如何用数学归纳法证明欧拉公式？
通解为y=C1x^(-3)+C2x+(1/12)*x^3，其中C1,C2均为任意常数。
根据欧拉方程的求解方法
令x=e^t，则t=lnx，dt/dx=1/x
dy/dx=dy/dt*dt/dx=(1/x)*dy/dt
d^2y/dx^2=(1/x^2)*(d^2y/dt^2-dy/dt)
代入原方程，d^2y/dt^2+2dy/dt-3y=e^(3t)
特征方程为r^2+2r-3=0，r1=-3，r2=1
齐次方程的通解为y=C1e^(-3t)+C2e^t，其中C1,C2均为任意常数
设非齐次方程的特解y*=ke^(3t)，则y*'=3ke^(3t)，y*''=9ke^(3t)
则9ke^(3t)+6ke^(3t)-3ke^(3t)=e^(3t)，k=1/12
所以y*=(1/12)*e^(3t)
非齐次方程的通解为y=C1e^(-3t)+C2e^t+(1/12)*e^(3t)
原方程的通解为y=C1x^(-3)+C2x+(1/12)*x^3，其中C1,C2均为任意常数
用数学归纳法证明
( 1)当 R= 2时 ，由说明 1,这两个区域可想象为 以赤道为边界的两个半球面 ，赤道上有两个“顶点” 将赤道分成两条“边界”，即 R= 2，V= 2，E= 2；于是 R+ V- E= 2,欧拉定理成立.。
( 2)设 R= m(m≥ 2)时欧拉定理成立 ，下面证明 R= m+ 1时欧拉定理也成立 。
由说明 2，我们在 R= m+ 1的地图上任选一个 区域 X ,则 X 必有与它如此相邻的区域 Y ，使得在 去掉 X 和 Y 之间的唯一一条边界后 ，地图上只有 m 个区域了；在去掉 X 和 Y 之间的边界后 ，若原该边界两端 的顶点现在都还是 3条或 3条以上边界的顶点 。
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