高等数学等价无穷小替换时，sinx~x，那么（sinx）2可以替换为x2（平方）吗？ 高等数学等价无穷小问题。 sinx等价于x 那么(sinx)...
\u9ad8\u7b49\u6570\u5b66\u7b49\u4ef7\u65e0\u7a77\u5c0f\u66ff\u6362\u65f6\uff0csinx~x\uff0c\u90a3\u4e48\uff08sinx\uff092\u53ef\u4ee5\u66ff\u6362\u4e3ax2\uff08\u5e73\u65b9\uff09\u5417\uff1f\u9ad8\u7b49\u6570\u5b66\u7b49\u4ef7\u65e0\u7a77\u5c0f\u66ff\u6362\u65f6\uff0csinx\uff5ex\uff0c\u90a3\u4e48\uff08sinx\uff092\u53ef\u4ee5\u66ff\u6362\u4e3ax2\uff08\u5e73\u65b9\uff09\u3002
\u5f53x\u21920\u65f6\uff0csinx\u7684\u6cf0\u52d2\u5c55\u5f00\u5f0f\u4e3asinx\uff1dx\uff0bo\uff08x\uff09
o\uff08x\uff09\u6307\u7684\u662fx\u7684\u9ad8\u9636\u65e0\u7a77\u5c0f\uff0c\u6240\u4ee5\u5f53x\u21920\u65f6
\u53ef\u4ee5\uff08sinx\uff09\uff5ex\u5f53x\u21920\u65f6\uff08sinx\uff09²\uff1dx²\uff0bo\uff08x²\uff09
\u6240\u4ee5\u5f53x\u21920\u65f6\uff0c\u53ef\u4ee5\uff08sinx\uff09²\uff5ex²\u3002
\u4f8b\u9898\uff1a
limx\u21920\uff08sinx\uff0dtanx\uff09\uff0f\uff5b\uff3b3\u221a\uff081\uff0bX\uff3e2\uff09\uff0d1\uff3d\uff3b\uff081\uff0bsinx\uff09\uff0d1\uff3d\uff5d
\u5206\u6bcd\u90e8\u5206\u53ef\u4ee5\u7528\u7b49\u4ef7\u65e0\u7a77\u5c0f\u66ff\u6362\u4e3a\u201cX\uff3e2\uff0f3\uff02\u548c\u201dsinx\uff0f3
\u5206\u6bcd\u66ff\u6362\u662f\u6b63\u786e\u7684\uff0csinx\uff0f3\u53ef\u7ee7\u7eed\u66ff\u6362\u4e3ax\uff0f3\uff0e\u5206\u5b50\u8fd9\u6837\u505a\uff1a
sinx-tanx=tanx(cosx-1)~x*(-x^2/2)=-x^3/2(x->0)
\u6240\u4ee5\u6700\u7ec8\u7b54\u6848\u4e3alim{x->0}(-x^3/2)/(x^3/9)=-9/2.
x\u21920\uff09sinx\uff0b\uff08sinx\uff09\uff3e2\u219201\uff0bsinx\u2192\uff081\uff0bsinx\uff09\uff3e2\uff081\uff0bsinx\uff09\uff3e\uff081\uff0f2\uff09\uff0d1\u21921\uff0bsinx\uff0d1\u2192sinx
x\u65e0\u7a77\u5c0f\u65f6\uff0c1\uff0bsinx\u548c1\uff0b2sinx\uff0b\uff08sinx\uff09\uff3e2\u975e\u5e38\u63a5\u8fd1\u3002
\u5176\u5dee\u91cfsinx\uff0b\uff08sinx\uff09\uff3e2\u65e0\u7a77\u5c0f\uff0c\u56e0\u6b64\u75281\uff0b2sinx\uff0b\uff08sinx\uff09\uff3e2\u4ee3\u66ff1\uff0bsinx\uff0c\u5e73\u65b9\u6839\uff081\uff0bsinx\uff09\uff0d1\uff0c\u5f97sinx\u3002
\u6269\u5c55\u8d44\u6599
\u9ad8\u7b49\u6570\u5b66\u4e2d\u6240\u6709\u7b49\u4ef7\u65e0\u7a77\u5c0f\u7684\u516c\u5f0f\uff1a
\u5f53x\u21920\uff0c\u4e14x\u22600\uff0c\u5219
x\uff5esinx\uff5etanx\uff5earcsinx\uff5earctanx\uff1b
x\uff5eln\uff081\uff0bx\uff09\uff5e\uff08e\uff3ex\uff0d1\uff09\uff1b
\uff081\uff0dcosx\uff09\uff5ex\uff0ax\uff0f2\uff1b
\uff3b\uff081\uff0bx\uff09\uff3en\uff0d1\uff3d\uff5enx\uff1b
loga\uff081\uff0bx\uff09\uff5ex\uff0flna\uff1b
a\u7684x\u6b21\u65b9\uff5exlna\uff1b
\uff081\uff0bx\uff09\u76841\uff0fn\u6b21\u65b9\uff5e1\uff0fnx\uff08n\u4e3a\u6b63\u6574\u6570\uff09\uff1b
\u6ce8\uff1a\uff3e\u662f\u4e58\u65b9\uff0c\uff5e\u662f\u7b49\u4ef7\u4e8e\uff0c\u8fd9\u662f\u6211\u505a\u9898\u7684\u65f6\u5019\u603b\u7ed3\u51fa\u6765\u7684\uff0e
sin(x)\u22272\u548c(sinx)\u22272\u5728x=0\u7684\u65f6\u5019\u90fd\u7b49\u4ef7\u4e8ex²\u3002
\u9ad8\u7b49\u6570\u5b66\u7b49\u4ef7\u65e0\u7a77\u5c0f\u66ff\u6362\u65f6\uff0csinx\uff5ex\uff0c\u90a3\u4e48\uff08sinx\uff09^2\u53ef\u4ee5\u66ff\u6362\u4e3ax^2\uff08\u5e73\u65b9\uff09\u3002
\u5f53x\u21920\u65f6\uff0csinx\u7684\u6cf0\u52d2\u5c55\u5f00\u5f0f\u4e3asinx\uff1dx\uff0bo\uff08x\uff09
o\uff08x\uff09\u6307\u7684\u662fx\u7684\u9ad8\u9636\u65e0\u7a77\u5c0f\uff0c\u6240\u4ee5\u5f53x\u21920\u65f6
\u53ef\u4ee5\uff08sinx\uff09\uff5ex\u5f53x\u21920\u65f6\uff08sinx\uff09²\uff1dx²\uff0bo\uff08x²\uff09
\u6240\u4ee5\u5f53x\u21920\u65f6\uff0c\u53ef\u4ee5\uff08sinx\uff09²\uff5ex²\u3002
\u7b49\u4ef7\u65e0\u7a77\u5c0f\uff1a
1\u3001e^x-1\uff5ex (x\u21920)
2\u3001 e^(x^2)-1\uff5ex^2 (x\u21920)
3\u30011-cosx\uff5e1/2x^2 (x\u21920)
4\u30011-cos(x^2)\uff5e1/2x^4 (x\u21920)
5\u3001sinx~x (x\u21920)
6\u3001tanx~x (x\u21920)
7\u3001arcsinx~x (x\u21920)
8\u3001arctanx~x (x\u21920)
9\u30011-cosx~1/2x^2 (x\u21920)
高等数学等价无穷小替换时，sinx～x，那么（sinx）2可以替换为x2（平方）。
当x→0时，sinx的泰勒展开式为sinx＝x＋o（x）
o（x）指的是x的高阶无穷小，所以当x→0时
可以（sinx）～x当x→0时（sinx）²＝x²＋o（x²）
所以当x→0时，可以（sinx）²～x²。
例题：
limx→0（sinx－tanx）／｛［3√（1＋X＾2）－1］［（1＋sinx）－1］｝
分母部分可以用等价无穷小替换为“X＾2／3＂和”sinx／3
分母替换是正确的，sinx／3可继续替换为x／3．分子这样做：
sinx-tanx=tanx(cosx-1)~x*(-x^2/2)=-x^3/2(x->0)
所以最终答案为lim{x->0}(-x^3/2)/(x^3/9)=-9/2.
x→0）sinx＋（sinx）＾2→01＋sinx→（1＋sinx）＾2（1＋sinx）＾（1／2）－1→1＋sinx－1→sinx
x无穷小时，1＋sinx和1＋2sinx＋（sinx）＾2非常接近。
其差量sinx＋（sinx）＾2无穷小，因此用1＋2sinx＋（sinx）＾2代替1＋sinx，平方根（1＋sinx）－1，得sinx。
扩展资料
高等数学中所有等价无穷小的公式：
当x→0，且x≠0，则
x～sinx～tanx～arcsinx～arctanx；
x～ln（1＋x）～（e＾x－1）；
（1－cosx）～x＊x／2；
［（1＋x）＾n－1］～nx；
loga（1＋x）～x／lna；
a的x次方～xlna；
（1＋x）的1／n次方～1／nx（n为正整数）；
注：＾是乘方，～是等价于，这是我做题的时候总结出来的．
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