(1/2)谁知道错位问体的推广N个元素至少M个元素错位公式证明，全错位我用递推公式找到了通项公式。可推... 全错位排列的递推证法
\u6c42\u9519\u4f4d\u6392\u5217\u7684\u516c\u5f0f\u7ed9\u4f60\u770b\u9053\u51e0\u4e4e\u4e00\u6837\u7684\u9898\u76ee\u4e94\u4e2a\u7f16\u53f7\u4e3a1~5\u7684\u5c0f\u7403\u653e\u8fdb5\u4e2a\u7f16\u53f7\u4e3a1~5\u7684\u5c0f\u76d2\u91cc\u9762,\u5168\u9519\u4f4d\u6392\u5217\uff08\u53731\u4e0d\u653e1,2\u4e0d\u653e2,\u4f9d\u6b21\u7c7b\u63a8\uff09\u4e00\u5171\u6709\u591a\u5c11\u79cd\u653e\u6cd5\u8fd9\u662f\u8457\u540d\u7684\u4fe1\u5c01\u95ee\u9898,\u5f88\u591a\u8457\u540d\u7684\u6570\u5b66\u5bb6\u90fd\u7814\u7a76\u8fc7\u745e\u58eb\u6570\u5b66\u5bb6\u6b27\u62c9\u6309\u4e00\u822c\u60c5\u51b5\u7ed9\u51fa\u4e86\u4e00\u4e2a\u9012\u63a8\u516c\u5f0f\uff1a\u7528A\u3001B\u3001C\u2026\u2026\u8868\u793a\u5199\u7740n\u4f4d\u53cb\u4eba\u540d\u5b57\u7684\u4fe1\u5c01,a\u3001b\u3001c\u2026\u2026\u8868\u793an\u4efd\u76f8\u5e94\u7684\u5199\u597d\u7684\u4fe1\u7eb8.\u628a\u9519\u88c5\u7684\u603b\u6570\u4e3a\u8bb0\u4f5cf(n).\u5047\u8bbe\u628aa\u9519\u88c5\u8fdbB\u91cc\u4e86,\u5305\u542b\u7740\u8fd9\u4e2a\u9519\u8bef\u7684\u4e00\u5207\u9519\u88c5\u6cd5\u5206\u4e24\u7c7b\uff1a\uff081\uff09b\u88c5\u5165A\u91cc,\u8fd9\u65f6\u6bcf\u79cd\u9519\u88c5\u7684\u5176\u4f59\u90e8\u5206\u90fd\u4e0eA\u3001B\u3001a\u3001b\u65e0\u5173,\u5e94\u6709f(n-2)\u79cd\u9519\u88c5\u6cd5.\uff082\uff09b\u88c5\u5165A\u3001B\u4e4b\u5916\u7684\u4e00\u4e2a\u4fe1\u5c01,\u8fd9\u65f6\u7684\u88c5\u4fe1\u5de5\u4f5c\u5b9e\u9645\u662f\u628a\uff08\u9664a\u4e4b\u5916\u7684\uff09\u4efd\u4fe1\u7eb8b\u3001c\u2026\u2026\u88c5\u5165\uff08\u9664B\u4ee5\u5916\u7684\uff09n\uff0d1\u4e2a\u4fe1\u5c01A\u3001C\u2026\u2026,\u663e\u7136\u8fd9\u65f6\u88c5\u9519\u7684\u65b9\u6cd5\u6709f(n-1)\u79cd.\u603b\u4e4b\u5728a\u88c5\u5165B\u7684\u9519\u8bef\u4e4b\u4e0b,\u5171\u6709\u9519\u88c5\u6cd5f(n-2)+f(n-1)\u79cd.a\u88c5\u5165C,\u88c5\u5165D\u2026\u2026\u7684n\uff0d2\u79cd\u9519\u8bef\u4e4b\u4e0b,\u540c\u6837\u90fd\u6709f(n-2)+f(n-1)\u79cd\u9519\u88c5\u6cd5,\u56e0\u6b64:f(n)=(n-1){f(n-1)+f(n-2)}\u8fd9\u662f\u9012\u63a8\u516c\u5f0f,\u4ee4n\uff1d1\u30012\u30013\u30014\u30015\u9010\u4e2a\u63a8\u7b97\u5c31\u80fd\u89e3\u7b54\u8499\u6469\u7684\u95ee\u9898.f(1)=0f(2)=1f(3)=2f(4)=9f(5)=44\u7b54\u6848\u662f44\u79cd\u9519\u4f4d\u6392\u5217\u5c31\u662f\u7ed9\u81ea\u5df1\u7684\u4e0d\u7b97,\u6765\u6392\u5217
\u8bbe\u6709N\u4e2a\u5143\u7d20\u4f5c\u6392\u5217
\u8bb0ai(i=0,1,...,N)\u4e3a\u6070\u597d\u6709i\u4e2a\u5143\u7d20\u9519\u4f4d\u7684\u6392\u5217\u6570,\u5219\u6709
A(N,N)=C(N,0)a0+C(N,1)a1+...+C(N,N)aN
\u5176\u4e2dA(N,N)\u662fN\u4e2a\u5143\u7d20\u7684\u5168\u6392\u5217,C(N,i)\u662fN\u4e2a\u5143\u7d20\u91cc\u9009i\u4e2a\u7684\u7ec4\u5408\u6570
\u4e0a\u9762\u7684\u516c\u5f0f\u53ef\u4ee5\u7406\u89e3\u4e3a
N\u4e2a\u5143\u7d20\u7684\u5168\u6392\u5217\u53ef\u4ee5\u770b\u4f5c\u662f:\u5148\u4eceN\u4e2a\u5143\u7d20\u91cc\u9009\u51fai\u4e2a,\u5176\u4ed6\u5143\u7d20\u4f4d\u7f6e\u4e0d\u53d8,\u4f46\u662f\u8fd9i\u4e2a\u5143\u7d20\u5168\u9519\u4f4d\u6392\u5217,\u5f53i\u4ece0\u53d6\u5230N\u4ee5\u540e,\u521a\u597d\u5c31\u662fN\u4e2a\u5143\u7d20\u7684\u5168\u6392\u5217\u6570
\u73b0\u5728\u6211\u4eec\u53ef\u7531\u4e0a\u9762\u7684\u516c\u5f0f\u5f97\u5230\u5168\u9519\u4f4d\u6392\u5217\u7684\u9012\u63a8\u516c\u5f0f,\u5373
aN=A(N,N)-[C(N,0)a0+C(N,1)a1+...+C(N,N-1)a(N-1)]
记ai(i=0,1,...,N)为恰好有i个元素错位的排列数,则有
A(N,N)=C(N,0)a0+C(N,1)a1+...+C(N,N)aN
其中A(N,N)是N个元素的全排列,C(N,i)是N个元素里选i个的组合数
上面的公式可以理解为
N个元素的全排列可以看作是:先从N个元素里选出i个,其他元素位置不变,但是这i个元素全错位排列,当i从0取到N以后,刚好就是N个元素的全排列数
现在我们可由上面的公式得到全错位排列的递推公式,即
aN=A(N,N)-[C(N,0)a0+C(N,1)a1+...+C(N,N-1)a(N-1)]
错位排列:n个相异元素中m(≤n)个元素ai1,ai2,…,aim，其中aik(k=1,2,…,m)不在第ik(k=1,2,…,m)个位置(以下简称其为aik的本位)，而其他n-m个元素中的任何一个都在原来的位置(本位)的排列.
禁位排列(本文只讨论一个元素禁止排在一个位置的情况):n个相异元素中的m个元素ai1,ai2,…,aim，其中aik(k=1,2,…,m)不能排在第jk(k=1,2,…,m)个位置的排列.
两者的区别在于：错位排列中除这m个元素之外的其他n-m个元素都在本位，即这m个元素只能在m个位置i1,i2,…,im中排列，且不出现aik(k=1,2,…,m)在ik位的情况；而禁位排列中只限制m个元素不在本位，因此aik(k=1,2,…,m)可以排在1,2,…,n中除ik之外的任何位置.
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