怎样证明与所有n阶方阵可交换的矩阵只能是数量矩阵?
记A=aij，用Eij将第i行第j列的元素表示为1，而其余元素为零的矩阵。因A与任何矩阵均可交换，所以必与E可交换。由AEij=EijA得aji=aij，i=j=1,2,3,...n及aij=0i不等于j，故A是数量矩阵。
矩阵的概念在19世纪逐渐形成。1800年代，高斯和威廉·若尔当建立了高斯—若尔当消去法。1844年，德国数学家费迪南·艾森斯坦（F.Eisenstein）讨论了“变换”（矩阵）及其乘积。1850年，英国数学家詹姆斯·约瑟夫·西尔维斯特（James Joseph Sylvester）首先使用矩阵一词。
矩阵正式作为数学中的研究对象出现，则是在行列式的研究发展起来后。逻辑上，矩阵的概念先于行列式，但在实际的历史上则恰好相反。
日本数学家关孝和（1683年）与微积分的发现者之一戈特弗里德·威廉·莱布尼茨（1693年）近乎同时地独立建立了行列式论。其后行列式作为解线性方程组的工具逐步发展。1750年，加布里尔·克拉默发现了克莱姆法则。
绛旓細鐭╅樀A涓庝换鎰n闃舵柟闃靛彲浜ゆ崲锛屾眰A杩囩▼锛氱煩闃靛父瑙佷簬缁熻鍒嗘瀽绛夊簲鐢ㄦ暟瀛﹀绉戜腑銆 鍦ㄧ墿鐞嗗涓紝鐭╅樀浜庣數璺銆佸姏瀛︺佸厜瀛﹀拰閲忓瓙鐗╃悊涓兘鏈夊簲鐢紱璁＄畻鏈虹瀛︿腑锛屼笁缁村姩鐢诲埗浣滀篃闇瑕佺敤鍒扮煩闃点 鐭╅樀鐨勮繍绠楁槸鏁板煎垎鏋愰鍩熺殑閲嶈闂銆傚皢鐭╅樀鍒嗚В涓虹畝鍗曠煩闃电殑缁勫悎鍙互鍦ㄧ悊璁哄拰瀹為檯搴旂敤涓婄畝鍖栫煩闃电殑杩愮畻銆
绛旓細杩欎釜鍛介蹇呯劧鏄敊鐨,涓庣粰瀹氱殑鐭╅樀A鍙氦鎹㈢殑鐭╅樀涓嶄竴瀹氭槸瀵硅闃 姣斿 A= 1 2 3 4 A鍜孉鏈韩鏄剧劧鍙氦鎹 鍚堢悊鐨勪慨姝ｆ槸,涓庢墍鏈塏闃舵柟闃閮藉彲浜ゆ崲鐨勭煩闃典竴瀹氭槸N闃跺瑙掗樀锛堝叾瀹炰竴瀹氭槸N闃剁函閲忛樀,鍗冲崟浣嶉樀鐨勫嶆暟锛
绛旓細灞曞紑鍏ㄩ儴 璇: 璁 A=(aij) 涓庝换鎰忕殑n闃剁煩闃靛彲浜ゆ崲, 鍒橝蹇呮槸n闃舵柟闃.璁綞ij鏄i琛岀j鍒椾綅缃负1,鍏朵綑閮芥槸0鐨刵闃舵柟闃.鍒橢ijA = AEijEijA 鏄i琛屼负 aj1,aj2,...,ajn, 鍏朵綑琛岄兘鏄0鐨勬柟闃礎Eij 鏄j鍒椾负 a1i,a2i,...,ani, 鍏朵綑鍒楅兘鏄0鐨勬柟闃垫墍浠ュ綋i鈮爅鏃, aij=0.鎵浠鏄竴涓瑙掔煩闃...
绛旓細A*diag(1,...,n)=diag(1,...,n)*A 鐩存帴鎸夊畾涔夋妸涓よ竟涔樺嚭鏉ュ姣斾竴涓嬪氨琛屼簡
绛旓細A鏄爣閲鐭╅樀锛堝嵆涓涓父鏁板啀涔樹互鍗曚綅闃碉級璇佹槑寰堢畝鍗,鎶夾璁惧嚭鏉,=(aij)鐒跺悗鍒嗗埆璁╁畠鍜孍ij鍙氦鎹锛圗ij鏄痠j浣嶇疆涓婁负1,鍏朵綑鍏ㄤ负0鐨勭煩闃碉級鍐嶄袱杈逛綔姣旇緝灏卞彲浠ヤ簡
绛旓細杩欎釜鍛介蹇呯劧鏄敊鐨勶紝涓庣粰瀹氱殑鐭╅樀A鍙氦鎹㈢殑鐭╅樀涓嶄竴瀹氭槸瀵硅闃 姣斿 A= 1 2 3 4 A鍜孉鏈韩鏄剧劧鍙氦鎹 鍚堢悊鐨勪慨姝ｆ槸锛涓庢墍鏈塏闃舵柟闃閮藉彲浜ゆ崲鐨勭煩闃典竴瀹氭槸N闃跺瑙掗樀锛堝叾瀹炰竴瀹氭槸N闃剁函閲忛樀锛屽嵆鍗曚綅闃电殑鍊嶆暟锛
绛旓細鍙氦鎹㈢殑鐭╅樀鎰忔濆涓嬶細婊¤冻涔樻硶浜ゆ崲寰嬬殑鏂归樀绉颁负鍙氦鎹㈢煩闃碉紝鍗崇煩闃礎锛孊婊¤冻:A路B=B路A銆傞珮绛変唬鏁颁腑鍙氦鎹㈢煩闃靛叿鏈変竴浜涚壒娈婄殑鎬ц川銆備笅闈㈡墍璇寸殑鐨勭煩闃靛潎鎸n闃瀹炴柟闃点傚畾涔:婊¤冻涔樻硶浜ゆ崲寰嬬殑鏂归樀绉颁负鍙氦鎹㈢煩闃,鍗崇煩闃礎锛孊婊¤冻:A路B=B路A銆傞珮绛変唬鏁颁腑鍙氦鎹㈢煩闃靛叿鏈変竴浜涚壒娈婄殑鎬ц川銆備笅闈㈡墍璇寸殑鐨...
绛旓細鍙氦鎹鐭╅樀婊¤冻鐨勬潯浠跺涓嬶細A鍙嗙殑鍏呰鏉′欢:1銆亅A|涓嶇瓑浜0銆2銆乺锛圓锛=n銆3銆丄鐨勫垪锛堣锛夊悜閲忕粍绾挎ф棤鍏炽4銆丄鐨勭壒寰佸间腑娌℃湁0銆5銆丄鍙互鍒嗚В涓鸿嫢骞插垵绛夌煩闃电殑涔樼Н銆傜煩闃礎涓n闃舵柟闃锛岃嫢瀛樺湪n闃剁煩闃B锛屼娇寰楃煩闃礎銆丅鐨勪箻绉负鍗曚綅闃碉紝鍒欑ОA涓哄彲閫嗛樀锛孊涓篈鐨勯嗙煩闃点傝嫢鏂归樀鐨勯嗛樀瀛樺湪锛屽垯...
绛旓細缁欏畾涓涓柟闃礎锛孉X-XA=0鏄叧浜嶺鐨勫垎閲忕殑绾挎ф柟绋嬬粍锛屾寜鏅氱嚎鎬ф柟绋嬬粍鐨勮В娉曡В鍑烘潵灏辫浜嗐傛弧瓒充箻娉浜ゆ崲寰嬬殑鏂归樀绉颁负鍙氦鎹鐭╅樀锛屽嵆鐭╅樀A锛孊婊¤冻锛欰路B=B路A銆傞珮绛変唬鏁颁腑鍙氦鎹㈢煩闃靛叿鏈変竴浜涚壒娈婄殑鎬ц川銆備笅闈㈡墍璇寸殑鐨勭煩闃靛潎鎸n 闃瀹炴柟闃点備笅闈㈡槸鍙氦鎹㈢煩闃电殑鍏呭垎鏉′欢锛(1) 璁続 , B 鑷冲皯鏈変竴涓...
绛旓細浠庤孉,B鏈夊叕鍏辩壒寰佸悜閲.鍒╃敤杩欎釜鎬ц川鎴戜滑杩樺彲浠璇佹槑姝ゅA,B鍙互鍚屾椂涓婁笁瑙掑寲,瀵归樁鏁板綊绾冲嵆鍙.,1,浣犺繖寰呰瘉鍛介鏈夐棶棰樸傝偗瀹氳繕鏈夊叾浠栭檺鍒舵潯浠 棣栧厛浜ゆ崲鐭╅樀涓瀹氭槸鏂归樀銆傝涓n闃舵柟闃 璁続B=BA锛孉x=cx锛寈涓烘柟闃礎灞炰簬c鐨勭壒寰佸悜閲忋侫x=cx 绛夊紡涓よ竟鍙充箻鏂归樀B-> BAx=cBx AB浜ゆ崲-> A(Bx)=c(Bx)鎵浠...
