高一数学 同角三角函数 证明题 【高一数学】同角三角函数公式证明题》》》

\u3010\u9ad8\u4e00\u6570\u5b66\u3011\u540c\u89d2\u4e09\u89d2\u51fd\u6570\u7684\u8bc1\u660e\u9898\u300b\u300b\u300b

tanx=sinx/cosx

\u6240\u4ee5\u5de6\u8fb9=(sinx)^2/(cosx)^2-(sinx)^2
=[(sinx)^2-(sinx)^2cosx)^2]/(cosx)^2
=(sinx)^2[1-(cosx)^2]/(cosx)^2
=(sinx)^2*(sinx)^2/(cosx)^2
=(sinx)^2(sinx/cosx)^2
=(sinx)^2*(tanx)^2=\u53f3\u8fb9

(1-2sinxcosx)/(cos²x-sin²x)
=(sin²x+cos²x-2sinxcosx)/(cos²x-sin²x)
=(cosx-sinx)²/[(cosx+sinx)(cosx-sinx)]
=(cosx-sinx)/(cosx+sinx) ....... \u4e0a\u4e0b\u540c\u9664\u4ee5 cosx
=(1-tanx)/(1+tanx)

证明欲证tanxsinx/(tanx-sinx)=(tanx+sinx)/tanxsinx
即需证tan^2xsin^2x=(tanx-sinx)(tanx+sinx)
即需证tan^2xsin^2x=tan^2x-sin^2x
即需证tan^2x-tan^2xsin^2x=sin^2x
即需证tan^2(1-sin^2x)=sin^2x
即需证tan^2xcos^2x=sin^2x
即需证sin^2x/cos^2×cos^2x=sin^2x
即需证sin^2x=sin^2x
而sin^2x=sin^2x显然成立
故原等式成立。

左边=[(sinX)^2/cosX]/[(sinX-sinXcosX)/cosX]
=(sinX)^2/[sinX(1-cos)]
=sinX/(1-cosX)
=sinX(1+cosX)/[1-(cos)^2] 分子与分母都乘以(1+cosX)
=[sinX+sinXcosX]/(sinX)^2
=[tanX+sinX]/sinX*tanX 分子与分母都除以cosX
=右边。

(tanx)^2=(sinx)^2 / (cosx)^2 = (sinx)^2 / (1-(sinx)^2)
(tanx)^2 × (1-(sinx)^2) = (sinx)^2
(tanx)^2 = (tanx)^2 × (sinx)^2 + (sinx)^2
(tanx)^2 - (sinx)^2 = (tanx)^2 × (sinx)^2
平方差公式：
(tanx - sinx) (tanx + sinx) = (tanx sinx)^2
故:
(tanx sinx) / (tanx - sinx) = (tanx + sinx) / (tanx sinx)

左右都除以tanx

交叉相成容易证

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