完全数有哪些 完全数有那些呢?
\u5b8c\u5168\u6570\u6709\u54ea\u4e9b\uff1f\u5b8c\u5168\u6570\uff08Perfect number\uff09\uff0c\u53c8\u79f0\u5b8c\u7f8e\u6570\u6216\u5b8c\u5907\u6570\uff0c\u662f\u4e00\u4e9b\u7279\u6b8a\u7684\u81ea\u7136\u6570\u3002\u5b83\u6240\u6709\u7684\u771f\u56e0\u5b50\uff08\u5373\u9664\u4e86\u81ea\u8eab\u4ee5\u5916\u7684\u7ea6\u6570\uff09\u7684\u548c\uff08\u5373\u56e0\u5b50\u51fd\u6570\uff09\uff0c\u6070\u597d\u7b49\u4e8e\u5b83\u672c
6,28,496,8128,33550336\u8fd9\u4e9b\u90fd\u662f\u5b8c\u5168\u6570
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第一个完全数是6,第二个完全数是28,第三个完全数是496,后面的完全数还有8128、33550336等等。
完全数(Perfect number),又称完美数或完备数,是一些特殊的自然数。它所有的真因子(即除了自身以外的约数)的和(即因子函数),恰好等于它本身。如果一个数恰好等于它的因子之和,则称该数为“完全数”。
扩展资料
特有性质
(1)所有的完全数都是三角形数。
例如:6=1+2+3;28=1+2+3+...+6+7
496=1+2+3+...+30+31;8128=1+2+3…+126+127。
(2)所有的完全数的倒数都是调和数。
例如:1/1+1/2+1/3+1/6=2;1/1+1/2+1/4+1/7+1/14+1/28=2;
1/1+1/2+1/4+1/8+1/16+1/31+1/62+1/124+1/248+1/496=2。
(3)可以表示成连续奇立方数之和。除6以外的完全数,都可以表示成连续奇立方数之和,并规律式增加。
例如:28=1³+3^3;496=1^3+3^3+5^3+7^3;8128=1^3+3^3+5^3+……+15^3
33550336=1^3+3^3+5^3+……+125^3+127^3。
(4)都可以表达为2的一些连续正整数次幂之和。不但如此,而且它们的数量为连续质数。
例如:6=2^1+2^2;28=2^2+2^3+2^4;496=2^4+2^5+2^6+2^7+2^8
8128=2^6+2^7+2^8+2^9+2^10+2^11+2^12;33550336=2^12+2^13+……+2^24。
(5)完全数都是以6或8结尾。如果以8结尾,那么就肯定是以28结尾。(科学家仍未发现由其他数字结尾的完全数。)
(6)各位数字辗转式相加个位数是1。除6以外的完全数,把它的各位数字相加,直到变成个位数,那么这个个位数一定是1。
例如:28:2+8=10,1+0=1;496:4+9+6=19,1+9=10,1+0=1;8128:8+1+2+8=19,1+9=10,1+0=1;33550336:3+3+5+5+0+3+6=28,2+8=10,1+0=1。
第一个完全数是6,第二个完全数是28,第三个完全数是496,后面的完全数还有8128、33550336等等。
完全数定义:
如果一个数恰好等于它的因子之和,则称该数为“完全数”。各个小于它的约数(真约数,列出某数的约数,去掉该数本身,剩下的就是它的真约数)的和等于它本身的自然数叫做完全数(Perfect number),又称完美数或完备数。
例如:第一个完全数是6,它有约数1、2、3、6,除去它本身6外,其余3个数相加,1+2+3=6。
第二个完全数是28,它有约数1、2、4、7、14、28,除去它本身28外,其余5个数相加,1+2+4+7+14=28。
第三个完全数是496,有约数1、2、4、8、16、31、62、124、248、496,除去其本身496外,其余9个数相加,1+2+4+8+16+31+62+124+248=496。后面的完全数还有8128、33550336等等。
扩展资料:
完全数特有性质:
(1)所有的完全数都是三角形数。例如:6=1+2+3;28=1+2+3+...+6+7;496=1+2+3+...+30+31;8128=1+2+3…+126+127。
(2)所有的完全数的倒数都是调和数。例如:1/1+1/2+1/3+1/6=2;1/1+1/2+1/4+1/7+1/14+1/28=2;1/1+1/2+1/4+1/8+1/16+1/31+1/62+1/124+1/248+1/496=2。
(3)可以表示成连续奇立方数之和。除6以外的完全数,都可以表示成连续奇立方数之和,并规律式增加。例如:28=1³+3^3;496=1^3+3^3+5^3+7^3;8128=1^3+3^3+5^3+……+15^3;33550336=1^3+3^3+5^3+……+125^3+127^3。
(4)都可以表达为2的一些连续正整数次幂之和。不但如此,而且它们的数量为连续质数。例如:6=2^1+2^2;28=2^2+2^3+2^4;496=2^4+2^5+2^6+2^7+2^8;8128=2^6+2^7+2^8+2^9+2^10+2^11+2^12;33550336=2^12+2^13+……+2^24。
(5)完全数都是以6或8结尾。如果以8结尾,那么就肯定是以28结尾。(科学家仍未发现由其他数字结尾的完全数。)
(6)各位数字辗转式相加个位数是1。除6以外的完全数,把它的各位数字相加,直到变成个位数,那么这个个位数一定是1。例如:28:2+8=10,1+0=1;496:4+9+6=19,1+9=10,1+0=1;8128:8+1+2+8=19,1+9=10,1+0=1;33550336:3+3+5+5+0+3+6=28,2+8=10,1+0=1。
(7)它们被3除余1、被9除余1、1/2被27除余1。除6以外的完全数,它们被3除余1,9除余1,还有1/2被27除余1。28/3 商9余1,28/9 商3余1,28/27 商1余1。496/3 商165余1,496/9 商55余1。8128/3 商2709余1,8128/9 商903余1,8128/27 商301余1。
奇妙的完全数
古时候,自然数6是一个备受宠爱的数。有人认为,6是属于美神维纳斯的,它象征着美满的婚姻;也有人认为,宇宙之所以这样完美,是因为上帝创造它时花了6天时间……
自然数6为什么备受人们青睐呢?
原来,6是一个非常"完善"的数,与它的因数之间有一种奇妙的联系。6的因数共有4个:l、2、3、6,除了6自身这个因数以外,其他的3个都是它的真因数,数学家们发现:把6的所有美因数都加起来,正好等于6这个自然数本身!
数学上,具有这种性质的自然数叫做完全数。例如,28也是一个完全数,它的真因数有 1、2、4、7、14,而 1+2+4+7+14正好等于28。
在自然数里,完全数非常稀少,用沧海一粟来形容也不算太夸张。有人统计过,在1万到40000000这么大的范围里,已被发现的完全数也不过寥寥5个;另外,直到1952年,在2000多年的时间,已被发现的完全数总共才有12个。
并不是数学家不重视完全数,实际上,在非常遥远的古代,他们就开始探索寻找完全数的方法了。公元前3世纪,古希腊著名数学家欧几里得甚至发现了一个计算完全数的公式:如果2n-1是一个质数,那么,由公式N=2n-1(2n-1)算出的数一定是一个完全数。例如,当n=2时,22-1=3是一个质数,于是 N2=22-1(22-1)=2*3=6是一个完全数;当n=3时,N3=28是一个完全数;当n=5时,N5=496也是一个完全数。
18世纪时,大数学家欧拉又从理论上证明:每一个偶完全数9必定是由这种公式算出的。
尽管如此,寻找完全数的工作仍然非常艰巨。例如,当n=31时,N31=231-1(231-1)=2305843008139952128,这是一个19位数,不难想像,用笔算出这个完全数该是多么困难。
直到20世纪中叶,随着电子计算机的问世,寻找完全数的工作才取得了较大的进展。1952年,数学家凭借计算机的高速运算,一下子发现了5个完全数,它们分别对应于欧几里得公式中n=521、607、1279、2203和2281时的答案。以后数学家们又陆续发。当 n=3217、4253、4423、9689、9941、11213和19937时,由欧几里得公式算出的答案也是完全数。
到1975年,人们在无穷无尽的自然数里,总共找出了24个完全数。
在欧几里得公式里,只要2n-1是质数,2n-1(2n-1)就一定是全数。所以,寻找新的完全数与寻找新的质数密切相关。
1979年,当人们知道244497-1是一个新的质数时,随之也就知道了244496(244497-1)是一个新的完全数;1983年,人们知道 286243-1是一个更大的质数时,也就知道了 286242(286243-1)是一个更大的完全数。它是迄今所知最大的一个完全数。
这是一个非常大的数,大到很难在书中将它原原本本地写出来。有趣的是,虽然很少有人知道这个数的最后一个数字是多少,却知道它一定是一个偶数,因为,由欧几里得公式算出的完全数都是偶数!
那么,奇数中有没有完全数呢?
曾经有人验证过位数少于36位的所有自然数,始终也没有发现奇完全数的踪迹。不过,在比这还大的自然数里,奇完全数是否存在,可就谁也说不准了。说起来,这还是一个尚未解决的著名数学难题呢。
奇妙的完全数
古时候,自然数6是一个备受宠爱的数。有人认为,6是属于美神维纳斯的,它象征着美满的婚姻;也有人认为,宇宙之所以这样完美,是因为上帝创造它时花了6天时间……
自然数6为什么备受人们青睐呢?
原来,6是一个非常"完善"的数,与它的因数之间有一种奇妙的联系。6的因数共有4个:l、2、3、6,除了6自身这个因数以外,其他的3个都是它的真因数,数学家们发现:把6的所有美因数都加起来,正好等于6这个自然数本身!
数学上,具有这种性质的自然数叫做完全数。例如,28也是一个完全数,它的真因数有 1、2、4、7、14,而 1+2+4+7+14正好等于28。
在自然数里,完全数非常稀少,用沧海一粟来形容也不算太夸张。有人统计过,在1万到40000000这么大的范围里,已被发现的完全数也不过寥寥5个;另外,直到1952年,在2000多年的时间,已被发现的完全数总共才有12个。
并不是数学家不重视完全数,实际上,在非常遥远的古代,他们就开始探索寻找完全数的方法了。公元前3世纪,古希腊著名数学家欧几里得甚至发现了一个计算完全数的公式:如果2n-1是一个质数,那么,由公式N=2n-1(2n-1)算出的数一定是一个完全数。例如,当n=2时,22-1=3是一个质数,于是 N2=22-1(22-1)=2*3=6是一个完全数;当n=3时,N3=28是一个完全数;当n=5时,N5=496也是一个完全数。
18世纪时,大数学家欧拉又从理论上证明:每一个偶完全数9必定是由这种公式算出的。
尽管如此,寻找完全数的工作仍然非常艰巨。例如,当n=31时,N31=231-1(231-1)=2305843008139952128,这是一个19位数,不难想像,用笔算出这个完全数该是多么困难。
直到20世纪中叶,随着电子计算机的问世,寻找完全数的工作才取得了较大的进展。1952年,数学家凭借计算机的高速运算,一下子发现了5个完全数,它们分别对应于欧几里得公式中n=521、607、1279、2203和2281时的答案。以后数学家们又陆续发。当 n=3217、4253、4423、9689、9941、11213和19937时,由欧几里得公式算出的答案也是完全数。
到1975年,人们在无穷无尽的自然数里,总共找出了24个完全数。
在欧几里得公式里,只要2n-1是质数,2n-1(2n-1)就一定是全数。所以,寻找新的完全数与寻找新的质数密切相关。
1979年,当人们知道244497-1是一个新的质数时,随之也就知道了244496(244497-1)是一个新的完全数;1983年,人们知道 286243-1是一个更大的质数时,也就知道了 286242(286243-1)是一个更大的完全数。它是迄今所知最大的一个完全数。
这是一个非常大的数,大到很难在书中将它原原本本地写出来。有趣的是,虽然很少有人知道这个数的最后一个数字是多少,却知道它一定是一个偶数,因为,由欧几里得公式算出的完全数都是偶数!
那么,奇数中有没有完全数呢?
曾经有人验证过位数少于36位的所有自然数,始终也没有发现奇完全数的踪迹。不过,在比这还大的自然数里,奇完全数是否存在,可就谁也说不准了。说起来,这还是一个尚未解决的著名数学难题呢。
参考资料:http://zhidao.baidu.com/question/22243251.html?fr=qrl
完全数(Perfect number),又称完美数或完备数,是一些特殊的自然数。它所有的真因子(即除了自身以外的约数)的和(即因子函数),恰好等于它本身。
如果一个数恰好等于它的因子之和,则称该数为“完全数”。第一个完全数是6,第二个完全数是28,第三个完全数是496,后面的完全数还有8128、33550336等等。
中文名
完全数
外文名
Perfect number
别称
完美数或完备数
类型
特殊的自然数
性质1
所有的完全数都是三角形数
性质2
可以表示成连续奇立方数之和
定义
如果一个数恰好等于它的因子之和,则称该数为“完全数”[1] 。各个小于它的约数(真约数,列出某数的约数,去掉该数本身,剩下的就是它的真约数)的和等于它本身的自然数叫做完全数(Perfect number),又称完美数或完备数。
例如:第一个完全数是6,它有约数1、2、3、6,除去它本身6外,其余3个数相加,1+2+3=6。第二个完全数是28,它有约数1、2、4、7、14、28,除去它本身28外,其余5个数相加,1+2+4+7+14=28。第三个完全数是496,有约数1、2、4、8、16、31、62、124、248、496,除去其本身496外,其余9个数相加,1+2+4+8+16+31+62+124+248=496。后面的完全数还有8128、33550336等等。
特有性质
(1)所有的完全数都是三角形数。例如:6=1+2+3;28=1+2+3+...+6+7;496=1+2+3+...+30+31;8128=1+2+3…+126+127。
(2)所有的完全数的倒数都是调和数。例如:1/1+1/2+1/3+1/6=2;1/1+1/2+1/4+1/7+1/14+1/28=2;1/1+1/2+1/4+1/8+1/16+1/31+1/62+1/124+1/248+1/496=2。
(3)可以表示成连续奇立方数之和。除6以外的完全数,都可以表示成连续奇立方数之和,并规律式增加。例如:28=13+3^3;496=1^3+3^3+5^3+7^3;8128=1^3+3^3+5^3+……+15^3;33550336=1^3+3^3+5^3+……+125^3+127^3。
(4)都可以表达为2的一些连续正整数次幂之和。不但如此,而且它们的数量为连续质数。例如:6=2^1+2^2;28=2^2+2^3+2^4;496=2^4+2^5+2^6+2^7+2^8;8128=2^6+2^7+2^8+2^9+2^10+2^11+2^12;33550336=2^12+2^13+……+2^24。
(5)完全数都是以6或8结尾。如果以8结尾,那么就肯定是以28结尾。(科学家仍未发现由其他数字结尾的完全数。)
(6)各位数字辗转式相加个位数是1。除6以外的完全数,把它的各位数字相加,直到变成个位数,那么这个个位数一定是1。例如:28:2+8=10,1+0=1;496:4+9+6=19,1+9=10,1+0=1;8128:8+1+2+8=19,1+9=10,1+0=1;33550336:3+3+5+5+0+3+6=28,2+8=10,1+0=1。
(7)它们被3除余1、被9除余1、1/2被27除余1。除6以外的完全数,它们被3除余1,9除余1,还有1/2被27除余1。28/3 商9余1,28/9 商3余1,28/27 商1余1。496/3 商165余1,496/9 商55余1。8128/3 商2709余1,8128/9 商903余1,8128/27 商301余1。
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