数理逻辑的破灭是什么
数理逻辑史简析,2010.12.16,直觉主义逻辑,主要内容,数学背景-莱布尼茨-第三次数学危机,三大学派-逻辑主义-直觉主义-形式主义,哲学背景-柏拉图主义-康德的哲学,中国的哲学与数学-周公问数-密率、徽率-算经十书-太极,思考,数的本质是什么？思想有什么样的作用？西方世界在第三次数学危机后如何产生了计算机理论？中国哲学有什么样的作用？直觉主义（构造主义）逻辑有什么样的作用？,数学背景:思想的启蒙,数理逻辑:一切用特制符号和数学方法来研究处理演绎方法的理论,也被称为符号逻辑,Hobbes(1588-1679,英国),Aristotle(前384-前322,希腊),符号逻辑这个名词是在数理逻辑发展的初期19世纪80年代提出的(1881年英国逻辑学家文恩J.Venn),形式逻辑自亚里士多德起到17世纪后期已有2000余年的历史,英国的唯物主义哲学家霍布士1655年就曾提出过这样的思想.他说,推理好像算术中的加法和减法一样,思维是可以计算的,数学背景:数理逻辑的创立,德国唯理论哲学家和数学家莱布尼茨(1646-1716)被认为是数理逻辑的创始人,Leibniz(1588-1679,德国),思维的演算:遇到争论,双方可以把笔拿在手中说:“让我们来算一下”,就可以把问题解决,表意的符号语言和思维的演算是莱氏提出的重要思想,这二者也正是现代数理逻辑的特征,数学背景:数理逻辑的发展,第一阶段:用数学方法研究和处理形式逻辑从17世纪70年代的莱布尼茨到19世纪末叶的布尔,德摩根,施履德等共延续了约二百年,其成果是逻辑代数和关系逻辑,第二阶段:研究数学思想方法和数学基础问题19世纪中叶起,康托尔,希尔伯特,弗雷格,皮亚诺,罗素,布劳维尔等人奠定了它的理论基础,创建了特有的新方法,成长为一门新学科.其成果是集合论,公理化方法,逻辑演算,证明论,第三阶段:研究逻辑系统的完全性,协调性,计算机理论等1931年哥德尔发表不完备性定理至今.本阶段数理逻辑的主要内容大致可以分为五个方面:逻辑演算,证明论,公理集合论,递归论,模型论,数学背景:集合论(1870s),集合论是关于无穷集合和超穷数的数学理论.数学里遇到的无穷有:无穷过程,无穷小和无穷大.必须能作数学的处理,能进行运算,这样的无穷才能算作数学的对象,Cantor(1845-1918,德国),对无穷集合来说,如果把一一对应作为是否相等的标准,则一个无穷集就会和它自己的真部分相等.这是和有穷领域里人们的常识以及数学知识“全体大于部分”相矛盾的.如果以“和真部分一一对应”为悖论,就必须否认实无穷,数学背景:第三次数学危机,1900年在巴黎召开的第二次国际数学会议上,庞加莱宣称:“数学的严格性到今天可以说已经达到了”,因为利用集合论可以定义自然数与实数,从而建立极限论,为数学分析奠定了基础,Russell(1872-1970,英国),罗素(1872-1970),英国著名的哲学家,数学家和社会改革家在会上结识了皮亚诺并得到很大的启发.两年后,罗素准备数学原理的书稿时,发现一个悖论:不以自己为元素的集合.它是不是自己的元素？,数学背景:第三次数学危机,1902年6月,他给致力于把算术化归于集合和逻辑的弗雷格写了一封信,叙述了他发现的悖论.在集合论中存在着大漏洞.把集合论作为算术的基础,整个数学的基础,这一想法遭到严重的打击弗雷格迅速给罗素回了信.他说:“哎呀!算术动摇了.”弗雷格后来甚至于放弃了他的从逻辑导出数学的说法狄德金闻讯后,把他的什么是数的再版推迟罗素则直到1908年找到解决悖论的类型论后,才出版他的数学原理,数学背景:悖论,悖论是一种认识矛盾,它既包括逻辑矛盾,语义矛盾,也包括思想方法上的矛盾.数学悖论作为悖论的一种,主要发生在数学研究中古希腊说谎者悖论,阿基里斯追龟悖论战国时期逻辑学家惠施（约370B.C.-318B.C.）的“日方中方睨,物方生方死”,“一尺之棰,日取其半,万世不竭”,莫比乌斯带,哲学背景:柏拉图主义,柏拉图(公元前427-前347年)是有很大影响的古希腊唯心主义哲学家,Plato(前427前347年,希腊),数学结论的客观性,一个方程有多少根,有哪几个根,是客观的,柏拉图主义:数学研究的对象尽管是抽象的,但是却是客观存在的.而且它们是不依赖于时间,空间和人的思维而永恒存在的.数学家提出的概念不是创造,而是对这种客观存在的描述,哲学背景:康德(德国古典哲学),数是思维创造的抽象实体,Kant(1724-1804,德国),康德把人的先天认识能力分为感性,知性和理性三种.感性是掌握数学知识的能力,知性是掌握物理学知识的能力,理性企图超越现象世界去认识“什么自在之物”,结果什么也得不到,康德认为人的先天感性直观形式有两种:时间和空间.用先天的时间观念整理关于事物的多与少的经验,便创造了数的概念.用先天的空间概念整理关于事物的形状的经验,便创造出了几何公理,三大学派,在1900年后几年内,数学基础问题的讨论和争议已经展开.当时主要的问题为:(1)如何解决已发现的悖论和如何进一步保证在公理系统中不出现任何形式的自相矛盾？(2)如何理解“数学的存在”？(3)有没有实无穷和如何认识实无穷？(4)数学的基础是什么？,逻辑主义:算术是逻辑的一部分,逻辑主义的主要人物是罗素和弗雷格都是柏拉图主义的支持者,Frege(1848-1925,德国),自然数是客观存在的.在逻辑的基础上建立算术,进而建立整个数学,以证明数学是逻辑学的一个分支,弗雷格的工作,由于罗素悖论的出现而受到挫折.罗素和怀海德从头重新做起,建立了庞大的结构,总算实现了把算术还原为逻辑,或者说,还原为集合论.但为了使自己的层次理论不太复杂,罗素最后提出了一个“可化归公理”.这样,就不是完全在逻辑上建立算术了,直觉主义:数学概念是自主的智力活动,人具有先天的直觉能力,能肯定这样能一个一个地把自然数构造出来.因此,数学对象是人靠智力活动构造出来的,Brouwer(18811966,荷兰),布劳维尔认为不能考虑自然数总体.因为直觉可以不能想象构造出全体自然数的过程,因为那需要无穷的时间,直觉主义认为,数学的对象,必须能像自然数那样明显地用有限步骤构造出来,才可以认为是存在的.全体自然数,全体实数,统统无法考虑,因为构造不出来.因此,他们主张一种“构造性数学”.于是,直觉主义也被叫做构造主义,直觉主义,这种否定实无穷的观点,最早可以追溯到亚里士多德.在数学家当中,康托尔的老师柯朗尼克也反对无穷集的观点,主张数学研究的对象一定要能够在有限步骤之内构造出来.构造不出来的就不存在直觉主义逻辑否定了“排中律”,“反证法”布劳维尔在自己观点的指导下开始了庞大的工程.他建立了构造性的数学:构造性实数,构造性集合论,构造性微积分在计算机出现后,构造性数学有了大用场.因为计算机只处理可构造出来的具体符号串.直觉主义派不但没使数学受到损害,反而用构造性数学使这一领域大大丰富了我国著名数学家吴文俊教授指出,中国古代数学是构造性数学.在每个问题中都力求给出构造性的解答.他还指出:由于计算机技术的发展,构造性数学将出现大发展,甚至成为数学的主流,形式主义:把数学化为关于有限符号排列的操作,形式主义是一种唯心主义的形而上学观点,Hilbert(18621943,德国),形式主义是支持柏拉图主义的.目的是通过形式化为柏拉图主义数学建立稳固可靠的基础.形式主义者主张使用符号推演代替语言,而符号的使用方法要靠约定的规则,希尔伯特建立了元数学-形式系统的数学两大目标:形式数学系统的完全性,协调性如果能推出所有的真命题,就说这个系统是完全的如果推不出矛盾,就说这个形式系统是协调的,哥德尔不完备定理,遗憾的是,在1931年哥德尔不完备定理说明了希尔伯特的构想是不可能实现的,哥德尔和王浩(左哥德尔),青年数学家哥德尔在1931年发表了一条定理:在包含了自然数的任一形式系统中,一定有这样的命题,它是真的,但不能被证明(系统协调),长期以来,数学家和哲学家总觉得,数学的真理总是可以证明的.哥德尔定理表明,“真”与“可证”是两回事,争论的结果:计算机理论的产生,对数的本质的研究,对数学对象本质的研究,促进了数学基础和数学哲学的大发展.但是对“什么是数？”“数学的真理意味着什么？”这样的问题,依然没有一致的回答不同观点的数学家,沿着自己选定的道路前进,发现大家不约而同地到达同一个地方:数学研究的对象是一些关系与形式,这些关系与形式可以用有限符号来表达,它又能包含着无限丰富的内容数学的研究对象是抽象的形式与关系各派最后都导致对“算法”的研究,在此研究基础上出现了计算机理论,早期计算机雏形,左图为二战德军使用的Enigma右图为2008年BletchleyPark博物馆复制的“图灵炸弹”,原机二战后秘密销毁,中国的哲学与数学,公元前1046年,武王伐商,建立了周朝.武王驾崩后,儿子姬诵年幼,便由叔叔姬旦(史称周公)辅佐执政窃闻乎大夫善数也,请问古者包牺立周天历度.夫天不可阶而生,地不可得尺寸而度,请问数安从出?(圆和方)故折矩,以为勾广三,股修四,径隅五禹治洪水,决流江河.望山川之形,定高下之势,除滔天之灾,释昏垫之厄,使东注于海而无浸逆.乃勾股之所由生(赵爽周髀算经注)古时认为数出自“两仪”,即阴阳之类,表述事物的两面性,如正与反古希腊毕达哥拉斯在商高六百年后才发现勾股定理,周公问数,大禹治水,中国的哲学与数学,九章算术成书约在东汉初期(约公元1世纪),作为教材在民间流传.魏晋时期的刘徽在魏陈留王景元四年(公元263年)完成了九章算术注在推求圆周率的过程中,刘徽巧妙地导出一个普遍公式,从正六边形一直推求至九十六边形,得到圆周率在3.14附近(徽率,阿基米德数)在弓形面积的计算中,刘徽又一次运用了极限思想,用“割弧术”进行面积逼近.“割之又割,使至极细”,刘徽(生于公元250年左右),中国哲学与数学,隋书记述了祖冲之的圆周率值,准确至小数点后七位;提出一个具有世界水平的密率值355/113.这个准确至小数点后七位的数刘徽的割圆术,就必须计算出圆内接正24576边形的面积直到一千年后,才有阿拉伯数学家阿尔卡西打破祖冲之的记录例如直径10公里,用密率算出的圆周只比真值大不到3毫米,祖冲之公元429年公元500年,中国哲学与数学,唐朝:算经十书,王孝通的缉古算经需要学三年(三次方程代数解法)宋朝:沈括梦溪笔谈,秦九韶“大衍求一术”元朝:阿拉伯数字,朱世杰“三次内插公式”四元玉鉴1980年,梁宗巨(1942-1995年)在世界数学史简编中说:“自古以来,我国就是一个数学的先进国家,但是朱世杰之后,我国数学突然出现中断的现象,从朱世杰后的三个世纪,没有重要的创作.”,沈括,秦九韶,再谈哥德尔不完备定理,根岑(1936),阿克曼(1940),诺维科夫(1943),洛伦岑(1951),许特(1951),卡罗多夫斯基(1959),史坦尼斯(1952),竹内外史(1953)都得到一个结论:算术系统自身的协调性不能在自身系统中证明括微积分,几何的整个数学的协调性,是逐步化归到越来越小的系统的协调性的.到了算术系统,小得不能再小了,再想证明协调性,就反而要把系统扩大了这是一种什么现象？,中西方计算工具,图片依次为:算筹,汉代琉璃算筹,古算盘,皮纳尔算筹(1617),帕斯卡加法器(1641),莱布尼茨乘法器(1701,传教士鲍威特,二进制,八卦的爻),布尔巴基学派,毕达哥拉斯做了第一次尝试,希望把数学统一于自然数.这次尝试由于无理数的发现而以失败告终.以后相当长时间里,希望把数学统一于欧几里得几何.最后发现,连几何也是不统一的,这种希望破灭了莱布尼茨,弗雷格和罗素,希望把数学统一于逻辑,使庞大的,复杂的数学归结为非常通俗的,直观的,易于洞察的逻辑.其结果呢？导出了极不通俗,极为复杂而令人难于洞察的层次理论与可化归公理直觉主义派的布劳维尔和形式主义的希尔伯特,又希望数学统一于算术.结果,哥德尔定理的推论说明连算术也不是统一的法国布尔巴基学派最初的成员是巴黎师范学院的一群大学生.在40多年间,他们计划完成一部百科全书式的数学巨著数学原理,对全部现代数学作彻底的探讨与证明,数学的研究对象是抽象的形式与关系,中国哲学与数学,太极:其大无外,其小无内有物混成,先天地生.寂兮寥兮,独立而不改,周行而不殆,可以为天下母.吾不知其名,字之曰道,强为之名曰大,回答,数的本质是什么？思想有什么样的作用？西方世界在第三次数学危机后如何产生了计算机理论？中国哲学有什么样的作用？直觉主义（构造主义）逻辑有什么样的作用？,总结:一沙一世界,一花一天堂,想什么,就会做什么事;想什么,就会产生什么样的理论思想是一粒种子,生根发芽,不断壮大.我们所需要的就是那样的一粒种子,给予它营养不断成长,尚书星星之火,可以燎原巴尔扎克:一个能思想的人,才真是一个力量无边的人一切只是源于一个想法,思考,为什么元朝以后我们国家的科学发展停滞了？为什么世界古文明只有中华文明发展至今？不是古希腊的文明不发达,不是古印度的思想不深刻,大作业,关于计算机中的逻辑应用(题目自拟)要求:电子版发到buaa.logic(doc格式)邮件题目:学号-姓名-大作业题目,题目为关键词纸版送到G616,存档截止时间:数理逻辑考试之前,参考题目,计算机语言背后的逻辑系统(Lisp,ML)硬件系统的逻辑描述网络协议中的逻辑验证逻辑理论机的原理(Newell,Shaw,Simon,TheLogicTheoryMachine)罗素类型论GrardHuet简单类型论王浩Gentzen-style系统Martinlf直觉主义类型论(Nuprl)范畴抽象机CAM和CAML语言指针的逻辑描述(参考中科大相关论文)自动定理证明器Automatedtheoremproving(HOL,Isabella,PVSetc),谢谢!,2010.12.16,展
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