如何用初等的方法证明二项式定理 如何用数学归纳法证明二项式定理？
\u5982\u4f55\u7528\u521d\u7b49\u6570\u5b66\u65b9\u6cd5\u8bc1\u660e\u8fd9\u4e2a\u4e0d\u7b49\u5f0f\u6839\u636e\u4e8c\u9879\u5f0f\u5b9a\u7406\uff0c
(k+1)i^k<=(i+1)^{k+1}-i^{k+1}
\u4e24\u8fb9\u5bf9i\u4ece1\u5230n\u6c42\u548c\uff0c\u53ef\u5f97\u53f3\u8fb9\u7684\u4e0d\u7b49\u53f7
\u540c\u6837\u7684\uff0c\u6839\u636e\u4e8c\u9879\u5f0f\u5c55\u5f00\uff0c
(i+1)^{k+1}-i^{k+1}<=(k+1)(i+1)^k
\u4e24\u8fb9\u5bf9i\u4ece0\u5230n-1\u6c42\u548c\uff0c\u53ef\u5f97\u5de6\u8fb9\u7684\u4e0d\u7b49\u53f7
\u5148\u9a8c\u8bc11\u6b21\u65b9\u2026\u2026\u518d\u5047\u8bbek\u6b21\u65b9\u2026\u2026\u6700\u540ek+1\u65f6\u6539\u6210k\u6b21\u65b9\u4e58\u4ee5\uff08a+b\uff09\u5e26\u5165\u4e0a\u4e00\u6b65\u5047\u8bbe\u7684\u5229\u7528\u591a\u9879\u5f0f\u4e58\u6cd5\u89e3\u51b3\u95ee\u9898\u3002
\u4f8b\uff1a\u8bc1\u660e\uff1a\u5f53n=1\u65f6\uff0c\u5de6\u8fb9\uff1d\uff08a+b)1\uff1da+b\u53f3\u8fb9\uff1dC01a+C11b=a+b
\u5de6\u8fb9\uff1d\u53f3\u8fb9
\u5047\u8bbe\u5f53n\uff1dk\u65f6\uff0c\u7b49\u5f0f\u6210\u7acb\uff0c
\u5373\uff08a+b)n=C0nan\uff0bC1n a(n-1)b\u5341\u2026\u5341Crn a(n-r)br\u5341\u2026\u5341Cnn bn\u6210\u7acb;\u5219\u5f53n=k+1\u65f6, \uff08a+b)(n+1)=\uff08a+b)n*(a+b)=[C0nan\uff0bC1n a(n-1)b\u5341\u2026\u5341Crn a(n-r)br\u5341\u2026\u5341Cnn bn]*(a+b)=[C0nan\uff0bC1n a(n-1)b\u5341\u2026\u5341Crn a(n-r)br\u5341\u2026\u5341Cnn bn]*a\uff0b[C0nan\uff0bC1n a(n-1)b\u5341\u2026\u5341Crn a(n-r)br\u5341\u2026\u5341Cnn bn]\uff1d[C0na(n+1)\uff0bC1n anb\u5341\u2026\u5341Crn a(n-r+1)br\u5341\u2026\u5341Cnn abn]+[C0nanb\uff0bC1n a(n-1)b2\u5341\u2026\u5341Crn a(n-r)b(r+1)\u5341\u2026\u5341Cnn b(n+1)]\uff1dC0na(n+1)\uff0b(C0n+C1n)anb\u5341\u2026\u5341(C(r-1)n+Crn) a(n-r+1)br\u5341\u2026\u5341(C(n-1)n+Cnn)abn+Cnn b(n+1)]\uff1dC0(n+1)a(n+1)+C1(n+1)anb+C2(n+1)a(n-1)b2+\u2026\uff0bCr(n+1) a(n-r+1)br+\u2026+C(n+1)(n+1) b(n+1)\u2234\u5f53n=k+1\u65f6\uff0c\u7b49\u5f0f\u4e5f\u6210\u7acb\uff1b\u6240\u4ee5\u5bf9\u4e8e\u4efb\u610f\u6b63\u6574\u6570\uff0c\u7b49\u5f0f\u90fd\u6210\u7acb
（1）n=1时，a+b=C(1,0)ab^0+C(1,1)a^0b显然成立。
（2）假设n=k时成立，则n=k+1时
(a+b)^(k+1)=(a+b)^k(a+b)
展开式每一项a和b指数和为k+1,而且第i+1项为两项之和(按照b的升幂排列），即n=k+1时通项为
Ti+1=[C(k,i)a^(k-i)b^i)]*a+[C(k,i-1)a^(k-i+1)b^(i-1)]*b
=[C(k,i)+C(k,i-1）]a^(k-i+1)b^i
=C(k+1,i)a^(k-i+1)b^i显然满足二项式定理。
所以结论成立。
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