表示成定积分 将和式的极限表示为定积分
\u5c06\u6781\u9650\u8868\u793a\u4e3a\u5b9a\u79ef\u5206\u539f\u5f0f=lim[n\u2192\u221e]\u2211[i=1\u2192n](i/n)^p*1/n\u8bbef(x)=x^p\u5728\u533a\u95f4[0,1]\u505a\u7b49\u957f\u5206\u5272T,\u5f97\u5230n\u4e2a\u5c0f\u533a\u95f4:[0,1/n],[1/n,2/n]\u2026[(i-1)/n,i/n]\u2026[(n-1)/n,1]\u5728\u6bcf\u4e2a\u533a\u95f4\u4e2d\u53d6\u03bei=i/n
\u5f97\u5230\u9ece\u66fc\u548c\u2211[i=1\u2192n]f(\u03bei)\u0394xi=\u2211[i=1\u2192n](i/n)^p*1/n\u6240\u4ee5\u539f\u5f0f=lim[n\u2192\u221e]\u2211[i=1\u2192n](i/n)^p*1/n=lim[n\u2192\u221e]\u2211[i=1\u2192n]f(\u03bei)\u0394xi=\u222b[0\u21921]x^pdx
\u6269\u5c55\u8d44\u6599\uff1a
\u4e0d\u5b9a\u79ef\u5206\uff08Indefinite integral\uff09\u5373\u5df2\u77e5\u5bfc\u6570\u6c42\u539f\u51fd\u6570\u3002\u82e5F\u2032(x)=f(x)\uff0c\u90a3\u4e48[F(x)+C]\u2032=f(x).(C\u2208R C\u4e3a\u5e38\u6570).\u4e5f\u5c31\u662f\u8bf4\uff0c\u628af(x)\u79ef\u5206\uff0c\u4e0d\u4e00\u5b9a\u80fd\u5f97\u5230F(x)\uff0c\u56e0\u4e3aF(x)+C\u7684\u5bfc\u6570\u4e5f\u662ff(x)\uff08C\u662f\u4efb\u610f\u5e38\u6570\uff09\u3002
\u6240\u4ee5f(x)\u79ef\u5206\u7684\u7ed3\u679c\u6709\u65e0\u6570\u4e2a\uff0c\u662f\u4e0d\u786e\u5b9a\u7684\u3002\u6211\u4eec\u4e00\u5f8b\u7528F(x)+C\u4ee3\u66ff\uff0c\u8fd9\u5c31\u79f0\u4e3a\u4e0d\u5b9a\u79ef\u5206\u3002\u5373\u5982\u679c\u4e00\u4e2a\u5bfc\u6570\u6709\u539f\u51fd\u6570\uff0c\u90a3\u4e48\u5b83\u5c31\u6709\u65e0\u9650\u591a\u4e2a\u539f\u51fd\u6570\u3002
\u5b9a\u79ef\u5206 \uff08definite integral\uff09\u5b9a\u79ef\u5206\u5c31\u662f\u6c42\u51fd\u6570f(X)\u5728\u533a\u95f4[a,b]\u4e2d\u7684\u56fe\u50cf\u5305\u56f4\u7684\u9762\u79ef\u3002\u5373\u7531 y=0,x=a,x=b,y=f(X)\u6240\u56f4\u6210\u56fe\u5f62\u7684\u9762\u79ef\u3002\u8fd9\u4e2a\u56fe\u5f62\u79f0\u4e3a\u66f2\u8fb9\u68af\u5f62\uff0c\u7279\u4f8b\u662f\u66f2\u8fb9\u4e09\u89d2\u5f62\u3002
\u53c2\u8003\u8d44\u6599\u6765\u6e90\uff1a\u767e\u5ea6\u767e\u79d1-\u5b9a\u79ef\u5206
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如图
1.
=1/n*[(1/n)^p+(2/n)^p+...(i/n)^p+(n/n)^p]
=1/n*∑(i/n)^p
=∫(0→1) x^pdx
2.
=1/n[(sinπ/n)/(1+1/n)+(sin2π/n)/(1+2/n)+...+(siniπ/n)/(1+i/n)+(sinnπ/n)/(1+n/n)]
=1/n∑(siniπ/n)/(1+i/n)
=∫(0→1) [sinπx/(1+x)]dx
3.
1/n*[(1/n)^(1/2)+(2/n)^(1/2)+...(i/n)^(1/2)+(n/n)^(1/2)]
=1/n*∑(i/n)^(1/2)
=∫(0→1) x^(1/2)dx
绛旓細1. 灏嗗拰寮忕殑鏋侀檺琛ㄧず涓哄畾绉垎 鍘熷紡 =lim[n鈫掆垶]鈭慬i=1鈫抧](i/n)^p*1/n 璁緁(x)=x^p 鍦ㄥ尯闂碵0,1]鍋氱瓑闀垮垎鍓睺锛屽緱鍒皀涓皬鍖洪棿锛歔0,1/n],[1/n,2/n]鈥锛坕-1锛/n,i/n]鈥锛坣-1锛/n,1]鍦ㄦ瘡涓尯闂翠腑鍙栁緄=i/n 寰楀埌榛庢浖鍜 鈭慬i=1鈫抧]f锛埼緄锛壩攛i =鈭慬i=1...
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绛旓細鍥犱负d(x^2+C)=2*x*dx 鍥犳绯绘暟搴斿綋涔樹互涓涓1/2x 鍗筹細dx=1/2 *(1/x)*2*x*dx=(1/2x)*(2*x*dx)=(1/2x)*d(x^2)=(1/2x)*d(x^2+C)
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