高二数学
\u9ad8\u4e8c\u6570\u5b6624-12\u221a3
\u89e3\uff1a(1)\u7531\u9898\u77e5\u53cc\u66f2\u7ebf\u65b9\u7a0b\u53ef\u4e3a\uff1a y^2/a^2-x^2/b^2=1(a\uff1e0,b\uff1e0),\u8bbeP(x0,y0)\uff0c\u5219Q(\uff0dx0,y0),
\u2235\u2220PAQ+\u2220PBQ=180\u00b0\uff0c\u2234\u2220PAE+\u2220PBE=90\u00b0
\u2234tan\u2220PAE•tan\u2220PBE=|x0/(y0-a)|•|x0/(y0+a)|=|x0^2/(y0^2-a^2)|
\u5c06\u53cc\u66f2\u7ebf\u65b9\u7a0b\u4ee3\u5165\u4e0a\u5f0f\u53ef\u5f97tan\u2220PAE•tan\u2220PBE=b^2/a^2=1
\u2234a=b(a=-b\u820d\u53bb),
\u2234\u53cc\u66f2\u7ebfC\u662f\u4e00\u6761\u7b49\u8f74\u53cc\u66f2\u7ebf
(2)\u7531(1)\u77e5\u53cc\u66f2\u7ebfC\u7684\u65b9\u7a0b\u4e3ay2-x2=a2.\u8bbeM(x1,y1),N(x2,y2),\u5219y1^2 -x1 ^2=a^2,y2^2 -x2 ^2=a^2,
\u2234(y1+y2)•(y1-y2)-(x1+x2)(x1-x2)=0
\u2235MN\u7684\u4e2d\u70b9\u4e3aD(4\uff0c6)\uff0c
\u223412(y1-y2)-8(x1-x2)=0,(y1-y2)/(x1-x2)=8/12=2/3
\u5373Kmn=2/3
\u2234MN:y-6= 2(x-4)/3
\u4ee3\u5165\u5706\u7684\u65b9\u7a0b\u5f97\uff1a(x-4)^2+(x-4)^2•4/9=13,
\u2234x=7\u62161,
\u2234M\u70b9\u7684\u5750\u6807\u4e3a(7\uff0c8)\u6216(1\uff0c4)
\u4ee3\u5165\u53cc\u66f2\u7ebf\u65b9\u7a0b\u5f97a^2=8^2-7^2(\u62164^2\uff0d1^2)=15,
\u2234\u53cc\u66f2\u7ebf\u65b9\u7a0b\u4e3ay^2-x^2=15.
江西省永丰中学 刘 忠
一、求双曲线的标准方程
求双曲线的标准方程 或 （a、b>0），通常是利用双曲线的有关概念及性质再 结合其它知识直接求出a、b或利用待定系数法.
例1 求与双曲线 有公共渐近线，且过点 的双曲线的共轭双曲线方程.
解 令与双曲线 有公共渐近线的双曲线系方程为 ，将点 代入，得 ，∴双曲线方程为 ，由共轭双曲线的定义，可得此双曲线的共轭双曲线方程为 .
评 此例是“求与已知双曲线共渐近线的双曲线方程”类型的题.一般地，与双曲线 有公共渐近线的双曲线的方程可设为 （k�R，且k≠0）；有公共焦点的双曲线方程可设为 ，本题用的是待定系数法.
例2 双曲线的实半轴与虚半轴长的积为 ，它的两焦点分别为F1、F2，直线 过F2且与直线F1F2的夹角为 ，且 ， 与线段F1F2的垂直平分线的交点为P，线段PF2与双曲线的交点为Q，且 ，建立适当的坐标系，求双曲线的方程.
解 以F1F2的中点为原点，F1、F2所在直线为x轴建立坐标系，则所求双曲线方程为 （a>0，b>0），设F2（c，0），不妨设 的方程为 ，它与y轴交点 ，由定比分点坐标公式，得Q点的坐标为 ，由点Q在双曲线上可得 ，又 ，
∴ ， ，∴双曲线方程为 .
评 此例用的是直接法.
二、双曲线定义的应用
1、第一定义的应用
例3 设F1、F2为双曲线 的两个焦点，点P在双曲线上，且满足∠F1PF2=900，求ΔF1PF2的面积.
解 由双曲线的第一定义知， ，两边平方，得 .
∵∠F1PF2=900，∴ ，
∴ ，
∴ .
2、第二定义的应用
例4 已知双曲线 的离心率 ，左、右焦点分别为F1、F2，左准线为l，能否在双曲线左支上找到一点P，使 是 P到l的距离d与 的比例中项？
解 设存在点 ，则 ，由双曲线的第二定义，得 ，
∴ ， ，又 ，
即 ，解之，得 ，
∵ ，
∴ ， 矛盾，故点P不存在.
评 以上二例若不用双曲线的定义得到焦半径 、
或其关系，解题过程将复杂得多.
三、双曲线性质的应用
例5 设双曲线 （ ）的半焦距为c，
直线l过（a，0）、（0，b）两点，已知原点到 的距离为 ，
求双曲线的离心率.
解析 这里求双曲线的离心率即求 ，是个几何问题，怎么把
题目中的条件与之联系起来呢？如图1，
∵ ， ， ，由面积法知ab= ，考虑到 ，
知 即 ，亦即 ，注意到a<b的条件，可求得 .
四、与双曲线有关的轨迹问题
例6 以动点P为圆心的圆与⊙A： 及⊙B： 都外切，求点P的轨迹方程.
解 设动点P（x，y），动圆半径为r，由题意知 ， ， .
∴ .∴ ， ，据 双曲线的定义知，点P的轨迹是以A、B为焦点的双曲线的右支，方程为 ： .
例 7 如图2，从双曲线 上任一点Q引直线 的垂线，垂足为N，求线段QN的中点P的轨迹方程.
解析 因点P随Q的运动而运动，而点Q在已知双曲线上，
故可从寻求 Q点的坐标与P点的坐标之间的关系入手，用转移法达到目的.
设动点P的坐标为 ，点Q的坐标为 ，
则 N点的坐标为 .
∵点 N在直线 上，∴ ……①
又∵PQ垂直于直线 ，∴ ，
即 ……②
联立 ①、②解得 .又∵点N 在双曲线 上，
∴ ，
即 ，化简，得点P的轨迹方程为： .
五、与双曲线有关的综合题
例8 已知双曲线 ，其左右焦点分别为F1、F2，直线l过其右焦点F2且与双曲线 的右支交于A、B两点，求 的最小值.
解 设 ， ，（ 、 ）.由双曲线的第二定义，得
， ，
∴ ，
设直线l的倾角为θ，∵l与双曲线右支交于两点A、B，∴ .
①当 时，l的方程为 ，代入双曲线方程得
.
由韦达定理得： .
∴ .
②当 时，l的方程为 ，∴ ，∴ .
综①②所述，知所求最小值为 .
求采纳为满意回答。
思路：
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