在求极限时，能不能同时使用等价无穷小与洛必达法则，有没有约束条件 求极限时使用等价无穷小的条件
\u5728\u6c42\u6781\u9650\u65f6\uff0c\u80fd\u4e0d\u80fd\u540c\u65f6\u4f7f\u7528\u7b49\u4ef7\u65e0\u7a77\u5c0f\u4e0e\u6d1b\u5fc5\u8fbe\u6cd5\u5219\uff0c\u6709\u6ca1\u6709\u7ea6\u675f\u6761\u4ef6\u53ef\u4ee5\uff0c\u4f46\u662f\u7b49\u4ef7\u65e0\u7a77\u5c0f\u8981\u6ce8\u610f\u4e00\u4e2a\u95ee\u9898\uff0c
\u4e58\u9664\u8fd0\u7b97\u65f6\uff0c\u53ef\u7b49\u4ef7\u65e0\u7a77\u5c0f\u66ff\u4ee3\uff0c\u52a0\u51cf\u4e0d\u80fd\u3002
\u6bd4\u5982\u6c42x\u21920\uff0ctanx/x\uff0c\u9664\u6cd5\u8fd0\u7b97\uff0c\u5206\u5b50\u5c31\u53ef\u4ee5\u7b49\u4ef7\u65e0\u7a77\u5c0f\u66ff\u4ee3\u6210x\u3002
\u800c\u6bd4\u5982\uff08sinx-x\uff09/x^2\uff0c\u5219\u4e0d\u53ef\u5c06sinx\u76f4\u63a5\u6362\u6210x
\u6c42\u6781\u9650\u65f6\uff0c\u4f7f\u7528\u7b49\u4ef7\u65e0\u7a77\u5c0f\u7684\u6761\u4ef6\uff1a
1\u3001\u88ab\u4ee3\u6362\u7684\u91cf\uff0c\u5728\u53d6\u6781\u9650\u7684\u65f6\u5019\u6781\u9650\u503c\u4e3a0\uff1b
2\u3001\u88ab\u4ee3\u6362\u7684\u91cf\uff0c\u4f5c\u4e3a\u88ab\u4e58\u6216\u8005\u88ab\u9664\u7684\u5143\u7d20\u65f6\u53ef\u4ee5\u7528\u7b49\u4ef7\u65e0\u7a77\u5c0f\u4ee3\u6362\uff0c\u4f46\u662f\u4f5c\u4e3a\u52a0\u51cf\u7684\u5143\u7d20\u65f6\u5c31\u4e0d\u53ef\u4ee5\u3002
\u7b49\u4ef7\u65e0\u7a77\u5c0f\u66ff\u6362\u662f\u8ba1\u7b97\u672a\u5b9a\u578b\u6781\u9650\u7684\u5e38\u7528\u65b9\u6cd5\uff0c\u5b83\u53ef\u4ee5\u4f7f\u6c42\u6781\u9650\u95ee\u9898\u5316\u7e41\u4e3a\u7b80\uff0c\u5316\u96be\u4e3a\u6613\u3002
\u6269\u5c55\u8d44\u6599\u6c42\u6781\u9650\u57fa\u672c\u65b9\u6cd5\u6709:
1\u3001\u5206\u5f0f\u4e2d\uff0c\u5206\u5b50\u5206\u6bcd\u540c\u9664\u4ee5\u6700\u9ad8\u6b21\uff0c\u5316\u65e0\u7a77\u5927\u4e3a\u65e0\u7a77\u5c0f\u8ba1\u7b97\uff0c\u65e0\u7a77\u5c0f\u76f4\u63a5\u4ee50\u4ee3\u5165\uff1b
2\u3001\u65e0\u7a77\u5927\u6839\u5f0f\u51cf\u53bb\u65e0\u7a77\u5927\u6839\u5f0f\u65f6\uff0c\u5206\u5b50\u6709\u7406\u5316\uff0c\u7136\u540e\u8fd0\u7528(1)\u4e2d\u7684\u65b9\u6cd5\uff1b
3\u3001\u8fd0\u7528\u4e24\u4e2a\u7279\u522b\u6781\u9650\uff1b
4\u3001\u8fd0\u7528\u6d1b\u5fc5\u8fbe\u6cd5\u5219\uff0c\u4f46\u662f\u6d1b\u5fc5\u8fbe\u6cd5\u5219\u7684\u8fd0\u7528\u6761\u4ef6\u662f\u5316\u6210\u65e0\u7a77\u5927\u6bd4\u65e0\u7a77\u5927\uff0c\u6216\u65e0\u7a77\u5c0f\u6bd4\u65e0\u7a77\u5c0f\uff0c\u5206\u5b50\u5206\u6bcd\u8fd8\u5fc5\u987b\u662f\u8fde\u7eed\u53ef\u5bfc\u51fd\u6570\u3002\u5b83\u4e0d\u662f\u6240\u5411\u65e0\u654c\uff0c\u4e0d\u53ef\u4ee5\u4ee3\u66ff\u5176\u4ed6\u6240\u6709\u65b9\u6cd5\uff0c\u4e00\u697c\u8a00\u8fc7\u5176\u5b9e\u3002
5\u3001\u7528Mclaurin(\u9ea6\u514b\u52b3\u7433)\u7ea7\u6570\u5c55\u5f00\uff0c\u800c\u56fd\u5185\u666e\u904d\u8bef\u8bd1\u4e3aTaylor(\u6cf0\u52d2)\u5c55\u5f00\u3002
6\u3001\u7b49\u9636\u65e0\u7a77\u5c0f\u4ee3\u6362\uff0c\u8fd9\u79cd\u65b9\u6cd5\u5728\u56fd\u5185\u751a\u56a3\u5c18\u4e0a\uff0c\u56fd\u5916\u6bd4\u8f83\u51b7\u9759\u3002\u56e0\u4e3a\u4e00\u8981\u6b7b\u80cc\uff0c\u4e0d\u662f\u503c\u5f97\u63a8\u5e7f\u7684\u6559\u5b66\u6cd5\uff1b\u4e8c\u662f\u7ecf\u5e38\u4f1a\u51fa\u9519\uff0c\u8981\u7279\u522b\u5c0f\u5fc3\u3002
7\u3001\u5939\u6324\u6cd5\u3002\u8fd9\u4e0d\u662f\u666e\u904d\u65b9\u6cd5\uff0c\u56e0\u4e3a\u4e0d\u53ef\u80fd\u653e\u5927\u3001\u7f29\u5c0f\u540e\u7684\u7ed3\u679c\u90fd\u4e00\u6837\u3002
8\u3001\u7279\u6b8a\u60c5\u51b5\u4e0b\uff0c\u5316\u4e3a\u79ef\u5206\u8ba1\u7b97\u3002
9\u3001\u5176\u4ed6\u6781\u4e3a\u7279\u6b8a\u800c\u4e0d\u80fd\u666e\u904d\u4f7f\u7528\u7684\u65b9\u6cd5\u3002
求极限时，使用等价无穷小的条件：
1、被代换的量，在取极限的时候极限值为0；
2、被代换的量，作为被乘或者被除的元素时可以用等价无穷小代换，但是作为加减的元素时就不可以。
等价无穷小替换是计算未定型极限的常用方法，它可以使求极限问题化繁为简，化难为易。
扩展资料
可导，即设y=f(x)是一个单变量函数， 如果y在x=x0处左右导数分别存在且相等，则称y在x=x[0]处可导。如果一个函数在x0处可导，那么它一定在x0处是连续函数。
函数可导的条件：
如果一个函数的定义域为全体实数，即函数在其上都有定义。函数在定义域中一点可导需要一定的条件：函数在该点的左右导数存在且相等，不能证明这点导数存在。只有左右导数存在且相等，并且在该点连续，才能证明该点可导。
可导的函数一定连续；连续的函数不一定可导，不连续的函数一定不可导。
可以，但是等价无穷小要注意一个问题，乘除运算时，可等价无穷小替代，加减不能。比如求x→0，tanx/x，除法运算，分子就可以等价无穷小替代成x。而比如（sinx-x）/x^2，则不可将sinx直接换成x
当x趋向于0时，由等价无穷小代换，ln(1+x)~x，得xlnx，即(lnx)/(x^-1)，当x趋向于0时，上式为无穷大比无穷大型，再用洛必达法则即可求解
可以
绛旓細绛変环鏃犵┓灏忔浛鎹㈠叕寮忓涓 :浣跨敤绛変环鏃犵┓灏忔湁涓ゅぇ鍘熷垯锛1銆佷箻闄ゆ瀬闄愮洿鎺ョ敤銆2銆佸姞鍑忔瀬闄愭椂鐪嬪垎瀛愬垎姣嶉樁鏁般傝嫢浣跨敤绛変环鏃犵┓灏忓悗鍒嗗瓙鍒嗘瘝闃舵暟鐩稿悓锛屽垯鍙敤锛涜嫢闃舵暟涓嶅悓鍒欎笉鍙敤銆姹傛瀬闄愭椂锛屼娇鐢ㄧ瓑浠鏃犵┓灏忕殑鏉′欢锛1銆佽浠ｆ崲鐨勯噺锛屽湪鍙栨瀬闄愮殑鏃跺欐瀬闄鍊间负0锛2銆佽浠ｆ崲鐨勯噺锛屼綔涓鸿涔樻垨鑰呰闄ょ殑鍏冪礌鏃跺彲浠鐢...
绛旓細褰撶劧鍙互銆傚厛璁＄畻 lim(x鈫0,y鈫抋)[sin(xy)/x²]ln(1+xy)= lim(x鈫0,y鈫抋)[sin(xy)/xy][ln(1+xy)/xy]*lim(y鈫抋)y²= a²锛屽垯寰 lim(x鈫0,y鈫抋)(1+xy)^[sin(xy)/x²]= e^lim(x鈫0,y鈫抋)[sin(xy)/x²]ln(1+xy)= e^a²銆
绛旓細绛変环鏃犵┓灏忎竴鑸彧鑳藉湪涔橀櫎涓浛鎹紝鍦ㄥ姞鍑忎腑鏇挎崲鏈夋椂浼氬嚭閿欙紙鍔犲噺鏃跺彲浠ユ暣浣撲唬鎹紝涓嶄竴瀹氳兘闅忔剰鍗曠嫭浠ｆ崲鎴栧垎鍒唬鎹級銆姹傛瀬闄愭椂锛屼娇鐢ㄧ瓑浠鏃犵┓灏忕殑鏉′欢锛1銆佽浠ｆ崲鐨勯噺锛屽湪鍙栨瀬闄愮殑鏃跺欐瀬闄鍊间负0锛2銆佽浠ｆ崲鐨勯噺锛屼綔涓鸿涔樻垨鑰呰闄ょ殑鍏冪礌鏃跺彲浠ョ敤绛変环鏃犵┓灏忎唬鎹紝浣嗘槸浣滀负鍔犲噺鐨勫厓绱犳椂灏涓嶅彲浠銆傜嫭绔嬬殑...
绛旓細姹傛瀬闄愭椂锛屼娇鐢ㄧ瓑浠鏃犵┓灏忕殑鏉′欢 锛1銆佽浠ｆ崲鐨勯噺锛屽湪鍙栨瀬闄愮殑鏃跺欐瀬闄鍊间负0锛2銆佽浠ｆ崲鐨勯噺锛屼綔涓鸿涔樻垨鑰呰闄ょ殑鍏冪礌鏃跺彲浠ョ敤绛変环鏃犵┓灏忎唬鎹紝浣嗘槸浣滀负鍔犲噺鐨勫厓绱犳椂灏涓嶅彲浠銆傜瓑浠锋棤绌峰皬鏇挎崲鏄绠楁湭瀹氬瀷鏋侀檺鐨勫父鐢ㄦ柟娉曪紝瀹冨彲浠ヤ娇姹傛瀬闄愰棶棰樺寲绻佷负绠锛屽寲闅句负鏄撱
绛旓細鍦ㄥ鏃犵┓灏忔瘮鏃犵┓灏姹傛瀬闄鐨勮繃绋嬩腑锛屽彲浠鎶婂垎瀛愭垨鍒嗘瘝涓殑鏌愪釜鍥犲瓙鐢ㄧ瓑浠锋棤绌峰皬鏇挎崲锛屽姞鍑忔椂涓鑸涓嶈兘鐢ㄧ瓑浠鏃犵┓灏忔浛鎹紝鍔犲噺鏃跺欑瓑浠鏃犵┓灏忔浛鎹㈢殑鏉′欢鏄細lim a/b涓瀬闄愬瓨鍦紝涓旀瀬闄愪笉绛変簬-1锛屽垯a+b涓殑鏃犵┓灏廰鍜宐鍙互鐢ㄥ畠浠殑绛変环鏃犵┓灏忔浛鎹
绛旓細绛変环鏃犵┓灏忎篃鏄悓闃舵棤绌峰皬锛屼粠鍙︿竴鏂归潰鏉ヨ锛岀瓑浠锋棤绌峰皬涔熷彲浠ョ湅鎴愭槸娉板嫆鍏紡鍦ㄩ浂鐐瑰睍寮鍒颁竴闃剁殑娉板嫆灞曞紑鍏紡銆姹傛瀬闄愭椂锛屼娇鐢ㄧ瓑浠鏃犵┓灏忕殑鏉′欢锛1銆佽浠ｆ崲鐨勯噺锛屽湪鍙栨瀬闄愮殑鏃跺欐瀬闄鍊间负0锛2銆佽浠ｆ崲鐨勯噺锛屼綔涓鸿涔樻垨鑰呰闄ょ殑鍏冪礌鏃跺彲浠ョ敤绛変环鏃犵┓灏忎唬鎹紝浣嗘槸浣滀负鍔犲噺鐨勫厓绱犳椂灏涓嶅彲浠銆
绛旓細褰撶劧涔鍙互锛浣嗘槸涓鑸浣跨敤鏃犵┓灏忚繎浼
绛旓細鍒╃敤褰搙鈫0鏃讹紝1-cosx~0.5x²锛 sinx~tanx~x 浜庢槸鈶=lim銆恱鈫0銆0.5x²/x²=0.5 浣嗗鏋滄槸lim銆恱鈫捪/4銆(1-cosx)/(sinx*tanx)...鈶 灏涓嶈兘鐢ㄧ瓑浠鏃犵┓灏忎簡锛屽洜涓烘鏃跺垎姣嶅垎瀛愰兘涓嶆槸鏃犵┓灏 濡傛灉鏄涔樻硶鍜岄櫎娉曠敤绛変环鏃犵┓灏忥紝涓鑸笉浼氬嚭鐜0鐨勶紒褰撶劧锛屽姞鍑忔硶涔熷彲浠ョ敤...
绛旓細1銆佸鏋滄槸涓涓嚱鏁伴櫎浠ュ彟涓涓嚱鏁鏃讹紝渚嬪 sinx²/ln(1 + x²),灏卞彲浠ュぇ鑳嗘斁蹇浣跨敤锛2銆佸鏋滃垎瀛愬垎姣嶆湁鍔犲噺鐨勶紝灏卞緱灏忓績锛屼竴鑸兘浼氬嚭閿欙紝渚嬪 [ sinx - tanx ]/ sin³x 銆3銆佸彟澶栬娉ㄦ剰鐨勪竴鐐瑰氨鏄紝鏁翠綋涓婄殑绛変环鏃犵┓灏忎唬鎹㈡槸鍙互鐨勶紝鍒嗗瓙鍒嗘瘝涓婄殑灞閮ㄤ唬鎹㈡槸涓嶅彲浠鐨勩
绛旓細蹇呴』鍒嗗瓙鍒嗘瘝鏄箻闄ゆ硶鏍峰瓙鏃舵墠鍙互锛屽姞娉曟槸涓嶈鐨 姣斿褰搙瓒嬪悜浜0鏃讹紝锛坸+sinx锛/x锛岃櫧鐒剁粨鏋滄槸2锛屼絾鏄绠楄繃绋嬩腑锛屼笉鑳界洿鎺im锛坸+x锛/x=2锛岃屽繀椤诲啓鎴恖im锛坸/x锛+lim锛坰inx/x锛=2锛屽綋鐒惰繖棰樻瘮杈冪壒娈婏紝鏈変簺棰樻媶寮鐨勮瘽灏辩畻涓嶅嚭缁撴灉浜嗭紝浣犲彧瑕佽浣忓垎瀛愬垎姣嶈繘琛绛変环杞崲鏃跺繀椤绘槸涔橀櫎娉曞叧绯伙紝...
