在正三棱锥P-abc 中,ab=4，pa=8，过过A作于PB PC分别交于D和E的截面，则截面三角形ade的周长最小值是？
\u6b63\u4e09\u68f1\u9525P-ABC\u4fa7\u68f1\u957f\u4e3aa\uff0c\u89d2APB=30\u5ea6\uff0cD\uff0cE\u5206\u522b\u5728PA\uff0cPB\u4e0a\uff0c\u5219\u4e09\u89d2\u5f62ADE\u7684\u5468\u957f\u7684\u6700\u5c0f\u503c\u4e3a\uff1f\u7b54\u6848 \u6839\u53f72\u4e58\u4ee5a
\u601d\u8def \u7528\u628a\u526a\u5200\u5ef6PA\u526a\u5f00 \u4e09\u4e2a\u4fa7\u9762\u5c55\u5f00 \u5c55\u5f00\u540e \u7684\u4e09\u89d2\u5f62PAB \u662f\u8170\u957f\u4e3aA\u7684\u7b49\u8170\u76f4\u89d2\u4e09\u89d2\u5f62 AB \u957f\u5ea6\u5373\u6240\u6c42
\u6cbfPA\u628a\u4fa7\u9762\u526a\u5f00\uff0c\u94fa\u6210\u5e73\u9762\uff0c\u5f62\u6210\u4e09\u4e2a\u7b49\u8170\u25b3PAB\u3001PBC\u3001PCA',\u8fde\u7ed3AA'\uff0c\u5206\u522b\u4ea4PB\u3001PC\u4e8eD\u3001E\uff0c\u6b64\u65f6PD\u3001DE\u3001EA'\u6784\u6210\u25b3ADE\u5468\u957f\u6700\u5c0f\uff0c\u56e0\u4e3a\u5b83\u4eec\u662f\u76f4\u7ebf\u8fde\u7ed3\u3002
\u5728\u25b3PAB\u4e2d\uff0c\u6839\u636e\u4f59\u5f26\u5b9a\u7406\uff0c
cos<APB=(PA^2+PB^2-AB^2)/(2*PA*PB)=7/8,
\u2235<APB=<BPC=<CPA',
\u2234<APA'=3<APB,
\u6839\u636e\u4e09\u500d\u89d2\u516c\u5f0f\uff0c\uff08\u53ef\u7528\u548c\u89d2\u516c\u5f0f\u63a8\u5bfc\uff09\uff0ccos3\u03b8=4(cos\u03b8)^3-3cos\u03b8,
cos<APA'=4*(7/8\uff09^3-3*7/8=7/128,
\u5728\u25b3APA'\u4e2d\uff0c\u6839\u636e\u4f59\u5f26\u5b9a\u7406\uff0c
AA'^2=PA^2+PA'^2-2PA*PA'cos<APA',
AA'=11\uff0c
\u2234\u622a\u9762\u4e09\u89d2\u5f62ADE\u7684\u5468\u957f\u6700\u5c0f\u503c\u4e3a11\u3002
\u9644\uff1a\u4e09\u500d\u89d2\u4f59\u5f26\u516c\u5f0f\u8bc1\u660e\uff1acos2\u03b8=2(cos\u03b8)^2-1,
cos3\u03b8=cos(2\u03b8+\u03b8)=cos2\u03b8cos\u03b8-sin2\u03b8sin\u03b8
=[2(cos\u03b8)^2-1]cos\u03b8-2sin\u03b8cos\u03b8*sin\u03b8
=2(cos\u03b8)^3-cos\u03b8-2cos\u03b8[1-(cos\u03b8)^2]
=4(cos\u03b8)^3-3cos\u03b8.
（DE标反了） 如图为正三棱椎侧面展开图 AB=BC=CA'=4 PA=PB=PC=PA'=8 连接AA' 则AA'距离为三角形周长最小值 三角形AEB相似于三角形APB 则BE=AB*AB/PA=2 EA=4 同理DA'=4 所以PE=6 因为三角形PDE相似于三角形PCE 所以DE=EP*BC/PB=3 所以AA'=11 即三角形ADE的周长的最小值=11
最小是11,把三棱锥P-ABC按PA展开,变成平面图形,这时左右两个A点的距离就是最小周长.
然后就是解三角形的问题了.
（4√15+7）／2
过A作垂直PBC面，所围成的三角形即为所求。
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