x+y+z=1,想，x，y，z大于0，求证：xy^2+yz^2+zx^2≤4/27，并指出等号成立条件 高一数学 x,y,z都属于R,求证(1).x^2+y^2+z...
\u8bbex,y,z\u22650\uff0c\u4e14x+y+z=1,\u6c42\u8bc1\uff1a0\u2264xy+yz+xz-2xyz\u22647/27\u56e0\u4e3a\u6240\u8bc1\u5f0f\u5b50\u53ca\u5df2\u77e5\u4e2dx,y,z\u53ef\u4ee5\u8f6e\u6362\uff0c\u5373\u6027\u8d28\u7b49\u4ef7\uff0c
\u6240\u4ee5\u4e0d\u59a8\u8bbex>=y>=z>=0;
\u7531x+y+z=1\u5f97z<=1/3;
xy+yz+xz-2xyz=yz+xz+xy(1-2z)>=yz+xz+(1/3)xy>=0
x=1,y=z=0\u65f6\u53ef\u53d6\u7b49\uff0c\u5de6\u8fb9\u5f97\u8bc1\u3002
\u53c8xy+yz+xz-2xyz=xy(1-2z)+z(x+y)=xy(1-2z)+z(1-z)
\u800cxy<=(x+y)^2/4=(1-z)^2/4
\u6240\u4ee5xy+yz+xz-2xyz<=(1-2z)(1-z)^2/4+z(1-z)
=(1-z)(2z^2+z+1)/4
\u4ee4f(z)=(1-z)(2z^2+z+1)/4
\u5219f'(z)=-2z(3z-1)
\u663e\u71360=0, f(z)\u4e3a\u4e0d\u51cf\u51fd\u6570\u3002
\u6545\u5bf90<=z<=1/3\u65f6\u6709f(z)<=f(1/3)=7/27;
\u4e5f\u5c31\u6709xy+yz+xz-2xyz<=7/27,\u5f53x=y=z=1/3\u53ef\u53d6\u7b49\u3002
(1) x^2+y^2\u22652xy
y^2+z^2\u22652yz
x^2+z^2\u22652xz
\u4ee5\u4e0a\u4e09\u4e2a\u4e0d\u7b49\u5f0f\u76f8\u52a0\uff0c\u4e24\u8fb9\u5404\u9664\u4ee52\uff0c\u5f97\u5230x^2+y^2+z^2\u2265xy+yz+zx
\uff082\uff09\u8fd9\u4e2a\u5728R\u8303\u56f4\u5185\u672a\u5fc5\u6210\u7acb
\u4f8b\u5982x=-1,y=-2,z=-3,(x+y)(y+z)(z+x)=-60
\u800c8xyz=-48
\u5219(x+y)(y+z)(z+x)<8xyz
\u5982\u679c\u8bbe\u5b9ax,y,z\u4e3a\u5927\u4e8e\u96f6\u7684\u5b9e\u6570
\u5219\u6709
x+y\u22652\u221axy
y+z\u22652\u221ayz
z+x\u22652\u221axz
\u56e0\u4e3a\u4e09\u4e2a\u4e0d\u7b49\u5f0f\u4e24\u8fb9\u90fd\u662f\u6b63\u6570\uff0c\u6240\u4ee5\u4e09\u4e2a\u4e0d\u7b49\u5f0f\u53ef\u4ee5\u76f8\u4e58
\u5219\u6709(x+y)(y+z)(z+x)\u22658xyz
x+y+z=1大于等于3 3次根号xyz 算出xyz小于等于1/27 所以1/xyz大于等于27 所以4/27 * 1/xyz大于等于4 所以左边除以xyz 可以得到x/z+y/x+z/y 即证x/z+y/x+z/y小于等于4 因为x+y+z=1 所以x/z+y/x+z/y=x/z+y/x+z/y（x+y+z）小于等于 [（x/z+y/x+z/y）+（x+y+z）/2]平方 当且仅当x/z+y/x+z/y= x+y+z=1时取等 又x/z+y/x+z/y大于等于3 当且仅当x/z=y/x=z/y时取等 所以 [（x/z+y/x+z/y）+（x+y+z）/2]会大于等于4 当且仅当x/z=y/x=z/y时取等 这个时候 如果两个取等条件可以同时取到 应该就可以了 于是联立x/z=y/x=z/y x/z+y/x+z/y= x+y+z=1 可以算出 x=3/13 y=1/13 z=9/13符合题意 所以证完了。。不懂对不对。。
最大值还是最小值检验一下就好了
取x=1/4,y=1/4,z=1/2
代入计算得
左侧=0.109375<1/9
我记得曾经学过在n个数的和一定时，只有每个数都取平均数（即各个数都相等），才能使n个数的乘积最大。这题可不可以这样想，只有x=y=z=1/3时，原式才最大等于1/9。当然这只是一个思路，要是证明的话还是要看看各楼的看法咯
错误
x=y=z=1/3时左边=1/3>4/27
绛旓細灏辨槸杩欐牱鐨勩備綘璁╄竟闀夸负1灏辨槸浜嗭紒
绛旓細瑙ｏ細涓変釜鏈煡鏁(x,y,z)锛屼袱涓嚎鎬ф棤鍏崇殑鏂圭▼缁勶紝鍒欎换鎰忔湭鐭ユ暟閮藉彲浠ヨ〃涓哄彟澶栦袱涓湭鐭ユ暟鐨勫嚱鏁般備篃鍗筹紝鏈y=y(x)锛寊=z(x)浜嬪疄涓婏紝杩欓噷姹傜殑搴旇鏄痙y/dx锛宒z/dx锛屼互鍙奷²y/dx²锛屼笉搴旇鎴愭眰鍋忓銆傚绗竴涓柟绋嬩袱杈瑰x姹傚锛屽緱 1+dy/dx+dz/dx=0 鈶 绗簩涓柟绋嬩袱杈瑰x...
绛旓細绛旀瑙佸浘鐗囷細
绛旓細寰 xyz(x-y)=x(y-z)鈥︹︼紙1锛夌敱 xyzy+xy=xyzz+yz 寰 xyz(y-z)=y(z-x)=-y(x-z)鈥︹︼紙2锛夌敱 xxyz+xz=xyzz+yz 寰 xyz(x-z)=z(y-x)=-z(x-y)鈥︹︼紙3锛夛紙1锛夛紙2锛夛紙3锛夌浉涔樺緱 (xyz)^3=xyz x鈮爕鈮爖 xyz鈮0 (xyz)^2=1 鍗硏^2y^2z^2=1 ...
绛旓細x=1,y=1,z=0 x=0,y=2,z=1 x=-1,y=3,z=2 绛旀澶浜
绛旓細OP-OZ =n(OX-OZ)+m(OY-OZ)鍗砕P =nZX +mZY鍗砅銆X銆乊銆乑 鍥涚偣鍏遍潰銆備互涓婃槸鍏呰鏉′欢銆2濡傛灉閫氳繃鍥涚偣澶栫殑涓鐐(绌洪棿涓)涓庡洓鐐逛箣闂寸殑鍏崇郴鏉ュ垽鏂姌鍥涚偣鍏遍潰 A,B,C,D,4涓偣,涓庡彟澶栦竴鐐筄,鑻A=xOB+yOC+zOD,x+y+z=1,鍥涚偣灏卞叡闈 3璁句竴鍚戦噺鐨勫潗鏍囦负(x,y,z)銆傚彟澶栦竴鍚戦噺鐨勫潗鏍囦负(...
绛旓細Y鍜孼涓ょ鍏冪礌鍙互褰㈡垚4鏍42涓數瀛愮殑璐熶竴浠烽槾绂诲瓙 鎺ㄦ柇涓绉嶄负O锛屽洓鏍革紝鍒欎负O3,24涓數瀛愶紙鍥犱负鏄礋涓浠烽槾绂诲瓙锛夛紝杩樺樊17涓數瀛愶紝17涓數瀛愮殑蹇呯劧涓篊l 杩欐牱瀛愬氨鑳芥帹鏂嚭Y涓烘隘锛孼涓篛锛孹灏辨槸K
绛旓細rt
绛旓細鐢x+y+z=1,z=1-x-y,M=-2x+y+4,y=2x+M-4锛涘張鐢0鈮鈮1锛0鈮鈮1锛寉鈮+1/2 锛屽緱x銆亂鍙兘鍦ㄥ鍥撅紙7锛夋墍绀虹殑闃村奖鍖哄煙鍐呭彉鍖栵紝鑰孧锛4涓虹洿绾垮湪y杞翠笂鎴窛锛岄殢鐫M鐨勫彉鍔紝褰㈡垚浜嗕竴绯诲垪骞宠鐩寸嚎锛孧-4鍦0鍒1涔嬮棿鍙樺寲锛屾墍浠4鈮鈮5锛孧鐨勬渶灏忓兼槸4锛屾渶澶у兼槸5 ...
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