求级数的和∑(n=0到∞)cosnx/n! 如何证明级数“∑（1到∞）cosnx/n！”绝对收敛

\u5982\u4f55\u8bc1\u660e\u7ea7\u6570\u2211(n=0\u5230\u221e)cosnx/n\uff01\u7edd\u5bf9\u6536\u655b?\u6025\uff01\uff01\uff01

\u5047\u8bbe\u6570\u5217an\u662f\u6536\u655b\u7684\uff0c\u90a3\u4e48\u6709lim\uff08n\u2192\u221e\uff09Sn=C\uff08C\u662f\u5e38\u6570\uff09\u3002\u90a3\u4e48lim\uff08n\u2192\u221e\uff09an=lim\uff08n\u2192\u221e\uff09\uff08S\uff08n+1\uff09-Sn\uff09=lim\uff08n\u2192\u221e\uff09S\uff08n+1\uff09-lim\uff08n\u2192\u221e\uff09Sn=C-C=0\u3002
\u6240\u4ee5\u6536\u655b\u7ea7\u6570\u7684\u901a\u9879\u5f53n\u2192\u221e\u65f6\uff0c\u6781\u9650\u5fc5\u7136\u662f0\u5f53\u3002\u800cn\u2192\u221e\u65f6\uff0c1/n\u21920\u3002\u90a3\u4e48cos1/n\u2192cos0=1\uff0c\u901a\u9879\u7684\u6781\u9650\u4e0d\u662f0\uff0c\u6240\u4ee5\u2211(n=1,\u221e)cos1/n\u53d1\u6563\u3002

\u6269\u5c55\u8d44\u6599\uff1a
\u6ce8\u610f\u4e8b\u9879\uff1a
\u4e00\u4e2a\u7edd\u5bf9\u6536\u655b\u7ea7\u6570\u7684\u6b63\u6570\u9879\u4e0e\u8d1f\u6570\u9879\u6240\u7ec4\u6210\u7684\u7ea7\u6570\u90fd\u662f\u6536\u655b\u7684\u3002\u4e00\u4e2a\u6761\u4ef6\u6536\u655b\u7ea7\u6570\u7684\u6b63\u6570\u9879\u4e0e\u8d1f\u6570\u9879\u6240\u7ec4\u6210\u7684\u7ea7\u6570\u90fd\u662f\u53d1\u6563\u7684\u3002
\u5bf9\u4e8e\u4efb\u610f\u7ed9\u5b9a\u7684\u6b63\u6570tol\uff0c\u53ef\u4ee5\u627e\u5230\u5408\u9002\u7684\u533a\u95f4(\u8b6c\u5982\u5750\u6807\u7edd\u5bf9\u503c\u5145\u5206\u5c0f)\uff0c\u4f7f\u5f97\u8fd9\u4e2a\u533a\u95f4\u5185\u4efb\u610f\u4e09\u4e2a\u70b9\u7ec4\u6210\u7684\u4e09\u89d2\u5f62\u9762\u79ef\u90fd\u5c0f\u4e8etol\u3002
\u53c2\u8003\u8d44\u6599\u6765\u6e90\uff1a\u767e\u5ea6\u767e\u79d1-\u7ea7\u6570
\u53c2\u8003\u8d44\u6599\u6765\u6e90\uff1a\u767e\u5ea6\u767e\u79d1-\u7edd\u5bf9\u6536\u655b

\u5047\u8bbe\u6570\u5217an\u662f\u6536\u655b\u7684\uff0c\u90a3\u4e48\u6709lim\uff08n\u2192\u221e\uff09Sn=C\uff08C\u662f\u5e38\u6570\uff09\u3002\u90a3\u4e48lim\uff08n\u2192\u221edao\uff09an=lim\uff08n\u2192\u221e\uff09\uff08S\uff08n+1\uff09-Sn\uff09=lim\uff08n\u2192\u221e\uff09S\uff08n+1\uff09-lim\uff08n\u2192\u221e\uff09Sn=C-C=0\u3002
\u6240\u4ee5\u6536\u655b\u7ea7\u6570\u7684\u901a\u9879\u5f53n\u2192\u221e\u65f6\uff0c\u6781\u9650\u5fc5\u7136\u662f0\u5f53\u3002\u800cn\u2192\u221e\u65f6\uff0c1/n\u21920\u3002\u90a3\u4e48cos1/n\u2192cos0=1\uff0c\u901a\u9879\u7684\u6781\u9650\u4e0d\u662f0\uff0c\u6240\u4ee5\u2211(n=1,\u221e)cos1/n\u53d1\u6563\u3002

\u6269\u5c55\u8d44\u6599\uff1a
\u6ce8\u610f\u4e8b\u9879\uff1a
\u4e00\u4e2a\u7edd\u5bf9\u6536\u655b\u7ea7\u6570\u7684\u6b63\u6570\u9879\u4e0e\u8d1f\u6570\u9879\u6240\u7ec4\u6210\u7684\u7ea7\u6570\u90fd\u662f\u6536\u655b\u7684\u3002\u4e00\u4e2a\u6761\u4ef6\u6536\u655b\u7ea7\u6570\u7684\u6b63\u6570\u9879\u4e0e\u8d1f\u6570\u9879\u6240\u7ec4\u6210\u7684\u7ea7\u6570\u90fd\u662f\u53d1\u6563\u7684\u3002
\u5bf9\u4e8e\u4efb\u610f\u7ed9\u5b9a\u7684\u6b63\u6570tol\uff0c\u53ef\u4ee5\u627e\u5230\u5408\u9002\u7684\u533a\u95f4(\u8b6c\u5982\u5750\u6807\u7edd\u5bf9\u503c\u5145\u5206\u5c0f)\uff0c\u4f7f\u5f97\u8fd9\u4e2a\u533a\u95f4\u5185\u4efb\u610f\u4e09\u4e2a\u70b9\u7ec4\u6210\u7684\u4e09\u89d2\u5f62\u9762\u79ef\u90fd\u5c0f\u4e8etol\u3002

注意到∑z^n/n!=e^z=exp(cosx+isinx)=cos(sinx)e^(cosx)+i*sin(sinx)e^(cosx),其中z=e^(ix)
则∑(n=0到∞)cosnx/n!=Re{∑z^n/n!}=cos(sinx)e^(cosx)

证明∑(n=0到∞)sin(nθ)/n!=sin(sinθ)e^cosθ
因为sin(sinθ)e^cosθ=Im{e^[cosθ+isinθ]}=Im{exp[e^(iθ)]}
=Im∑e^(inθ)/n!=Im∑(cosθ+isinθ)^n/n!
=Im∑(cosnθ+isinnθ)/n!=∑sin(nθ)/n!

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绛旓細涓夎鍑芥暟鐗规畩鍊硷紝涓鑸寚鐗规畩涓夎鍑芥暟鍊硷紝涓鑸寚鍦0锛30掳锛45掳锛60掳锛90掳锛120掳锛150掳锛180掳绛夎涓嬬殑姝ｄ綑寮﹀笺佹鍒囧肩瓑銆傝繖浜涜搴︾殑涓夎鍑芥暟鍊兼槸缁忓父鐢ㄥ埌鐨勩傚苟涓斿埄鐢ㄤ袱瑙掑拰涓宸殑涓夎鍑芥暟鍏紡锛屽彲浠ユ眰鍑轰竴浜涘叾浠栬搴︾殑涓夎鍑芥暟鍊笺傚涓嬪浘锛氬欢浼革細涓夎鍑芥暟涓夎鍑芥暟鏄叚绫诲熀鏈垵绛夊嚱鏁颁箣涓锛屾槸...

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