lim (tanx-sinx)/sin2x^3=？ x趋于0 为什么(tanx -sinx)/x^3的极限 x趋向于0？不...
lim(x\u21920) (tanx-sinx)/sin^3(x)\u7684\u6781\u9650\u7684\u95ee\u9898\u7b49\u4ef7\u65e0\u7a77\u5c0f\u7684\u66ff\u6362\u8981\u5728\u4e58\u79ef\u7684\u5f62\u5f0f\u4e0b\u624d\u80fd\u66ff\u6362
\u5b66\u5230\u7684\u7b49\u4ef7\u65e0\u7a77\u5c0ftanx~x\uff0csinx~x\uff0c\u662f\u7b49\u4ef7\u65e0\u7a77\u5c0f\uff0c\u4f46\u4e0d\u662f\u76f8\u7b49\u3002
\u7531\u9ea6\u514b\u52b3\u6797\u516c\u5f0f\uff0ctanx=x+o1(x³)\uff0csinx=x+o2(x³)
tanx-sinx=x+o1(x³)-[x+o2(x³)]=o3(x³)\uff0c\u662fx³\u7684\u540c\u9636\u65e0\u7a77\u5c0f\uff0c\u800c\u4e0d\u662f0
\u5982\u679c\u8bef\u4ee5\u4e3a\u7b49\u4ef7\u65e0\u7a77\u5c0f\u5c31\u662f\u76f8\u7b49\uff0c\u5c31\u5bb9\u6613\u5f97\u5230tanx-sinx=0\u7684\u9519\u8bef\u7ed3\u8bba\u3002
lim (tanx-sinx)/x³
x\u21920
=lim tanx(1-cosx)/x³
x\u21920
=lim x\u00b7½x²/x³
x\u21920
=lim ½x³/x³
x\u21920
=½
做法如下：
由于x趋于0，可以等号左边看出分子都趋于0，可以上下同时求导，
（1/cos平方x-cosx）/6x平方cos2x的3次方。分子分母同时乘以cos平方x 并且分母中将x=0把所有的cosx和cos2x都可以换成1(可以理解为将分母中含有cosx和cos2x的项提出来，发现x趋于0极限存在，所以可以替换掉)
得到 (1-cos的3次方)/6x平方 ，然后可以继续上下同时求导，
3cos平方xsinx/12x , 可以继续把cosx换成1。 继续求导，得到
3cosx/12 ，也就是在x趋于0的时候，极限值为1/4。
而右边两个极限都不存在，无法计算。
无穷小的定义是以极限的形式来定义的，当x→x0时(或x→∞)时，limf(x)=0，则称函数f(x)当x→x0时(或x→∞)时为无穷小。
当limβα=1，就说β与α是等价无穷小。
常见性质有：
设α,α′,β,β′,γ 等均为同一自变量变化过程中的无穷小， ① 若α～α′,β～β′， 且limα′β′存在，则limαβ=limα′β′② 若α～β，β～γ，则α～γ
性质①表明等价无穷小量的商的极限求法。性质②表明等价无穷小的传递性若能运用极限的运算法则，可继续拓展出下列结论：
③ 若α～α′,β～β′， 且limβα=c(≠-1)，则α+β～α′+β′
证明：∵ limα+βα′+β′=lim1+βαα′α+β′α′=lim1+c1+αα′·βα·β′β
=lim1+c1+c=1 ∴ α+β～α′+β′
而学生则往往在性质(3)的应用上忽略了“limβα=c(≠-1)”这个条件，千篇一律认为“α～α′,β～β′，则有α+β～α′+β′
④ 若α～α′,β～β′， 且limAα′±Bβ′Cα′±Dβ′存在，则当Aα′±Bβ′Cα′±Dβ′≠0且 limAα±BβCα±Dβ存在，有limAα±BβCα±Dβ=limAα′±Bβ′Cα′±Dβ′
值得注意的是，等价无穷小只有在极限存在且可求的情况下替换，否则只能一步一步用洛必达法则了。这个法则还是不麻烦的，毕竟微分还是很简单的运算。。。
。。。分母是（sin2x）的3次方，还是sin(2*x的3次方) ？
详细解答如下：（虽然我已经传过）……
扩展阅读：sin x ... lim tanx除以x ... sin x+y ... ymax ... sinx 1 ... cosx sinx ... limtanxsinxx3 x趋近于0 ... x sinx tanx大小关系图像 ... sec-x ...
