高等数学三角函数极限问题求解 高等数学，三角函数，极限，求解这两部详细过程，尤其是最后怎么...
\u9ad8\u7b49\u6570\u5b66\u6c42\u4e09\u89d2\u51fd\u6570\u6781\u9650\u95ee\u9898 \u6c42\u89e3\u7b2c\u4e09\u5341\u4e8c\u9898 \u6ca1\u5b66\u6d1b\u5fc5\u8fbe\u6cd5\u5219
\u4ee5\u4e0a\uff0c\u8bf7\u91c7\u7eb3\u3002\u539f\u56e0\u5907\u6ce8\u5728\u540e\u8fb9\u4e86\u3002
原式=lim(x→0) e^[(cotx^2)lncosx]
=lim(x→0) e^[lncosx/tanx^2]
=lim(x→0) e^[lncosx/x^2]（无穷小量等价代换）
=lim(x→0) e^[(-sinx/cosx)/2x]（洛必达法则，能少用尽量少用）
又当x→0时，1/cosx=1，sinx~x
于是，原式==lim(x→0) e^（-1/2）
取对数后不用洛必达法则也可做。
lim (cotx)^2lncosx＝lim (cotx)^2(cosx-1)，这里lncosx等价于cosx-1
＝lim (cosx)^2(cosx-1)/(sinx)^2
＝ lim (cosx-1)/(sinx)^2 cosx的极限是1
＝lim (-1)/(cosx+1) 三角恒等变形
=-1/2
所以原极限是e^(-1/2)
有指数的，取对数比较方便。
原极限=S，则lnS=（省略极限符号）=(cotx)^2lncosx
=lncosx/(tanx)^2
=（罗比达法则）=(-sinx/cosx)/[2tanx/(cosx)^2]
=-sinxcosx/2tanx
=（sinx等价于tanx）=-cosx/2=-1/2
所以S=e^(-1/2)
原式=lim(x->0) (1+(cosx-1))^((1/(cosx-1))*(cosx-1)*(cotx)^2)
=lim(x->0) (1+(cosx-1))^((1/(cosx-1))*(cosx-1)*(cosx/sinx)^2)
令t=cosx-1，则x->0与t->0等价.
将cosx=t+1代入
原式化为lim(t->0) (1+t)^((1/t)*t*(t+1)^2/(1-(t+1)^2)).
因为lim(t->0) (1+t)^(1/t)=e.
lim(t->0) t*(t+1)^2/(1-(t+1)^2)
=lim(t->0) t/(-t^2-2t)
=lim(t->0) 1/(-t-2)
=-1/2.
所以原式=e^(-1/2).
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