请在一个3×3的方格阵各填上一个不同的完全平方数,使得每行,每列,每个对角线的乘积都相等。 请在一个 3×3 的方格阵的每个格子中不重复地填上 1、3、...

\u8bf7\u5728\u8fd9\u4e2a\u672a\u5b8c\u6210\u76843\u00d73\u7684\u65b9\u683c\u9635\u7684\u6bcf\u4e2a\u683c\u5b50\u5404\u586b\u4e0a\u4e00\u4e2a\u4e0d\u540c\u7684\u7684\u6570\uff0c\u4f7f\u5f97\u6bcf\u884c\u3001\u6bcf\u5217\u3001\u6bcf\u4e2a\u5bf9\u89d2\u7ebf\u7684\u548c\u90fd\u7b49\u4e8e30.

a1^2 a2^2 a3^2
a4^2 a5^2 a6^2
a7^2 a8^2 a9^2
\u7531\u4e8e\u662f\u4ee5\u4e58\u79ef\u6765\u8861\u91cf\u7ed3\u679c,\u6240\u4ee5\u53ef\u4ee5\u8003\u8651\u5b8c\u5168\u5e73\u65b9\u6570\u7684\u7b97\u672f\u5e73\u65b9\u6839\uff08\u4e5f\u662f\u4e00\u4e2a\u6b63\u6574\u6570\uff09
a1 a2 a3
a4 a5 a6
a7 a8 a9
\u518d\u6b21\u8003\u8651\u5230\u4e58\u79ef\u6765\u8861\u91cf\u7ed3\u679c,\u6545\u6709\u4e9b\u6570\u4e4b\u95f4\u5fc5\u7136\u5b58\u5728\u516c\u56e0\u6570,\u4e0d\u59a8\u5047\u8bbe\u90fd\u662f2\u7684\u5e42\u6b21,\u5219\u5bf9\u65b9\u9635\u53d6\u5bf9\u6570\u5f97
b1 b2 b3
b4 b5 b6
b7 b8 b9
\u8fd9\u6837\u4e58\u79ef\u7684\u5173\u7cfb\u5c31\u8f6c\u5316\u4e3a\u6c42\u548c\u7684\u5173\u7cfb,\u800c\u6c42\u548c\u7684\u60c5\u51b5\u53ef\u4ee5\u7531\u4e09\u9636\u5e7b\u65b9\u63d0\u4f9b
4 9 2
3 5 7
8 1 6
\u8fd8\u539f\u56de\u5e42\u6b21\u5219\u6709
16 512 4
8 32 128
256 2 64
\u518d\u8fd8\u539f\u56de\u5e73\u65b9\u7684\u5f62\u5f0f\u5219\u6709
256 262144 16
64 1024 16384
65536 4 4096

\u5982\u56fe\u6240\u793a\uff1a

\u56e0\u4e3a1+11+\u2026+81=369\uff0c369\u00f73=123\uff0c\u6240\u4ee5\u6bcf\u884c\u4e3a123\uff1b\u53c8\u56e0123\u00f73=41\uff0c\u6240\u4ee5\u4e2d\u95f4\u5fc5\u987b\u586b41\uff1b\u5176\u4ed68\u4e2a\u6570\u63091+81=82\uff0c11+71=82\uff0c21+61=82\uff0c31+51=82\u7684\u8981\u6c42\u586b\u5728\u76f8\u5bf9\u7684\u5176\u4ed68\u4e2a\u65b9\u683c\u5185\uff1b\u6bcf\u884c\u3001\u6bcf\u5217\u3001\u6bcf\u6761\u5bf9\u89d2\u7ebf\u4e0a\u7684\u6570\u6309\u5927\u6570\u548c\u5c0f\u6570\u4e92\u76f8\u642d\u914d\u586b\uff0c\u518d\u8c03\u6574\u5c31\u53ef\u4ee5\u4e86\u3002
\u9664\u6cd5\u7684\u6cd5\u5219\uff1a
\u9664\u6cd5\u7684\u76ee\u7684\u662f\u6c42\u5546\uff0c\u4f46\u4ece\u88ab\u9664\u6570\u4e2d\u7a81\u7136\u770b\u4e0d\u51fa\u542b\u6709\u591a\u5c11\u5546\u65f6\uff0c\u53ef\u7528\u8bd5\u5546\uff0c\u4f30\u5546\u7684\u529e\u6cd5\uff0c\u770b\u88ab\u4e58\u6570\u6700\u9ad8\u51e0\u4f4d\u6570\u542b\u6709\u51e0\u4e2a\u9664\u6570\uff08\u5373\u542b\u5546\u51e0\u500d\uff09 \uff0c \u5c31\u7531\u672c\u4f4d\u52a0\u8865\u6570\u51e0\u6b21\uff0c\u5176\u5f97\u6570\u5c31\u662f\u5546\u3002
\u5c0f\u6570\u7ec4\uff1a\u51e1\u662f\u88ab\u9664\u6570\u542b\u6709\u9664\u65701\u30012\u3001 3\u500d\u65f6\u3001\u671f\u6cd5\u4e3a\uff1a
\u88ab\u9664\u6570\u542b\u55461\u500d\uff1a\u7531\u672c\u4f4d\u52a0\u8865\u6570\u4e00\u6b21\u3002
\u88ab\u9664\u6570\u542b\u55462\u500d\uff1a\u7531\u672c\u4f4d\u52a0\u8865\u6570\u4e8c\u6b21\u3002
\u88ab\u9664\u6570\u542b\u55463\u500d\uff1a\u7531\u672c\u4f4d\u52a0\u8865\u6570\u4e09\u6b21\u3002

a1^2 a2^2 a3^2
a4^2 a5^2 a6^2
a7^2 a8^2 a9^2
由于是以乘积来衡量结果，所以可以考虑完全平方数的算术平方根（也是一个正整数）
a1 a2 a3
a4 a5 a6
a7 a8 a9
再次考虑到乘积来衡量结果，故有些数之间必然存在公因数，不妨假设都是2的幂次，则对方阵取对数得
b1 b2 b3
b4 b5 b6
b7 b8 b9
这样乘积的关系就转化为求和的关系，而求和的情况可以由三阶幻方提供
4 9 2
3 5 7
8 1 6
还原回幂次则有
16 512 4
8 32 128
256 2 64
再还原回平方的形式则有
256 262144 16
64 1024 16384
65536 4 4096

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