用泰勒公式求极限limx→0tan（tanx）-sin（sinx）/tanx-sinx 详细过程？ 考研高等数学 泰勒公式的应用lim(x趋近于0)(tan(t...
\u7528\u6cf0\u52d2\u516c\u5f0f\u6c42\u6781\u9650limx\u21920 sinx\uff08tanx\uff09-tan\uff08sinx\uff09/x^7\u8be6\u7ec6\u8fc7\u7a0b\uff1f\u6cf0\u52d2\u516c\u5f0f\u4e58\u6cd5\u3002\u8981\u6c42tan(sinx)\u9996\u5148\u4f60\u5f97\u77e5\u9053tanx\u7684\u6cf0\u52d2\u5c55\u5f00\u5f0ftanx=sinx/cosx=(x-x\u7acb\u65b9/3!+x\u4e94\u6b21\u65b9/5\uff01-x\u4e03\u6b21\u65b9/7\uff01)/(1-x\u5e73\u65b9/2\uff01+x\u56db\u6b21\u65b9/4\u7684\u9636\u4e58-x\u516d\u6b21\u65b9/6\uff01)+o(x\u4e03\u6b21\u65b9)\uff0c\u7136\u540e\u5957\u5a03\u9700\u8981\u6bc5\u529b\u78be\u538b\uff0c\u6570\u5b66\u5de5\u5177\u591a\u591a\u76ca\u5584\u5982\u56fe\u6240\u793a\u8bf7\u91c7\u7eb3\u8c22\u8c22\u3002\u8c22\u8c22\u3002
\u8fd0\u7528\u6cf0\u52d2\u516c\u5f0f\u6700\u597d\u91c7\u7528\u7b49\u5f0f\uff0c\u5373\u4ee3\u4f59\u9879\u3002\u5982\u679c\u4e0d\u5e26\u4f59\u9879\uff0c\u4e00\u5b9a\u8981\u4fdd\u8bc1\u8fd0\u7b97\u540e\u7684\u5fc5\u8981\u7684\u67d0\u9636\u7684\u65e0\u7a77\u5c0f\u91cf\u7684\u6b63\u786e\u6027\u3002\u4ee5\u672c\u9898\u4e3a\u4f8b\uff0c\u5206\u6bcdx-sinx\u7684\u6700\u4f4e\u9879\u4e3ax^3\u9879\uff0c\u6240\u4ee5\u5404\u4e2a\u6cf0\u52d2\u5c55\u5f0f\u90fd\u8981\u4fdd\u8bc1x^3\u9879\u662f\u6b63\u786e\u7684\u3002\u56e0\u6b64\u6709\uff1a
sinx=x-x^3/6+o(x^3)
sin(sinx)=sinx-(sinx)^3/6+o(sinx)
=x-x^3/6+o(x^3)-(x-x^3/6+o(x^3))^3/6 +o(sinx)
=x-x^3/3+o(x^3)
tanx=x+x^3/3+o(x^3)
tan(tanx)=x+x^3/3+(x+x^3+o(x^3))^3/3+o(x^3)
=x+2/3 x^3+o(x^3)
lim(x-->0)(tan(tanx)-sin(sinx))/(x-sinx)
=lim(x-->0)(x+2/3 x^3+o(x^3)-x+1/3 x^3-o(x^3))/(1/6 x^3-o(x^3))
=lim(x-->0)(x^3+o(x^3))/(1/6 x^3-o(x^3))
=6
\u4f60\u4e0a\u9762\u7684\u95ee\u9898\uff0c\u5c31\u662f\u7528sinx\u4ee3\u66ff\u4e86sin(sinx),\u7528tanx\u4ee3\u66ff\u4e86tan(tanx), \u4e8c\u8005\u90fd\u4e0d\u80fd\u4fdd\u8bc1x^3\u9879\u7684\u6b63\u786e\u6027\u3002
具体回答如下：
分母 = sinx/cosx-sinx =sinx(1/cosx-1)=sinx(1-cosx)/cosx
分母是等价于 x/2的
对分子我们做等价变形
分子 = (tan(tanx)-tanx) +(tanx -sinx) +(sinx -sin(sinx))
令 p1 = lim (tan(tanx)-tanx)/(tanx -sinx)
lim (tan(tanx)-tanx)/(x³/2）
再令 f(x)=tanx
则p1的分子是 f(tanx)-f(x)=f'(c)(tanx -x)(这里用了中值定理，c在x与tanx之间)
当 x→0时，c→0，f'(c)=sec²c→1
p1 = lim (tanx-x)/ (x³/2)=2/3
p2 = lim (tanx -sinx)/(tanx - sinx)=1
p3 = (sinx -sin(sinx))/(tanx-sinx)=(sinx -sin(sinx))/(x³/2)
所以原式=p1+p2+p3 =2
极限的意义：
和实数运算的相容性，譬如：如果两个数列{xn} ，{yn} 都收敛，那么数列{xn+yn}也收敛，而且它的极限等于{xn} 的极限和{yn} 的极限的和。
与子列的关系，数列{xn} 与它的任一平凡子列同为收敛或发散，且在收敛时有相同的极限；数列{xn} 收敛的充要条件是：数列{xn} 的任何非平凡子列都收敛。
简单计算一下即可，答案如图所示
sinx=x-x^3/6+o(x^3)
sin(sinx)=sinx-(sinx)^3/6+o(sinx)
=x-x^3/6+o(x^3)-(x-x^3/6+o(x^3))^3/6 +o(sinx)
=x-x^3/3+o(x^3)
tanx=x+x^3/3+o(x^3)
tan(tanx)=x+x^3/3+(x+x^3+o(x^3))^3/3+o(x^3)
=x+2/3 x^3+o(x^3)
tanx-sinx=x^3/2+o(x^3)
所以求极限
=lim(x-->0)(x^3+o(x^3))/(x^3/2 x^3-o(x^3))
=2.
大概过程就是如此，满意请采纳，
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