高二数学
\u9ad8\u4e8c\u6570\u5b6624-12\u221a3
\u89e3\uff1a(1)\u7531\u9898\u77e5\u53cc\u66f2\u7ebf\u65b9\u7a0b\u53ef\u4e3a\uff1a y^2/a^2-x^2/b^2=1(a\uff1e0,b\uff1e0),\u8bbeP(x0,y0)\uff0c\u5219Q(\uff0dx0,y0),
\u2235\u2220PAQ+\u2220PBQ=180\u00b0\uff0c\u2234\u2220PAE+\u2220PBE=90\u00b0
\u2234tan\u2220PAE•tan\u2220PBE=|x0/(y0-a)|•|x0/(y0+a)|=|x0^2/(y0^2-a^2)|
\u5c06\u53cc\u66f2\u7ebf\u65b9\u7a0b\u4ee3\u5165\u4e0a\u5f0f\u53ef\u5f97tan\u2220PAE•tan\u2220PBE=b^2/a^2=1
\u2234a=b(a=-b\u820d\u53bb),
\u2234\u53cc\u66f2\u7ebfC\u662f\u4e00\u6761\u7b49\u8f74\u53cc\u66f2\u7ebf
(2)\u7531(1)\u77e5\u53cc\u66f2\u7ebfC\u7684\u65b9\u7a0b\u4e3ay2-x2=a2.\u8bbeM(x1,y1),N(x2,y2),\u5219y1^2 -x1 ^2=a^2,y2^2 -x2 ^2=a^2,
\u2234(y1+y2)•(y1-y2)-(x1+x2)(x1-x2)=0
\u2235MN\u7684\u4e2d\u70b9\u4e3aD(4\uff0c6)\uff0c
\u223412(y1-y2)-8(x1-x2)=0,(y1-y2)/(x1-x2)=8/12=2/3
\u5373Kmn=2/3
\u2234MN:y-6= 2(x-4)/3
\u4ee3\u5165\u5706\u7684\u65b9\u7a0b\u5f97\uff1a(x-4)^2+(x-4)^2•4/9=13,
\u2234x=7\u62161,
\u2234M\u70b9\u7684\u5750\u6807\u4e3a(7\uff0c8)\u6216(1\uff0c4)
\u4ee3\u5165\u53cc\u66f2\u7ebf\u65b9\u7a0b\u5f97a^2=8^2-7^2(\u62164^2\uff0d1^2)=15,
\u2234\u53cc\u66f2\u7ebf\u65b9\u7a0b\u4e3ay^2-x^2=15.
江西省永丰中学 刘 忠
一、求双曲线的标准方程
求双曲线的标准方程 或 (a、b>0),通常是利用双曲线的有关概念及性质再 结合其它知识直接求出a、b或利用待定系数法.
例1 求与双曲线 有公共渐近线,且过点 的双曲线的共轭双曲线方程.
解 令与双曲线 有公共渐近线的双曲线系方程为 ,将点 代入,得 ,∴双曲线方程为 ,由共轭双曲线的定义,可得此双曲线的共轭双曲线方程为 .
评 此例是“求与已知双曲线共渐近线的双曲线方程”类型的题.一般地,与双曲线 有公共渐近线的双曲线的方程可设为 (k�R,且k≠0);有公共焦点的双曲线方程可设为 ,本题用的是待定系数法.
例2 双曲线的实半轴与虚半轴长的积为 ,它的两焦点分别为F1、F2,直线 过F2且与直线F1F2的夹角为 ,且 , 与线段F1F2的垂直平分线的交点为P,线段PF2与双曲线的交点为Q,且 ,建立适当的坐标系,求双曲线的方程.
解 以F1F2的中点为原点,F1、F2所在直线为x轴建立坐标系,则所求双曲线方程为 (a>0,b>0),设F2(c,0),不妨设 的方程为 ,它与y轴交点 ,由定比分点坐标公式,得Q点的坐标为 ,由点Q在双曲线上可得 ,又 ,
∴ , ,∴双曲线方程为 .
评 此例用的是直接法.
二、双曲线定义的应用
1、第一定义的应用
例3 设F1、F2为双曲线 的两个焦点,点P在双曲线上,且满足∠F1PF2=900,求ΔF1PF2的面积.
解 由双曲线的第一定义知, ,两边平方,得 .
∵∠F1PF2=900,∴ ,
∴ ,
∴ .
2、第二定义的应用
例4 已知双曲线 的离心率 ,左、右焦点分别为F1、F2,左准线为l,能否在双曲线左支上找到一点P,使 是 P到l的距离d与 的比例中项?
解 设存在点 ,则 ,由双曲线的第二定义,得 ,
∴ , ,又 ,
即 ,解之,得 ,
∵ ,
∴ , 矛盾,故点P不存在.
评 以上二例若不用双曲线的定义得到焦半径 、
或其关系,解题过程将复杂得多.
三、双曲线性质的应用
例5 设双曲线 ( )的半焦距为c,
直线l过(a,0)、(0,b)两点,已知原点到 的距离为 ,
求双曲线的离心率.
解析 这里求双曲线的离心率即求 ,是个几何问题,怎么把
题目中的条件与之联系起来呢?如图1,
∵ , , ,由面积法知ab= ,考虑到 ,
知 即 ,亦即 ,注意到a<b的条件,可求得 .
四、与双曲线有关的轨迹问题
例6 以动点P为圆心的圆与⊙A: 及⊙B: 都外切,求点P的轨迹方程.
解 设动点P(x,y),动圆半径为r,由题意知 , , .
∴ .∴ , ,据 双曲线的定义知,点P的轨迹是以A、B为焦点的双曲线的右支,方程为 : .
例 7 如图2,从双曲线 上任一点Q引直线 的垂线,垂足为N,求线段QN的中点P的轨迹方程.
解析 因点P随Q的运动而运动,而点Q在已知双曲线上,
故可从寻求 Q点的坐标与P点的坐标之间的关系入手,用转移法达到目的.
设动点P的坐标为 ,点Q的坐标为 ,
则 N点的坐标为 .
∵点 N在直线 上,∴ ……①
又∵PQ垂直于直线 ,∴ ,
即 ……②
联立 ①、②解得 .又∵点N 在双曲线 上,
∴ ,
即 ,化简,得点P的轨迹方程为: .
五、与双曲线有关的综合题
例8 已知双曲线 ,其左右焦点分别为F1、F2,直线l过其右焦点F2且与双曲线 的右支交于A、B两点,求 的最小值.
解 设 , ,( 、 ).由双曲线的第二定义,得
, ,
∴ ,
设直线l的倾角为θ,∵l与双曲线右支交于两点A、B,∴ .
①当 时,l的方程为 ,代入双曲线方程得
.
由韦达定理得: .
∴ .
②当 时,l的方程为 ,∴ ,∴ .
综①②所述,知所求最小值为 .
求采纳为满意回答。
思路:
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