十字相乘法 一元二次方程的十字相乘法怎么弄
\u5341\u5b57\u76f8\u4e58\u6cd5\u7684\u6280\u5de7\u5341\u5b57\u76f8\u4e58\u6cd5\u7684\u5177\u4f53\u65b9\u6cd5\uff1a\u5341\u5b57\u5de6\u8fb9\u76f8\u4e58\u7b49\u4e8e\u4e8c\u6b21\u9879\u7cfb\u6570,\u53f3\u8fb9\u76f8\u4e58\u7b49\u4e8e\u5e38\u6570\u9879,\u4ea4\u53c9\u76f8\u4e58\u518d\u76f8\u52a0\u7b49\u4e8e\u4e00\u6b21\u9879\u7cfb\u6570.
\u5e94\u7528\u5341\u5b57\u76f8\u4e58\u6cd5\u89e3\u9898\u7684\u5b9e\u4f8b\uff1a
\u4f8b1\u628am²+4m-12\u5206\u89e3\u56e0\u5f0f
\u5206\u6790\uff1a
\u672c\u9898\u4e2d\u5e38\u6570\u9879-12\u53ef\u4ee5\u5206\u4e3a-1\u00d712,-2\u00d76,-3\u00d74,-4\u00d73,-6\u00d72,-12\u00d71\u5f53-12\u5206\u6210-2\u00d76\u65f6,\u624d\u7b26\u5408\u672c\u9898
\u56e0\u4e3a 1 -2
1 \u2573 6
\u6240\u4ee5m²+4m-12=\uff08m-2\uff09\uff08m+6\uff09
\u4f8b2\u628a5x²+6x-8\u5206\u89e3\u56e0\u5f0f
\u5206\u6790\uff1a
\u672c\u9898\u4e2d\u76845\u53ef\u5206\u4e3a1\u00d75,-8\u53ef\u5206\u4e3a-1\u00d78,-2\u00d74,-4\u00d72,-8\u00d71.\u5f53\u4e8c\u6b21\u9879\u7cfb\u6570\u5206\u4e3a1\u00d75,\u5e38\u6570\u9879\u5206\u4e3a-4\u00d72\u65f6,\u624d\u7b26\u5408\u672c\u9898
\u56e0\u4e3a 1 2
5 \u2573 -4
\u6240\u4ee55x²+6x-8=\uff08x+2\uff09\uff085x-4\uff09
\u4f8b3\u89e3\u65b9\u7a0bx²-8x+15=0
\u5206\u6790\uff1a
\u628ax²-8x+15\u770b\u6210\u5173\u4e8ex\u7684\u4e00\u4e2a\u4e8c\u6b21\u4e09\u9879\u5f0f,\u521915\u53ef\u5206\u62101\u00d715,3\u00d75.
\u56e0\u4e3a 1 -3
1 \u2573 -5
\u6240\u4ee5\u539f\u65b9\u7a0b\u53ef\u53d8\u5f62\uff08x-3\uff09\uff08x-5\uff09=0
\u6240\u4ee5x1=3 x2=5
\u4f8b4\u3001\u89e3\u65b9\u7a0b 6x²-5x-25=0
\u5206\u6790\uff1a
\u628a6x²-5x-25\u770b\u6210\u4e00\u4e2a\u5173\u4e8ex\u7684\u4e8c\u6b21\u4e09\u9879\u5f0f,\u52196\u53ef\u4ee5\u5206\u4e3a1\u00d76,2\u00d73,-25\u53ef\u4ee5\u5206\u6210-1\u00d725,-5\u00d75,-25\u00d71.
\u56e0\u4e3a 2 -5
3 \u2573 5
\u6240\u4ee5 \u539f\u65b9\u7a0b\u53ef\u53d8\u5f62\u6210\uff082x-5\uff09\uff083x+5\uff09=0
\u6240\u4ee5 x1=5/2 x2=-5/3
\u6269\u5c55\u8d44\u6599\uff1a
\u5341\u5b57\u5206\u89e3\u6cd5\u7684\u65b9\u6cd5\u7b80\u5355\u6765\u8bb2\u5c31\u662f\uff1a\u5341\u5b57\u5de6\u8fb9\u76f8\u4e58\u7b49\u4e8e\u4e8c\u6b21\u9879\u7cfb\u6570\uff0c\u53f3\u8fb9\u76f8\u4e58\u7b49\u4e8e\u5e38\u6570\u9879\uff0c\u4ea4\u53c9\u76f8\u4e58\u518d\u76f8\u52a0\u7b49\u4e8e\u4e00\u6b21\u9879\u7cfb\u6570\u3002\u5176\u5b9e\u5c31\u662f\u8fd0\u7528\u4e58\u6cd5\u516c\u5f0f(x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab\u7684\u9006\u8fd0\u7b97\u6765\u8fdb\u884c\u56e0\u5f0f\u5206\u89e3\u3002
\u5341\u5b57\u5206\u89e3\u6cd5\u80fd\u7528\u4e8e\u4e8c\u6b21\u4e09\u9879\u5f0f\u7684\u5206\u89e3\u56e0\u5f0f\uff08\u4e0d\u4e00\u5b9a\u662f\u6574\u6570\u8303\u56f4\u5185\uff09\u3002\u5bf9\u4e8e\u50cfax²+bx+c=(a1x+c1\uff09(a2x+c2\uff09\u8fd9\u6837\u7684\u6574\u5f0f\u6765\u8bf4\uff0c\u8fd9\u4e2a\u65b9\u6cd5\u7684\u5173\u952e\u662f\u628a\u4e8c\u6b21\u9879\u7cfb\u6570a\u5206\u89e3\u6210\u4e24\u4e2a\u56e0\u6570a1,a2\u7684\u79ef\uff0c\u628a\u5e38\u6570\u9879c\u5206\u89e3\u6210\u4e24\u4e2a\u56e0\u6570c1,c2\u7684\u79ef\uff0c\u5e76\u4f7fa1c2+a2c1\u6b63\u597d\u7b49\u4e8e\u4e00\u6b21\u9879\u7684\u7cfb\u6570b\u3002
\u90a3\u4e48\u53ef\u4ee5\u76f4\u63a5\u5199\u6210\u7ed3\u679c:ax²+bx+c=(a1x+c1\uff09(a2x+c2\uff09\u3002\u5728\u8fd0\u7528\u8fd9\u79cd\u65b9\u6cd5\u5206\u89e3\u56e0\u5f0f\u65f6\uff0c\u8981\u6ce8\u610f\u89c2\u5bdf\uff0c\u5c1d\u8bd5\uff0c\u5e76\u4f53\u4f1a\uff0c\u5b83\u7684\u5b9e\u8d28\u662f\u4e8c\u9879\u5f0f\u4e58\u6cd5\u7684\u9006\u8fc7\u7a0b\u3002\u5f53\u9996\u9879\u7cfb\u6570\u4e0d\u662f1\u65f6\uff0c\u5f80\u5f80\u9700\u8981\u591a\u6b21\u8bd5\u9a8c\uff0c\u52a1\u5fc5\u6ce8\u610f\u5404\u9879\u7cfb\u6570\u7684\u7b26\u53f7\u3002\u57fa\u672c\u5f0f\u5b50\uff1ax²+(p+q\uff09x+pq=(x+p\uff09(x+q\uff09\u3002
\u53c2\u8003\u8d44\u6599\uff1a\u767e\u5ea6\u767e\u79d1-\u5341\u5b57\u76f8\u4e58\u6cd5
21.2.7\u89e3\u4e00\u5143\u4e8c\u6b21\u65b9\u7a0b\uff1a\u5341\u5b57\u76f8\u4e58\u6cd5
1.x2+6x－72； 2.(x+y) 2－8(x+y)+48；
3.x4－7x2+18； 4.x2－10xy－56y2.
答：
1.(x+12)(x－6)； 2.(x+y－12)(x+y+4)；
3.(x+3)(x－3)(x2+2)； 4.(x－14y)(x+4y).
我们已经学习了把形如x2+px+q的某些二次三项式分解因式，也学习了通过设辅助元的方法把能转化为形如x2+px+q型的某些多项式分解因式.
对于二次项系数不是非曲直的二次三项式如何分解因式呢?这节课就来讨论这个问题,即把某些形如ax2+bx+c的二次三项式分解因式.
二、新课
例1 把2x2－7x+3分解因式.
分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下解，再分解常数项，分
别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数.
分解二次项系数(只取正因数)：
2＝1×2＝2×1；
分解常数项：
3=1×3=1×3==(－3)×(－1)=(－1)×(－3).
用画十字交叉线方法表示下列四种情况：
1 1
�
2 3
1×3+2×1
=5
1 3
�
2 1
1×1+2×3
=7
1 －1
�
2 －3
1×(－3)+2×(－1)
=－5
1 －3
�
2 －1
1×(－1)+2×(－3)
=－7
经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数－7.
解 2x2－7x+3=(x－3)(2x－1).
一般地，对于二次三项式ax2+bx+c(a≠0)，如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a=a1a2，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=c1c2，把a1，a2，c1，c2，排列如下：
a1 c1
�
a2 c2
a1a2+a2c1
按斜线交叉相乘，再相加，得到a1a2+a2c1，若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系数b，即a1c2+a2c1=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即
ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2).
像这种借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常
叫做十字相乘法.
例2 把6x2－7x－5分解因式.
分析：按照例1的方法，分解二次项系数6及常数项－5，把它们分别排列，可有8种不同的排列方法，其中的一种
2 1
�
3 －5
2×(－5)+3×1=－7
是正确的，因此原多项式可以用十字相乘法分解因式.
解 6x2－7x－5=(2x+1)(3x－5).
指出：通过例1和例2可以看到，运用十字相乘法把一个二次项系数不是1的二次三项式因式分解，往往要经过多次观察，才能确定是否可以用十字相乘法分解因式.
对于二次项系数是1的二次三项式，也可以用十字相乘法分解因式，这时只需考虑如何把常数项分解因数.例如把x2+2x－15分解因式，十字相乘法是
1 －3
�
1 5
1×5+1×(－3)=2
所以x2+2x-15=(x－3)(x+5).
例3 把5x2+6xy－8y2分解因式.
分析：这个多项式可以看作是关于x的二次三项式，把－8y2看作常数项，在分解二次项及常数项系数时，只需分解5与－8，用十字交叉线分解后，经过观察，选取合适的一组，即
1 2
�
5 －4
1×(－4)+5×2=6
解 5x2+6xy－8y2=(x+2y)(5x－4y).
指出：原式分解为两个关于x，y的一次式.
例4 把(x－y)(2x－2y－3)－2分解因式.
分析：这个多项式是两个因式之积与另一个因数之差的形式，只有先进行多项式的乘法运算，把变形后的多项式再因式分解.
问：两上乘积的因式是什么特点，用什么方法进行多项式的乘法运算最简便?
答：第二个因式中的前两项如果提出公因式2，就变为2(x－y)，它是第一个因式的二倍，然后把(x－y)看作一个整体进行乘法运算，可把原多项式变形为关于(x－y)的二次三项式，就可以用十字相乘法分解因式了.
解 (x－y)(2x－2y－3)－2
=(x－y)[2(x－y)－3]－2
=2(x－y) 2－3(x－y)－2
=[(x－y)－2][2(x－y)+1]
=(x－y－2)(2x－2y+1).
1 －2
�
2 +1
1×1+2×(－2)=－3
指出：把(x－y)看作一个整体进行因式分解，这又是运用了数学中的“整体”思想方法.
三、课堂练习
1.用十字相乘法分解因式：
(1)2x2－5x－12； (2)3x2－5x－2；
(3)6x2－13x+5； (4)7x2－19x－6；
(5)12x2－13x+3； (6)4x2+24x+27.
2.把下列各式分解因式：
(1)6x2－13xy+6y2； (2)8x2y2+6xy－35；
(3)18x2－21xy+5y2； (4)2(a+b) 2+(a+b)(a－b)－6(a－b) 2.
答案：
1.(1)(x－4)(2x+3)； (2)(x－2)(3x+1)；
(3)(2x－1)(3x－5)； (4)(x－3)(7x+2)；
(5)(3x－1)(4x－3)； (6)(2x+3)(2x+9).
2.(1)(2x－3y)(3x－2y)； (2)(2xy+5)(4xy－7)；
(3)(3x－y)(6x－5y)； (4)(3a－b)(5b－a).
四、小结
1.用十字相乘法把某些形如ax2+bx+c的二次三项式分解因式时，应注意以下问题：
(1)正确的十字相乘必须满足以下条件：
a1 c1
在式子 � 中，竖向的两个数必须满足关系a1a2=a，c1c2=c；在上式中，斜向的
a2 c2
两个数必须满足关系a1c2+a2c1=b.
(2)由十字相乘的图中的四个数写出分解后的两个一次因式时，图的上一行两个数中，a1是第一个因式中的一次项系数，c1是常数项；在下一行的两个数中，a2是第二个因式中的一次项的系数，c2是常数项.
(3)二次项系数a一般都把它看作是正数(如果是负数，则应提出负号，利用恒等变形把它转化为正数，)只需把它分解成两个正的因数.
2.形如x2+px+q的某些二次三项式也可以用十字相乘法分解因式.
3.凡是可用代换的方法转化为二次三项式ax2+bx+c的多项式，有些也可以用十字相乘法分解因式，如例4.
五、作业
1.用十字相乘法分解因式：
(1)2x2+3x+1； (2)2y2+y－6；
(3)6x2－13x+6； (4)3a2－7a－6；
(5)6x2－11xy+3y2； (6)4m2+8mn+3n2；
(7)10x2－21xy+2y2； (8)8m2－22mn+15n2.
2．把下列各式分解因式：
(1)4n2+4n－15； (2)6a2+a－35；
(3)5x2－8x－13； (4)4x2+15x+9
(5)15x2+x－2； (6)6y2+19y+10；
(7)20－9y－20y2； (8)7(x－1) 2+4(x－1)(y+2)－20(y+2) 2.
答案：
1.(1)(2x+1)(x+1)； (2)(y+2)(2y－3)；
(3)(2x－3)(3x－2); (4)(a－3)(3a+2);
(5)(2x－3y)(3x－y); (6)(2m+n)(2m+3n);
(7)(x－2y)(10x－y); (8)(2m－3n)(4m－5n).
2.(1)(2n－3)(2n+5); (2)(2a+5)(3a－7);
(3)(x+1)(5x-13); (4)(x+3)(4x+3);
(5)(3x－1)(5x+2); (6)(2y+5)(3y+2);
(7)－(4y+5)(5y－4); (8)(x+2y+3)(7x－10y－27).
1.用十字相乘法分解因式：
(1)2x2－5x－12； (2)3x2－5x－2；
(3)6x2－13x+5； (4)7x2－19x－6；
(5)12x2－13x+3； (6)4x2+24x+27.
2.把下列各式分解因式：
(1)6x2－13xy+6y2； (2)8x2y2+6xy－35；
(3)18x2－21xy+5y2； (4)2(a+b) 2+(a+b)(a－b)－6(a－b) 2.
1.用十字相乘法分解因式：
(1)2x2+3x+1； (2)2y2+y－6；
(3)6x2－13x+6； (4)3a2－7a－6；
(5)6x2－11xy+3y2； (6)4m2+8mn+3n2；
(7)10x2－21xy+2y2； (8)8m2－22mn+15n2.
2．把下列各式分解因式：
(1)4n2+4n－15； (2)6a2+a－35；
(3)5x2－8x－13； (4)4x2+15x+9
(5)15x2+x－2； (6)6y2+19y+10；
(7)20－9y－20y2； (8)7(x－1) 2+4(x－1)(y+2)－20(y+2) 2.
1.x2+6x－72； 2.(x+y) 2－8(x+y)+48；
3.x4－7x2+18； 4.x2－10xy－56y2.
(1)x2-6x-7
(2)x2+6x-7
(3)x2-8x+7
(4)x2+8x+7
(5)x2-5x+6
(6)x2-5x-6
(7)x2+5x-6
(8)x2+5x+6
x^2+2x-3=0
x^2+3x-4=0
x^2+4x-5=0
x^2+5x-6=0
x^2+3x+2=0
x^2+4x+3=0
x^2+5x+4=0
x^2+6x+5=0
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