高数导数问题 如图为什么？ 高数导数问题，如图所示，为什么f(0)的导数等于f(x)导数...

\u9ad8\u6570\u5bfc\u6570\u95ee\u9898\uff0c\u5982\u56fe\u6240\u793a\uff0c\u4e3a\u4ec0\u4e48f(0)\u7684\u5bfc\u6570\u7b49\u4e8ef(x)\u5bfc\u6570\u7684\u6781\u9650\u5462\uff1f

f'\uff080\uff09=lim\uff08x\u21920\uff09[f\uff08x\uff09-f\uff080\uff09]/x\uff0c\u8fd9\u662f\u5728x=0\u70b9\u5904\u5bfc\u6570\u7684\u5b9a\u4e49\u516c\u5f0f\u3002
\u56e0\u4e3a\u5728x=0\u70b9\u5904\u53ef\u5bfc\uff0c\u6240\u4ee5f\uff08x\uff09\u5728x=0\u70b9\u5904\u8fde\u7eed
\u6240\u4ee5lim\uff08x\u21920\uff09[f\uff08x\uff09-f\uff080\uff09]=0
\u6240\u4ee5lim\uff08x\u21920\uff09[f\uff08x\uff09-f\uff080\uff09]/x\u662f0/0\u578b\u7684\u6781\u9650\u5f0f\u5b50\uff0c\u4e14\u5206\u5b50\u5206\u6bcd\u5728x=0\u70b9\u5904\u90fd\u53ef\u5bfc\uff0c\u7528\u6d1b\u5fc5\u8fbe\u6cd5\u5219\uff0c\u5206\u5b50\u5206\u6bcd\u540c\u65f6\u6c42\u5bfc\uff0c\u5f97\u5230
lim\uff08x\u21920\uff09[f\uff08x\uff09-f\uff080\uff09]/x
=lim\uff08x\u21920\uff09[f\uff08x\uff09-f\uff080\uff09]'/x'
\u5206\u5b50\u4e2d\uff0cf\uff080\uff09\u662f\u5e38\u6570\uff08\u4efb\u4f55\u51fd\u6570\u5728\u4efb\u4f55\u5177\u4f53\u70b9\u7684\u51fd\u6570\u503c\uff0c\u90fd\u662f\u5e38\u6570\uff09
\u6240\u4ee5f\uff080\uff09\u7684\u5bfc\u6570\u662f0
\u6240\u4ee5\u5206\u5b50\u7684\u5bfc\u6570\u5c31\u662ff'\uff08x\uff09
\u5206\u6bcd\u7684\u5bfc\u6570\u662f1
\u6240\u4ee5
lim\uff08x\u21920\uff09[f\uff08x\uff09-f\uff080\uff09]/x
=lim\uff08x\u21920\uff09[f\uff08x\uff09-f\uff080\uff09]'/x'
=lim\uff08x\u21920\uff09f'\uff08x\uff09/1
=lim\uff08x\u21920\uff09f'\uff08x\uff09

\u4f60\u7684\u9898\u76ee\u56fe\u5728\u54ea\u91cc\uff1f
\u5982\u679c\u4e0d\u77e5\u9053\u5bfc\u6570\u662f\u5426\u5b58\u5728
\u8fd8\u662f\u6309\u7167\u5b9a\u4e49\u5199\u66f4\u597d\u4e00\u4e9b\u5427
f'(0)=limdx\u8d8b\u4e8e0
[f(dx)-f(0)]/dx

对于f(x)=|(x-a)^k|，很显然若k为偶数，f(x)在x=a可导
若k为奇数，
比如k=3,f(x)=|(x-a)^3|,
f'(a-)=lim(x->a-)[-(x-a)^3]'=lim(x->a-)-3(x-a)^2=0
f'(a+)=lim(x->a+)[(x-a)^3]'=lim(x->a+)3(x-a)^2=0
而对于k=1,f(x)=|x-a|
f'(a-)=lim(x->a-)[-(x-a)]'=-1
f'(a+)=lim(x->a+)[(x-a)]'=1
通过这些计算可以发现，k=1时f(x)不可导是因为其幂次从1次降到0次了

先说结论，可导函数f(x)中f(x)≠0的点在函数|f(x)|中依然可导，所以只考虑可导函数f(x)的零点，零点中只有导数不为0的点会成为函数|f(x)|的不可导点，比如f(x)＝x，f(0)＝0，导数f'(0)＝1，取绝对值后，x＝0处不可导因为左右导数不相等。

对于导数为0的零点，取绝对值后依然可导，例如f(x)＝x³的x＝0，和取绝对值不变的f(x)＝x²的x＝0，

那么看看这个题目，先考虑不带绝对值的函数f(x)＝(x－1)(x－2)²…(x－2018)的2018次幂，这个函数处处可导，f(1)＝f(2)＝…f(2018)＝0，导数f'(x)＝(x－1)的导数×剩下的不含(x－1)的乘积＋(x－2)²的导数×剩下的不含(x－2)²的乘积＋…(x－2018)的2018次幂的导数×剩下的不含(x－2018)的2018次幂的乘积，可以看出f'(1)≠0，f'(2)＝f'(3)＝…＝f'(2018)＝0，所以只有x＝1处不可导。上面用到了多个函数乘积的一阶导数公式：(abcd…)' = a'bcd… + ab'cd …+abc'd …+ abcd'…＋…。

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