662f\u6211\u4eec\u53ef\u4ee5\u4ece\u8fd9\u4e9b\u8fde\u7eed\u7684\u70b9\u53d6\u4e00\u7ec4\u79bb\u6563\u7684\u70b9\uff0c\u8fd9\u4e9b\u70b9\u6a2a\u5750\u6807\u4e0d\u65ad\u63a5\u8fd1x0,\u90a3\u4e48\u51fd\u6570\u503c\u81ea\u7136\u4e5f\u4e0d\u65ad\u63a5\u8fd1\u4e8ef(x0)

1.
lim an=a，a为常数
根据定义，
任意ε>0，存在N1>0，当n>N1，有|an-a|<ε
对于：
|(a1+a2+…+an)/n - a|
=| [(a1-a)+(a2-a)+……+(aN1-a)]+[(a(N1+1)-a)+(a(N1+2)-a)+…+(an-a)] | / n
≤|(a1+…+aN1)/n|+|(a(N1+1)-a)+(a(N1+2)-a)+…+(an-a))/n|
=|(a1+…+aN1)/n|+((n-N1)/n) * ε
<|(a1+…+aN1)/n|+ε
因此，取N=max{N1，| a1+…+aN1 |/ε}
那么有，
任意ε>0，存在N>0，当n>N，有|(a1+a2+…+an)/n - a|<(1+1)ε=2ε
故根据定义，
lim (a1+……+an)/n=a

2.
考虑
| xsin(1/x) - 0 |
=|x|*|sin(1/x)|
<|x-0|*1
对任意ε>0，取δ=ε>0，则有
任意ε>0，存在δ>0，当|x-0|<δ，有| xsin(1/x) - 0 |<ε
故根据定义，
lim xsin(1/x)=0

3.
考虑
| √(x+1) - 3 |
=| √(x+1) - 3 |*| √(x+1) + 3 |/| √(x+1) + 3 |
=| x+1-9 |/| √(x+1) + 3 |
=|x-8| / | √(x+1) + 3 |
<|x-8| / 3
对任意ε>0，取δ=3ε>0，则有
任意ε>0，存在δ>0，当|x-8|<δ，有| √(x+1) - 3 |<ε
故根据定义，
lim √(x+1) = 3

有不懂欢迎追问

因为lim（n→∞）xn=A

所以对于任意ε>0,存在N1>0使n>N1时|xn-A|<ε/2
设D=|x1-A|+|x2-A|+...+|xN1 - A|
则当n>N1
|(1/n)(x1+x2+…+xn)-A|
=|(1/n)[(x1-A)+(x2-A)+...+(xn-A)]|
<=(1/n)(|x1-A|+|x2-A|+...+|xn-A|)
=(1/n)(D+|xN1+1 -A|+...+|xn-A|)
<[D+(n-N1)ε/2]/n
令[D+(n-N1)ε/2]/n<ε
n>(2D/ε)-N1
取N=max{[2D/ε)-N1],N1}
则n>N时|(1/n)(x1+x2+…+xn)-A|<ε
所以lim（n→∞）(1/n)(x1+x2+…+xn)=A
2.
对已任意ε>0
因为|xsin(1/x)|<=|x|
则当0<|x|<ε/2时|xsin(1/x)|<|ε|

所以lim(x→0)x sin(1/x)=0
3.|√(1+x)-3|
=|1+x-9|/(√（1+x)+3)分子有理化
<|x-8|(分母>1)
所以对于任意ε>0
0<|x-8|<ε时|√(1+x)-3|<|x-8|<ε
所以lim(x→8)根号下（1+x）=3

一：(绝对值不好打，下面我只用正的来证明,e指小量，e>0)
由题 任意i,存在Ni s.t i>Ni 时 Xi-A<e
则 (X1+X2+...+Xn)/n-A=((X1-A)+(X2-A)+...+(Xn-A))/n<ne/n=e......#
这样，取N=max{N1,N2,...,Nn},当n>N时#成立，
所以......

二：由x sin(1/x) -0<=x-0<e
取b=e，则当 x-0<b时 x sin(1/x)<e成立

三：由 绝对值((x+1)^1/2-3)<e
得-1<=x<=(e+3)^2-1......#
取b=(e+3)^2+7,则当 绝对值(x-8)<b时#成立

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