极限证明题 第四题

\u6781\u9650\u8bc1\u660e\u9898\uff0c\u7b2c\u56db\u9898

\u56db\u3001\u5229\u7528\u4e0d\u7b49\u5f0f\u7684\u653e\u7f29\u8bc1\u660e
\u6570\u5217\u7684\u6781\u9650\u5b58\u5728
\u5219\uff0c\u6570\u5217\u7edd\u5bf9\u503c\u7684\u6781\u9650\u5b58\u5728

\u53cd\u8fc7\u6765\u4e0d\u6210\u7acb\uff0c\u6bd4\u5982\u6570\u5217(-1)\u7684n\u6b21\u65b9

\u8bc1\u660e\u8fc7\u7a0b\u5982\u4e0b\uff1a

\u8fd9\u662f\u51e0\u5e74\u7ea7\u7684\u9898

∵{b(n)}是有界数列
∴存在M>0, 使得|b(n)|≤M
∴|a(n)b(n)|≤M|a(n)|
又{a(n)}是无穷小量
∴任取ε>0, 存在正整数N, 当n>N时, |a(n)|<ε/M
∴当n＞N时，|a(n)b(n)|≤M|a(n)|<M*(ε/M)=ε
根据数列极限定义知
lim(n→∞) a(n)b(n)=0
即{a(n)b(n)}是无穷小量

利用和差化积公式。
lim(n →∞) sin(√n-sin√(n+1)
=lim(n →∞) 2cos{ [√n+√(n+1))] /2}*sin{ [√n-√(n+1)] /2}
=lim(n →∞) 2cos{ [√n+√(n+1))]/2 }*sin{ -1 /2[√n+√(n+1)] }
=lim(n →∞) 2cos{ [√n+√(n+1))]/2 }*{-1 /2[√n+√(n+1)]} ................等价无穷小替换
=-lim(n →∞) cos{ [√n+√(n+1))]/2 }*{1 /[√n+√(n+1)]}
∵{a(n)}=1 /[√n+√(n+1)]是无穷小量
|cos{ [√n+√(n+1))]/2}|≤1
{b(n)}=cos{ [√n+√(n+1))]/2}是有界数列
∴{a(n)b(n)}是无穷小量
即lim(n →∞) sin(√n-sin√(n+1)
=-lim(n →∞) cos{ [√n+√(n+1))]/2 }*{1 /[√n+√(n+1)]}
=0

我们学的没这么高深

x等于5 望采纳

很好的问题 学习

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