设A是n阶矩阵且r（A）=n，证明方程组AX=0有唯一解并求其解。
\u8bbeA\u4e3am\u00d7n\u5b9e\u77e9\u9635\uff0c\u8bc1\u660e\u7ebf\u6027\u65b9\u7a0b\u7ec4Ax=0\u4e0eA'Ax=0\u540c\u89e3\u8bc1\u660e\uff1a
\u663e\u7136\u6709\uff1aAx=0\u7684\u89e3\u5fc5\u7136\u4e5f\u662fA'Ax=0\u7684\u89e3\u3002
\u4e0b\u9762\u8bc1\uff1a\u82e5A'Ax=0\uff0c\u90a3\u4e48Ax=0
x\u662fn\u7ef4\u5217\u5411\u91cf\uff0cA'Ax\u662fn\u7ef4\u5217\u5411\u91cf\u4e14A'Ax=0\uff0cx'\u662fn\u7ef4\u884c\u5411\u91cf\u3002
\u65b9\u7a0bA'Ax=0\u4e24\u8fb9\u5de6\u4e58x'\u5f97\uff1a
x'A'Ax=0
\u5373\uff1a(x'A')(Ax)=(Ax)'(Ax)=0\u2026\u2026\u2460
Ax\u662fm\u7ef4\u5217\u5411\u91cf\uff0c\u8bbe\u4e3a[a1,a2...am]'
\u90a3\u4e48\u2460\u5f0f\u7b49\u4ef7\u4e8e\uff1a
[a1,a2...am][a1,a2...am]'=0
\u5373\uff1a(a1)^2+(a2)^2+...+(am)^2=0
\u2234a1=a2=...=am=0
\u2234[a1,a2...am]'=Ax=0
\u2234A'Ax=0\u7684\u89e3\u5fc5\u7136\u662fAx=0\u7684\u89e3
\u5373\uff1a\u7ebf\u6027\u65b9\u7a0b\u7ec4Ax=0\u4e0eA'Ax=0\u540c\u89e3
\u7ed3\u8bba\u5f97\u8bc1\uff01
\u5b8b\u5fb7\u798f
其实这个解的理论就是克拉默法则，克拉默法则又可以用矩阵的逆来证明。r(A)=n,说明它一定可逆，首先，对方程两边同乘A的逆，发现使方程两边相等，又因为矩阵的逆唯一，故此解为其一个解。现在来证它的唯一性，设AX=0有解，那么它的解的形式一定为X=O，如前所证，它有解，所以有解且唯一，且为O解
当r=n（阶数）时，就是只有一个解，而且这个齐次方程的解必定有个零解。所以有唯一解为零 。其实还可以具体解释一下，不过太长了，你去看线性代数中的“解的理论”吧！
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绛旓細鍙嗭紝鎰忓懗|A|涓嶇瓑浜0锛屽嵆A鏈n闃瀛愬紡涓嶇瓑浜0锛岃鏄庡叾绉╀笉灏忎簬n锛涜屾墍鏈鐭╅樀A鐨勭З閮戒笉澶т簬缁存暟n锛鎵浠ョЗ绛変簬n銆
绛旓細濡傛灉浣犳病鏈夊乏閫嗙殑鐭ヨ瘑,杩欓噷鍙互鐩存帴缁欏嚭鐭╅樀C,鐭╅樀C=(A鐨勮浆缃*A)鐨勯*A鐨勮浆缃,浣嗚繖閲岄渶瑕佽瘉鏄n闃剁煩闃(A鐨勮浆缃*A)鏄彲閫嗙煩闃,鐢R(A)=n鎴A鏄鍒楁弧绉╃煩闃典笉闅捐瘉鏄,涓嬮潰缁欏嚭璇佹槑,鍙嶈瘉娉,濡傛灉(A鐨勮浆缃*A)涓嶆槸鍙嗙煩闃,鍗虫槸濂囧紓鐨,鍒欏瓨鍦╪闃堕潪闆跺悜閲,浣垮緱(A鐨勮浆缃*A)*x=0.x鐨勮浆缃*(A鐨...
绛旓細鐭ヨ瘑鐐: 榻愭绾挎ф柟绋嬬粍AX=0鍙湁闆惰В鐨勫厖鍒嗗繀瑕佹潯浠舵槸 r(A)=n (1) 璁癇=(b1,b2,鈥︹,bn) , 鐢盇B=0 , 鐭1,b2,鈥︹,bn鏄Ax=0鐨勮В 鍥犱负 r(A)=n , 鎵浠 Ax=0 鍙湁闆惰В 鎵浠 b1=b2=...=bn=0 鏁 B = 0.(2) 鐢盇B=A, 鍒 A(B-E) = 0 鐢(1)鐭 B-E = 0 鎵浠...
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