共轭梯度法的算法介绍 共轭梯度法的简介
\u5171\u8f6d\u68af\u5ea6\u6cd5\u7684\u4ecb\u7ecd\u5171\u8f6d\u68af\u5ea6\u6cd5\uff08Conjugate Gradient\uff09\u662f\u4ecb\u4e8e\u6700\u901f\u4e0b\u964d\u6cd5\u4e0e\u725b\u987f\u6cd5\u4e4b\u95f4\u7684\u4e00\u4e2a\u65b9\u6cd5\uff0c\u5b83\u4ec5\u9700\u5229\u7528\u4e00\u9636\u5bfc\u6570\u4fe1\u606f\uff0c\u4f46\u514b\u670d\u4e86\u6700\u901f\u4e0b\u964d\u6cd5\u6536\u655b\u6162\u7684\u7f3a\u70b9\uff0c\u53c8\u907f\u514d\u4e86\u725b\u987f\u6cd5\u9700\u8981\u5b58\u50a8\u548c\u8ba1\u7b97Hesse\u77e9\u9635\u5e76\u6c42\u9006\u7684\u7f3a\u70b9\uff0c\u5171\u8f6d\u68af\u5ea6\u6cd5\u4e0d\u4ec5\u662f\u89e3\u51b3\u5927\u578b\u7ebf\u6027\u65b9\u7a0b\u7ec4\u6700\u6709\u7528\u7684\u65b9\u6cd5\u4e4b\u4e00\uff0c\u4e5f\u662f\u89e3\u5927\u578b\u975e\u7ebf\u6027\u6700\u4f18\u5316\u6700\u6709\u6548\u7684\u7b97\u6cd5\u4e4b\u4e00\u3002 \u5728\u5404\u79cd\u4f18\u5316\u7b97\u6cd5\u4e2d\uff0c\u5171\u8f6d\u68af\u5ea6\u6cd5\u662f\u975e\u5e38\u91cd\u8981\u7684\u4e00\u79cd\u3002\u5176\u4f18\u70b9\u662f\u6240\u9700\u5b58\u50a8\u91cf\u5c0f\uff0c\u5177\u6709\u6b65\u6536\u655b\u6027\uff0c\u7a33\u5b9a\u6027\u9ad8\uff0c\u800c\u4e14\u4e0d\u9700\u8981\u4efb\u4f55\u5916\u6765\u53c2\u6570\u3002
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又称共轭斜量法，是解线性代数方程组和非线性方程组的一种数值方法，例如对线性代数方程组 Ax=ƒ, (1)式中A为n阶矩阵，x和ƒ为n维列向量,当A对称正定时,可以证明求(1)的解X*和求二次泛函
的极小值问题是等价的。此处(x,у)表示向量x和у的内积。由此，给定了初始向量x（0），按某一方向去求(2)式取极小值的点x(1),就得到下一个迭代值x(2),再由x(2)出发，求x(3)等等，这样来逼近x*。若取求极小值的方向为F在 x(k=1,2,…)处的负梯度方向就是所谓最速下降法，然而理论和实际计算表明这个方法的收敛速度较慢，共轭梯度法则是在 x(k-1)处的梯度方向r(k-1)和这一步的修正方向p(k-1)所构成的二维平面内，寻找使F减小最快的方向作为下一步的修正方向p(k),即求极小值的方向p（其第一步仍取负梯度方向）。计算公式为
再逐次计算(k=1,2,…)。可以证明当i≠j时，
从而平p(1),p(2)形成一共轭向量组;r(0),r(1),…形成一正交向量组。后者说明若没有舍入误差的话，至多 n次迭代就可得到(1)的精确解。然而在实际计算中,一般都有舍入误差，所以r(0),r(1),…并不真正互相正交，而尣(0)尣(1),…等也只是逐步逼近(1)的真解,故一般将共轭梯度法作为迭代法来使用。
近来在解方程组(1)时,常将共轭梯度法同其他一些迭代法结合作用。特别是对病态方程组这种方法往往能收到比较显著的效果。其方法是选取一对称正定矩阵B并进行三角分解，得B=LLT。将方程组(1)化为 hу=b, (3)
此处y=lTx,b=l-1ƒ,h=l-1Al-T,而
再对(3)用共轭梯度法，计算公式为
k=0,1,2,…)适当选取B，当B很接近A时，h的条件数较之A大大减小,从而可使共轭梯度法的收敛速度大为加快，由一些迭代法的矩阵分裂A=M -N，可选取M 为这里的B，例如对称超松弛迭代(SSOR)，强隐式迭代(SIP)等,这类方法常称为广义共轭梯度法或预条件共轭梯度法，它也可用于解代数特征值问题。
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