概率论与数理统计——多维随机变量及其分布 概率论和数理统计 多维随机变量及其分布 求21题2,3两个问...
\u6982\u7387\u8bba\u4e0e\u6570\u7406\u7edf\u8ba1\u2014\u2014\u591a\u7ef4\u968f\u673a\u53d8\u91cf\u53ca\u5176\u5206\u5e03\u8fd9\u9053\u9898\u5c31\u662f\u57fa\u672c\u6982\u5ff5\u52a0\u4e0a\u7b80\u5355\u7684\u79ef\u5206\u8fd0\u7b97\u3002\u57fa\u672c\u6982\u5ff5\u5c31\u662f\u5bc6\u5ea6\u51fd\u6570\u7684\u5b9a\u4e49\uff08\u5bc6\u5ea6\u51fd\u6570\u5728\u67d0\u4e2a\u533a\u57df\u7684\u79ef\u5206\u5c31\u662f\u968f\u673a\u53d8\u91cf\u843d\u5728\u8fd9\u4e2a\u533a\u57df\u7684\u6982\u7387\uff09\u3002
(1)\u5e38\u6570A\u7531\u5f52\u4e00\u5316\u786e\u5b9a\uff0c\u5c31\u662f\u5bc6\u5ea6\u51fd\u6570\u5728\u5168\u5e73\u9762\u7684\u79ef\u5206\u8981=1\uff08\u968f\u673a\u5411\u91cf\u603b\u8981\u843d\u5728\u7a7a\u95f4\u91cc\u9762\uff0c\u4e0d\u53ef\u80fd\u843d\u5728\u5916\u9762\uff09\u3002
\u6240\u4ee5\u222b\u222b(x\u3001y\u6240\u6709\u53ef\u80fd\u8303\u56f4)Ae^(-x-2y)dxdy=1
\u4e5f\u5c31\u662f\u222b(0\u5230+\u221e)Ae^(-x)dx\u00b7\u222b(0\u5230+\u221e)e^(-2y)dy=1
\u8ba1\u7b97\u51faA\u00b71/2=1\u5f97\u5230A=2
(2)\u8054\u5408\u5206\u5e03\u51fd\u6570\u5c31\u662fP(X\u2264x,Y\u2264y)\u8fd9\u4e2a\u6982\u7387\uff0c\u8fd9\u662f\u5b9a\u4e49\u3002\u7b97\u6cd5\u8fd8\u662f\u628a\u5bc6\u5ea6\u51fd\u6570\u8fdb\u884c\u79ef\u5206\u3002
F(x,y)=P(X\u2264x,Y\u2264y)=\u222b(0\u5230x)2e^(-t)dt\u00b7\u222b(0\u5230y)e^(-2s)ds\uff08\u7531\u4e8e\u7b26\u53f7\u4e0d\u8981\u91cd\u590d\uff0c\u79ef\u5206\u7684\u53d8\u91cf\u6362\u4e3at\u3001s\uff0c\u6700\u7ec8\u5f97\u5230\u7684\u7ed3\u679c\u662f\u5173\u4e8ex\u3001y\u7684\u5f0f\u5b50\uff0c\u697c\u4e3b\u5e94\u8be5\u80fd\u7406\u89e3\u3002\uff09
\u8ba1\u7b97\u7ed3\u679c\uff08\u4e0d\u77e5\u9053\u7b97\u5f97\u5bf9\u4e0d\u5bf9\uff09F(x,y)=[1-e^(-x)]\u00b7[1-e^(-2y)]
\u5f53\u7136\u8303\u56f4\u8fd8\u662fx,y>0
(3)\u8fd9\u4e2a\u5c31\u662f\u968f\u673a\u5411\u91cf\u843d\u5728\u7279\u5b9a\u533a\u57df\u7684\u6982\u7387\uff0c\u5c31\u662f\u5bc6\u5ea6\u51fd\u6570\u5728\u8fd9\u4e2a\u533a\u57df\u4e0a\u9762\u7684\u79ef\u5206\u3002
\u6240\u6c42\u7684P=\u222b(0\u52301)2e^(-x)dx\u00b7\u222b(1/2\u52301)e^(-2y)dy
\u8ba1\u7b97\u7ed3\u679c\uff08\u4e0d\u77e5\u9053\u5bf9\u4e0d\u5bf9\uff09\u5e94\u8be5\u662f(1-1/e)(1/e-1/e²)=1/e\u00b7(1-1/e)²\u3002
\u79ef\u5206\u8ba1\u7b97\u6700\u597d\u697c\u4e3b\u90fd\u9a8c\u7b97\u4e00\u4e0b\u2026\u2026
\u8bd5\u8bd5
P(X=0,Y=0)=C(3,3)/C(8,3)=1/56P(X=0,Y=1)=C(3,1)*C(3,2)/C(8,3)=9/56
P(X=0,Y=2)=C(3,1)*C(3,2)/C(8,3)=9/56
P(X=0,Y=3)=C(3,3)/C(8,3)=1/56
P(X=1,Y=0)=C(2,1)*C(3,2)/C(8,3)=6/56
P(X=1,Y=1)=C(2,1)*C(3,1)*C(3,1)/C(8,3)=18/56
P(X=1,Y=2)=C(2,1)*C(3,1)/C(8,3)=6/56
P(X=2,Y=0)=C(2,2)*C(3,1)/C(8,3)=3/56
P(X=2,Y=1)=C(2,1)*C(3,1)/C(8,3)=3/56
X边缘分布
Y Y Y Y P(X=i)
0 1 2 3
X 0 1/56 9/56 9/56 1/56 5/14
X 1 3/28 9/28 3/28 0 15/28
X 2 3/56 3/56 0 0 3/28
Y边缘分布 P(Y=j) 5/28 15/28 15/56 1/56 1
P(X=i,Y=j)≠P(X=i)*P(Y=j),所以X,Y不独立
解毕
（x，y） (0,2) (1,1) (2,0) (0,0) (0,1) (1,0)
c(3,2)/c(8,2) 2*3/c(8,2) 1/c(8,2) 3/28 9/28 6/28
=3/28 =6/28 =1/28
边缘分布：X 0 1 2 Y: 0 1 2
15/28 12/28 1/28 10/28 15/28 3/28
不独立。
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