数学老师您好！我想请教一个数列的求和问题： 高中时代碰到过1^2+2^2+2^2+4^2+...+
\u6570\u5217\u6c42\u548c \u7528\u5206\u7ec4\u6c42\u548c\u53ca\u5e76\u9879\u6cd5\u6c42\u548c Sn=1^2-2^2+3^2-4^2+\u2026+(-1)^(n-1)\u00b7n^2\u3010\u89e3\u7b54\u3011
\u2235 Sn = 1² - 2² + 3² - 4² + \u2026 + (-1)^(n-1)\u00b7n²
\u2234 \u5f53n\u662f\u5947\u6570\u65f6:
Sn = 1² - 2² + 3² - 4² + 5² - 6² + 7² - \u2026\u2026 + n²
= [1²+2²+3²+4²+5²+ \u2026 + n²] - 2\u00d7[2²+4²+6²+8²+\u2026+(n-1)²]
= n(n+1)(2n+1)/6 - 8\u00d7[1²+2²+3²+4²+\u2026+((n-1)/2)²]
= n(n+1)(2n+1)/6 - 8\u00d7[(n-1)/2]\u00d7[(n-1)/2 + 1]\u00d7[(n-1) + 1]/6
= n(n+1)(2n+1)/6 - 2\u00d7(n-1)(n+1)n/6
= [n(n+1)/6]\u00d7[(2n+1) - 2\u00d7(n-1)]
= [n(n+1)/6]\u00d7[1 + 2]
= n(n+1)/2
\u2234 \u5f53n\u662f\u5076\u6570\u65f6:
Sn = 1² - 2² + 3² - 4² + 5² - 6² + 7² - \u2026\u2026 - n²
= [1²+2²+3²+4²+5²+ \u2026 + n²] - 2\u00d7[2²+4²+6²+8²+\u2026+n²]
= n(n+1)(2n+1)/6 - 8\u00d7[1²+2²+3²+4²+\u2026+(n/2)²]
= n(n+1)(2n+1)/6 - 8\u00d7[n/2]\u00d7[n/2 + 1]\u00d7[n + 1]/6
= n(n+1)(2n+1)/6 - 2\u00d7n(n+2)(n+1)/6
= [n(n+1)/6]\u00d7[(2n+1) - 2\u00d7(n+2)]
= [n(n+1)/6]\u00d7[1 - 4]
= -n(n+1)/2
\u4e24\u5f0f\u5408\u5e76\uff0c\u5f97\uff1a
1² - 2² + 3² - 4² + 5² - 6² + 7² - \u2026\u2026 + n²
= [(-1)^(n+1)]\u00d7n(n+1)/2
\u8bf4\u660e\uff1a
\u8fd0\u7528\u4e86\u516c\u5f0f 1²+2²+3²+4²+5²+6²+7²+ \u2026\u2026 + n²= n(n+1)(2n+1)/6
\u7528\u88c2\u9879\u6c42\u548c\u7684\u65b9\u6cd5\u5440
1/n\uff08n+1\uff09=1/n-1/(n+1)
\u6240\u4ee5\u539f\u5f0f=1-1/\uff08n+1\uff09=n/\uff08n+1\uff09
这种题，要对n^2和n^3进行拆解变形，得出它们的通项公式，然后求解，如下图：
我回答得很详细很辛苦，楼主请给分吧
我教你一个比较实用的办法，如果是1+2+3……+n，那么前N项和是关于N的二次多项式；如果是1^2+2^2+……+n^2,那么前N项和是关于N的三次多项式；以此类推，如果每项是i的K次，那么前N项和就是关于N的（i+1）次多项式。
所以对于此类最好的办法就是待定系数法：比如1^2+2^2+……+n^2，设Sn=an3+bn2+cn+d,然后代入几个项就解出来了
N＝1时，1＝1（1＋1）（2×1＋1）/6＝1
N＝2时，1＋4＝2（2＋1）（2×2＋1）/6＝5
设N＝x时，公式成立，即1＋4＋9＋…＋x2＝x(x+1)(2x+1)/6
则当N＝x＋1时，
1＋4＋9＋…＋x2＋（x＋1）2＝x(x+1)(2x+1)/6＋（x＋1）2
＝（x＋1）[2（x2）＋x＋6（x＋1）]/6
＝（x＋1）[2（x2）＋7x＋6]/6
＝（x＋1）（2x＋3）（x＋2）/6
＝（x＋1）[（x＋1）＋1][2（x＋1）+1]/6
也满足公式
得 1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 为SN的数列式
所有的公式都是经过无数的数据验证和各种方法证明得出的
这个，貌似要先猜想再用数学归纳法证明
绛旓細锛堜箻涓婂叕姣旓級鍐嶇敤閿欎綅鐩稿噺娉曘傚舰濡侫n=BnCn锛屽叾涓瓄Bn}涓虹瓑宸鏁板垪锛寋Cn}涓虹瓑姣旀暟鍒楋紱鍒嗗埆鍒楀嚭Sn锛屽啀鎶婃墍鏈夊紡瀛愬悓鏃朵箻浠ョ瓑姣旀暟鍒楃殑鍏瘮q锛屽嵆q路Sn锛涚劧鍚庨敊寮涓浣嶏紝涓や釜寮忓瓙鐩稿噺銆傝繖绉嶆暟鍒楁眰鍜屾柟娉曞彨鍋氶敊浣嶇浉鍑忔硶銆傘愬吀渚嬨戯細姹傚拰Sn=1+3x+5x2+7x3+鈥+(2n-1)路xn-1锛坸鈮0锛宯鈭圢*锛夊綋x=1鏃...
绛旓細鍑犱釜鍏紡鏄偗瀹氳鐨勶紝姣斿s锛坣+1)-sn=an 杩欎釜鏄眰閫氶」鏈鍩虹鐨 鏁板銆佸氨鏄瀛﹀鍋氥傚叕寮忎笉鏄敤鏉ヨ儗鐨勶紝鏄仛鐔熺殑銆傘傘傞珮鑰冧腑鏁板垪鐨勯鍨嬩笉闅撅紝鏃犻潪灏辨槸姹俛n銆乻n 绛夋瘮涓」 鍜岀瓑宸腑椤瑰父甯镐細鐢ㄧ殑鍒扮殑銆備互涓嬫槸鎴戜釜浜虹殑鐪嬫硶銆傞珮涓殑鏁板垪鏈変笁涓眰绾с傦紙1锛夊熀纭棰樺瀷銆傝繖涓渶瑕佷綘鑷繁鎬荤粨...
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