提公因式怎么提呀 怎样提公因式啊
\u63d0\u516c\u56e0\u5f0f\u6cd5\u7684\u89e3\u9898\u6b65\u9aa4\u63d0\u53d6\u516c\u56e0\u5f0f\u6cd5\u662f\u56e0\u5f0f\u5206\u89e3\u7684\u4e00\u79cd\u57fa\u672c\u65b9\u6cd5\u3002\u5982\u679c\u591a\u9879\u5f0f\u7684\u5404\u9879\u6709\u516c\u56e0\u5f0f\uff0c\u53ef\u4ee5\u628a\u8fd9\u4e2a\u516c\u56e0\u5f0f\u63d0\u53d6\u51fa\u6765\u4f5c\u4e3a\u591a\u9879\u5f0f\u7684\u4e00\u4e2a\u56e0\u5f0f\uff0c\u63d0\u53d6\u516c\u56e0\u5f0f\u540e\u7684\u5f0f\u5b50\u653e\u5728\u62ec\u53f7\u91cc\uff0c\u4f5c\u4e3a\u53e6\u4e00\u4e2a\u56e0\u5f0f\u3002\u63d0\u53d6\u516c\u56e0\u5f0f\u662f\u4e58\u6cd5\u5206\u914d\u5f8b\u7684\u9006\u8fd0\u7b97\uff0c\u5176\u6700\u7b80\u5f62\u5f0f\u4e3a\uff1ama+mb+mc=m(a+b+c) \u3002\u63d0\u53d6\u516c\u56e0\u5f0f\u6cd5\u5206\u89e3\u56e0\u5f0f\u7684\u89e3\u9898\u6b65\u9aa4\u662f\u600e\u6837\u7684\uff1f\u5229\u7528\u63d0\u516c\u56e0\u5f0f\u6cd5\u5206\u89e3\u56e0\u5f0f\u65f6\uff0c\u4e00\u822c\u5206\u4e24\u6b65\u8fdb\u884c\uff1a\uff081\uff09\u63d0\u516c\u56e0\u5f0f\u3002\u628a\u5404\u9879\u4e2d\u76f8\u540c\u5b57\u6bcd\u6216\u56e0\u5f0f\u7684\u6700\u4f4e\u6b21\u5e42\u7684\u79ef\u4f5c\u4e3a\u516c\u56e0\u5f0f\u63d0\u51fa\u6765\uff1b\u5f53\u7cfb\u6570\u4e3a\u6574\u6570\u65f6\uff0c\u8fd8\u8981\u628a\u5b83\u4eec\u7684\u6700\u5927\u516c\u7ea6\u6570\u4e5f\u63d0\u51fa\u6765\uff0c\u4f5c\u4e3a\u516c\u56e0\u5f0f\u7684\u7cfb\u6570\uff1b\u5f53\u591a\u9879\u5f0f\u9996\u9879\u7b26\u53f7\u4e3a\u8d1f\u65f6\uff0c\u8fd8\u8981\u63d0\u51fa\u8d1f\u53f7 \u3002\uff082\uff09\u7528\u516c\u56e0\u5f0f\u5206\u522b\u53bb\u9664\u591a\u9879\u5f0f\u7684\u6bcf\u4e00\u9879\uff0c\u628a\u6240\u5f97\u7684\u5546\u7684\u4ee3\u6570\u548c\u4f5c\u4e3a\u53e6\u4e00\u4e2a\u56e0\u5f0f\uff0c\u4e0e\u516c\u56e0\u5f0f\u5199\u6210\u79ef\u7684\u5f62\u5f0f\u3002\u7531\u4e8e\u9898\u76ee\u5f62\u5f0f\u5343\u53d8\u4e07\u5316\uff0c\u89e3\u9898\u65f6\u4e5f\u4e0d\u80fd\u751f\u642c\u786c\u5957\u3002\u4f8b\u5982\uff0c\u6709\u7684\u9700\u8981\u5148\u5bf9\u9898\u76ee\u9002\u5f53\u6574\u7406\u53d8\u5f62\uff1b\u6709\u7684\u5206\u89e3\u56e0\u5f0f\u540e\u591a\u9879\u5f0f\u56e0\u5f0f\u4e2d\u6709\u540c\u7c7b\u9879\u7684\u8fd8\u8981\u8fdb\u884c\u5408\u5e76\u5316\u7b80\uff1b\u8fd8\u6709\u7684\u63d0\u53d6\u516c\u56e0\u5f0f\u540e\u80fd\u7528\u5176\u4ed6\u65b9\u6cd5\u7ee7\u7eed\u5206\u89e3\u3002
\u4e00\u822c\u5730\uff0c\u5982\u679c\u591a\u9879\u5f0f\u7684\u5404\u9879\u6709\u516c\u56e0\u5f0f\uff0c\u53ef\u4ee5\u628a\u8fd9\u4e2a\u516c\u56e0\u5f0f\u63d0\u5230\u62ec\u53f7\u5916\u9762\uff0c\u5c06\u591a\u9879\u5f0f\u5199\u6210\u56e0\u5f0f\u4e58\u79ef\u7684\u5f62\u5f0f\uff0c\u8fd9\u79cd\u5206\u89e3\u56e0\u5f0f\u7684\u65b9\u6cd5\u53eb\u505a\u63d0\u516c\u56e0\u5f0f\u6cd5\u3002
\u5177\u4f53\u65b9\u6cd5\uff1a\u5f53\u5404\u9879\u7cfb\u6570\u90fd\u662f\u6574\u6570\u65f6\uff0c\u516c\u56e0\u5f0f\u7684\u7cfb\u6570\u5e94\u53d6\u5404\u9879\u7cfb\u6570\u7684\u6700\u5927\u516c\u7ea6\u6570\uff1b\u5b57\u6bcd\u53d6\u5404\u9879\u7684\u76f8\u540c\u7684\u5b57\u6bcd\uff0c\u4e14\u5404\u5b57\u6bcd\u7684\u6307\u6570\u53d6\u6b21\u6570\u6700\u4f4e\u7684\uff1b\u53d6\u76f8\u540c\u7684\u591a\u9879\u5f0f\uff0c\u4e14\u591a\u9879\u5f0f\u7684\u6b21\u6570\u53d6\u6700\u4f4e\u7684\u3002
\u5982\u679c\u591a\u9879\u5f0f\u7684\u7b2c\u4e00\u9879\u662f\u8d1f\u7684\uff0c\u4e00\u822c\u8981\u63d0\u51fa\u201c-\u201d\u53f7\uff0c\u4f7f\u62ec\u53f7\u5185\u7684\u7b2c\u4e00\u9879\u7684\u7cfb\u6570\u6210\u4e3a\u6b63\u6570\u3002\u63d0\u51fa\u201c-\u201d\u53f7\u65f6\uff0c\u591a\u9879\u5f0f\u7684\u5404\u9879\u90fd\u8981\u53d8\u53f7\u3002
\u4f8b\u9898\uff1a
\u663e\u7136\uff0c\u63d0\u516c\u56e0\u5f0f\u6cd5\u4e5f\u662f\u9700\u8981\u4e00\u5b9a\u6280\u5de7\u7684\u3002
\u518d\u770b\u4e00\u9053\u4f8b\u9898\uff1a\uff08y-x\uff09^2+y-x =(y-x)^2+(y-x)=(y-x+1)(y-x)
\u786e\u5b9a\u516c\u56e0\u5f0f\u7684\u65b9\u6cd5\uff1a
\u2605\u786e\u5b9a\u516c\u56e0\u5f0f\u7684\u4e00\u822c\u6b65\u9aa4
\uff081\uff09\u5982\u679c\u591a\u9879\u5f0f\u7684\u7b2c\u4e00\u9879\u7cfb\u6570\u662f\u8d1f\u6570\u65f6\uff0c\u5e94\u628a\u516c\u56e0\u5f0f\u7684\u7b26\u53f7\u201c-"\u63d0\u53d6\u3002
\uff082\uff09\u53d6\u591a\u9879\u5f0f\u5404\u9879\u7cfb\u6570\u7684\u6700\u5927\u516c\u7ea6\u6570\u4e3a\u516c\u56e0\u6570\u7684\u7cfb\u6570\u3002
\uff083\uff09\u628a\u591a\u9879\u5f0f\u5404\u9879\u90fd\u542b\u6709\u7684\u76f8\u540c\u5b57\u6bcd\uff08\u6216\u56e0\u5f0f\uff09\u7684\u6700\u4f4e\u6b21\u5e42\u7684\u79ef\u4f5c\u4e3a\u516c\u56e0\u5f0f\u7684\u56e0\u5f0f\u3002
\u4e0a\u8ff0\u6b65\u9aa4\u4e0d\u662f\u7edd\u5bf9\u7684\uff0c\u5f53\u7b2c\u4e00\u9879\u662f\u6b63\u6570\u65f6\u6b65\u9aa4\uff081\uff09\u53ef\u7701\u7565\u3002
\u6ce8\u610f\uff1a
\u5982\u679c\u591a\u9879\u5f0f\u7684\u7b2c\u4e00\u9879\u662f\u8d1f\u7684\uff0c\u4e00\u822c\u8981\u63d0\u51fa\u8d1f\u53f7\uff0c\u4f7f\u62ec\u53f7\u5185\u7b2c\u4e00\u9879\u7cfb\u6570\u662f\u6b63\u7684\u3002\u9632\u6b62\u5b66\u751f\u51fa\u73b0\u8bf8\u5982:
-9x^2+6xy= -3x(3x+2y)\u7684\u9519\u8bef\u3002
\u53e3\u8bc0\uff1a\u627e\u51c6\u516c\u56e0\u5f0f\uff0c\u4e00\u6b21\u8981\u63d0\u51c0\uff1b\u82e5\u642c\u5168\u5bb6\u8d70\uff0c\u75591\u628a\u5bb6\u5b88\uff1b\u63d0\u6b63\u4e0d\u53d8\u53f7\uff0c\u63d0\u8d1f\u5c31\u53d8\u53f7\u3002
⑴提公因式法
①公因式:各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的~.
②提公因式法:一般地,如果多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提到括号外面,将多项式写成因式乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法.
am+bm+cm=m(a+b+c)
③具体方法:当各项系数都是整数时,公因式的系数应取各项系数的最大公约数;字母取各项的相同的字母,而且各字母的指数取次数最低的. 如果多项式的第一项是负的,一般要提出“-”号,使括号内的第一项的系数是正的.
⑵运用公式法
①平方差公式:. a^2-b^2=(a+b)(a-b)
②完全平方公式: a^2±2ab+b^2=(a±b)^2
※能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式,其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式,另一项是这两个数(或式)的积的2倍.
③立方和公式:a^3+b^3= (a+b)(a^2-ab+b^2).
立方差公式:a^3-b^3= (a-b)(a^2+ab+b^2).
④完全立方公式: a^3±3a^2b+3ab^2±b^3=(a±b)^3
⑤a^n-b^n=(a-b)[a^(n-1)+a^(n-2)b+……+b^(n-2)a+b^(n-1)]
a^m+b^m=(a+b)[a^(m-1)-a^(m-2)b+……-b^(m-2)a+b^(m-1)](m为奇数)
⑶分组分解法
分组分解法:把一个多项式分组后,再进行分解因式的方法.
分组分解法必须有明确目的,即分组后,可以直接提公因式或运用公式.
⑷拆项、补项法
拆项、补项法:把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项(或几项),使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解;要注意,必须在与原多项式相等的原则进行变形.
⑸十字相乘法
①x^2+(p q)x+pq型的式子的因式分解
这类二次三项式的特点是:二次项的系数是1;常数项是两个数的积;一次项系数是常数项的两个因数的和.因此,可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解: x^2+(p q)x+pq=(x+p)(x+q)
②kx^2+mx+n型的式子的因式分解
如果能够分解成k=ac,n=bd,且有ad+bc=m 时,那么
kx^2+mx+n=(ax b)(cx d)
a \-----/b ac=k bd=n
c /-----\d ad+bc=m
※ 多项式因式分解的一般步骤:
①如果多项式的各项有公因式,那么先提公因式;
②如果各项没有公因式,那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解;
③如果用上述方法不能分解,那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解;
④分解因式,必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.
(6)应用因式定理:如果f(a)=0,则f(x)必含有因式(x-a)。如f(x)=x^2+5x+6,f(-2)=0,则可确定(x+2)是x^2+5x+6的一个因式。
经典例题:
1.分解因式(1+y)^2-2x^2(1+y^2)+x^4(1-y)^2
解:原式=(1+y)^2+2(1+y)x^2(1+y)+x^4(1-y)^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)
=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)
=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-(2x)^2
=[(1+y)+x^2(1-y)+2x]·[(1+y)+x^2(1-y)-2x]
=(x^2-x^2y+2x+y+1)(x^2-x^2y-2x+y+1)
=[(x+1)^2-y(x^2-1)][(x-1)^2-y(x^2-1)]
=(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y)
2.证明:对于任何数x,y,下式的值都不会为33
x^5+3x^4y-5x^3y^2+4xy^4+12y^5
解:原式=(x^5+3x^4y)-(5x^3y^2+15x^2y^3)+(4xy^4+12y^5)
=x^4(x+3y)-5x^2y^2(x+3y)+4y^4(x+3y)
=(x+3y)(x^4-5x^2y^2+4y^4)
=(x+3y)(x^2-4y^2)(x^2-y^2)
=(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y)
当y=0时,原式=x^5不等于33;当y不等于0时,x+3y,x+y,x-y,x+2y,x-2y互不相同,而33不能分成四个以上不同因数的积,所以原命题成立
因式分解的十二种方法
把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解。因式分解的方法多种多样,现总结如下:
1、 提公因法
如果一个多项式的各项都含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式。
例1、 分解因式x -2x -x(2003淮安市中考题)
x -2x -x=x(x -2x-1)
2、 应用公式法
由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系,如果把乘法公式反过来,那么就可以用来把某些多项式分解因式。
例2、分解因式a +4ab+4b (2003南通市中考题)
解:a +4ab+4b =(a+2b)
3、 分组分解法
要把多项式am+an+bm+bn分解因式,可以先把它前两项分成一组,并提出公因式a,把它后两项分成一组,并提出公因式b,从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n,从而得到(a+b)(m+n)
例3、分解因式m +5n-mn-5m
解:m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n
= (m -5m )+(-mn+5n)
=m(m-5)-n(m-5)
=(m-5)(m-n)
4、 十字相乘法
对于mx +px+q形式的多项式,如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p,则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c)
例4、分解因式7x -19x-6
分析: 1 -3
7 2
2-21=-19
解:7x -19x-6=(7x+2)(x-3)
5、配方法
对于那些不能利用公式法的多项式,有的可以利用将其配成一个完全平方式,然后再利用平方差公式,就能将其因式分解。
例5、分解因式x +3x-40
解x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40
=(x+ ) -( )
=(x+ + )(x+ - )
=(x+8)(x-5)
6、拆、添项法
可以把多项式拆成若干部分,再用进行因式分解。
例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)
解:bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)
=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)
=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)
=(c+b)(c-a)(a+b)
7、 换元法
有时在分解因式时,可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数,然后进行因式分解,最后再转换回来。
例7、分解因式2x -x -6x -x+2
解:2x -x -6x -x+2=2(x +1)-x(x +1)-6x
=x [2(x + )-(x+ )-6
令y=x+ , x [2(x + )-(x+ )-6
= x [2(y -2)-y-6]
= x (2y -y-10)
=x (y+2)(2y-5)
=x (x+ +2)(2x+ -5)
= (x +2x+1) (2x -5x+2)
=(x+1) (2x-1)(x-2)
8、 求根法
令多项式f(x)=0,求出其根为x ,x ,x ,……x ,则多项式可因式分解为f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x )
例8、分解因式2x +7x -2x -13x+6
解:令f(x)=2x +7x -2x -13x+6=0
通过综合除法可知,f(x)=0根为 ,-3,-2,1
则2x +7x -2x -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)
9、 图象法
令y=f(x),做出函数y=f(x)的图象,找到函数图象与X轴的交点x ,x ,x ,……x ,则多项式可因式分解为f(x)= f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x )
例9、因式分解x +2x -5x-6
解:令y= x +2x -5x-6
作出其图象,见右图,与x轴交点为-3,-1,2
则x +2x -5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)
10、 主元法
先选定一个字母为主元,然后把各项按这个字母次数从高到低排列,再进行因式分解。
例10、分解因式a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)
分析:此题可选定a为主元,将其按次数从高到低排列
解:a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)=a (b-c)-a(b -c )+(b c-c b)
=(b-c) [a -a(b+c)+bc]
=(b-c)(a-b)(a-c)
11、 利用特殊值法
将2或10代入x,求出数P,将数P分解质因数,将质因数适当的组合,并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式,将2或10还原成x,即得因式分解式。
例11、分解因式x +9x +23x+15
解:令x=2,则x +9x +23x+15=8+36+46+15=105
将105分解成3个质因数的积,即105=3×5×7
注意到多项式中最高项的系数为1,而3、5、7分别为x+1,x+3,x+5,在x=2时的值
则x +9x +23x+15=(x+1)(x+3)(x+5)
12、待定系数法
首先判断出分解因式的形式,然后设出相应整式的字母系数,求出字母系数,从而把多项式因式分解。
例12、分解因式x -x -5x -6x-4
分析:易知这个多项式没有一次因式,因而只能分解为两个二次因式。
解:设x -x -5x -6x-4=(x +ax+b)(x +cx+d)
= x +(a+c)x +(ac+b+d)x +(ad+bc)x+bd
所以 解得
则x -x -5x -6x-4 =(x +x+1)(x -2x-4)
寻找相同项,就这么提呗!人教版初二上学期最后一单元有。
同意楼上意见!!
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