高等数学 1题不定积分求详解 高等数学不定积分求解析

\u9ad8\u7b49\u6570\u5b66\uff0c\u6c42\u4e0d\u5b9a\u79ef\u5206\u3002\u6bcf\u4e00\u9053\u8981\u8be6\u89e3\u3002

\u539f\u5f0f=1/2\u222b1/(1+2lnx) d(1+2lnx)
=1/2 ln|(1+2lnx)|+c
\u539f\u5f0f=1/3 \u222b1/\u221a(2+3lnx) d(2+3lnx)
=2/3 \u221a(2+3lnx)+c
\u539f\u5f0f=-\u222b1/lncosx dlncosx
=-ln|lncosx|+c
\u539f\u5f0f=\u222bx/(1+x²)dx-\u222b\u221aarctanx/(1+x²)dx
=1/2\u222b1/(1+x²) d(1+x²) -\u222b\u221aarctanx darctanx
=1/2ln(1+x²)-2/3 (arctanx)^(3/2)+c
\u539f\u5f0f=\u222b1/(4+ln²x) dlnx
=1/2arctan[(lnx)/2] +c

\u5982\u56fe

(1)

∫x²e^(-2x)dx

=(-½)∫x²d[e^(-2x)]

=(-½)x²·e^(-2x) +½∫[e^(-2x)]d(x²)

=(-½)x²·e^(-2x) +½∫[2x·e^(-2x)]dx

=(-½)x²·e^(-2x) +∫[x·e^(-2x)]dx

=(-½)x²·e^(-2x) +(-½)∫xd[e^(-2x)]

=(-½)x²·e^(-2x) +(-½)x·e^(-2x) +½∫[e^(-2x)]dx

=(-½)x²·e^(-2x) +(-½)x·e^(-2x) +½·(-½)∫[e^(-2x)]d(-2x)

=(-½)x²·e^(-2x) +(-½)x·e^(-2x) +(-¼)e^(-2x)+C

=-¼(2x²+2x+1)·e^(-2x)+C

(2)

令lnx=t，则x=e^t

∫ln²xdx

=∫t²d(e^t)

=t²·e^t -∫(e^t)d(t²)

=t²·e^t -∫(2t·e^t)dt

=t²·e^t -2∫td(e^t)

=t²·e^t-2t·e^t+2∫(e^t)dt

=t²·e^t-2t·e^t+2e^t +C

=x·ln²x-2x·lnx+2x+C

两次运用分布积分法，将e的函数提进去

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