急急急！！高中人教版数学必修四所有公式整理。 高中人教版数学必修1-5的所有公式整理
\u9ad8\u4e2d\u6570\u5b66\u5fc5\u4fee\u56db\u6240\u6709\u516c\u5f0f\u516c\u5f0f\u4e00:
\u8bbe\u03b1\u4e3a\u4efb\u610f\u89d2\uff0c\u7ec8\u8fb9\u76f8\u540c\u7684\u89d2\u7684\u540c\u4e00\u4e09\u89d2\u51fd\u6570\u7684\u503c\u76f8\u7b49:
sin(2k\u03c0+\u03b1)=sin\u03b1
cos(2k\u03c0+\u03b1)=cos\u03b1
tan(2k\u03c0+\u03b1)=tan\u03b1
cot(2k\u03c0+\u03b1)=cot\u03b1
\u516c\u5f0f\u4e8c:
\u8bbe\u03b1\u4e3a\u4efb\u610f\u89d2\uff0c\u03c0+\u03b1\u7684\u4e09\u89d2\u51fd\u6570\u503c\u4e0e\u03b1\u7684\u4e09\u89d2\u51fd\u6570\u503c\u4e4b\u95f4\u7684\u5173\u7cfb:
sin(\u03c0+\u03b1)=-sin\u03b1
cos(\u03c0+\u03b1)=-cos\u03b1
tan(\u03c0+\u03b1)=tan\u03b1
cot(\u03c0+\u03b1)=cot\u03b1
\u516c\u5f0f\u4e09:
\u4efb\u610f\u89d2\u03b1\u4e0e
-\u03b1\u7684\u4e09\u89d2\u51fd\u6570\u503c\u4e4b\u95f4\u7684\u5173\u7cfb:
sin(-\u03b1)=-sin\u03b1
cos(-\u03b1)=cos\u03b1
tan(-\u03b1)=-tan\u03b1
cot(-\u03b1)=-cot\u03b1
\u516c\u5f0f\u56db:
\u5229\u7528\u516c\u5f0f\u4e8c\u548c\u516c\u5f0f\u4e09\u53ef\u4ee5\u5f97\u5230\u03c0-\u03b1\u4e0e\u03b1\u7684\u4e09\u89d2\u51fd\u6570\u503c\u4e4b\u95f4\u7684\u5173\u7cfb:
sin(\u03c0-\u03b1)=sin\u03b1
cos(\u03c0-\u03b1)=-cos\u03b1
tan(\u03c0-\u03b1)=-tan\u03b1
cot(\u03c0-\u03b1)=-cot\u03b1
\u516c\u5f0f\u4e94:
\u5229\u7528\u516c\u5f0f\u4e00\u548c\u516c\u5f0f\u4e09\u53ef\u4ee5\u5f97\u52302\u03c0-\u03b1\u4e0e\u03b1\u7684\u4e09\u89d2\u51fd\u6570\u503c\u4e4b\u95f4\u7684\u5173\u7cfb:
sin(2\u03c0-\u03b1)=-sin\u03b1
cos(2\u03c0-\u03b1)=cos\u03b1
tan(2\u03c0-\u03b1)=-tan\u03b1
cot(2\u03c0-\u03b1)=-cot\u03b1
\u516c\u5f0f\u516d:
\u03c0/2\u00b1\u03b1\u53ca3\u03c0/2\u00b1\u03b1\u4e0e\u03b1\u7684\u4e09\u89d2\u51fd\u6570\u503c\u4e4b\u95f4\u7684\u5173\u7cfb:
sin(\u03c0/2+\u03b1)=cos\u03b1
cos(\u03c0/2+\u03b1)=-sin\u03b1
tan(\u03c0/2+\u03b1)=-cot\u03b1
cot(\u03c0/2+\u03b1)=-tan\u03b1
sin(\u03c0/2-\u03b1)=cos\u03b1
cos(\u03c0/2-\u03b1)=sin\u03b1
tan(\u03c0/2-\u03b1)=cot\u03b1
cot(\u03c0/2-\u03b1)=tan\u03b1
sin(3\u03c0/2+\u03b1)=-cos\u03b1
cos(3\u03c0/2+\u03b1)=sin\u03b1
tan(3\u03c0/2+\u03b1)=-cot\u03b1
cot(3\u03c0/2+\u03b1)=-tan\u03b1
sin(3\u03c0/2-\u03b1)=-cos\u03b1
cos(3\u03c0/2-\u03b1)=-sin\u03b1
tan(3\u03c0/2-\u03b1)=cot\u03b1
cot(3\u03c0/2-\u03b1)=tan\u03b1
(\u4ee5\u4e0ak\u2208Z)
\u8bf1\u5bfc\u516c\u5f0f\u8bb0\u5fc6\u53e3\u8bc0
\u203b\u89c4\u5f8b\u603b\u7ed3\u203b
\u4e0a\u9762\u8fd9\u4e9b\u8bf1\u5bfc\u516c\u5f0f\u53ef\u4ee5\u6982\u62ec\u4e3a:
\u5bf9\u4e8ek\u00b7\u03c0/2\u00b1\u03b1(k\u2208Z)\u7684\u4e2a\u4e09\u89d2\u51fd\u6570\u503c\uff0c
\u2460\u5f53k\u662f\u5076\u6570\u65f6\uff0c\u5f97\u5230\u03b1\u7684\u540c\u540d\u51fd\u6570\u503c\uff0c\u5373\u51fd\u6570\u540d\u4e0d\u6539\u53d8;
\u2461\u5f53k\u662f\u5947\u6570\u65f6\uff0c\u5f97\u5230\u03b1\u76f8\u5e94\u7684\u4f59\u51fd\u6570\u503c\uff0c\u5373sin\u2192cos;cos\u2192sin;tan\u2192cot,cot\u2192tan.
(\u5947\u53d8\u5076\u4e0d\u53d8)
\u7136\u540e\u5728\u524d\u9762\u52a0\u4e0a\u628a\u03b1\u770b\u6210\u9510\u89d2\u65f6\u539f\u51fd\u6570\u503c\u7684\u7b26\u53f7\u3002
(\u7b26\u53f7\u770b\u8c61\u9650)
\u4f8b\u5982:
sin(2\u03c0-\u03b1)=sin(4\u00b7\u03c0/2-\u03b1)\uff0ck=4\u4e3a\u5076\u6570\uff0c\u6240\u4ee5\u53d6sin\u03b1\u3002
\u5f53\u03b1\u662f\u9510\u89d2\u65f6\uff0c2\u03c0-\u03b1\u2208(270\u00b0\uff0c360\u00b0)\uff0csin(2\u03c0-\u03b1)\uff1c0\uff0c\u7b26\u53f7\u4e3a\u201c-\u201d\u3002
\u6240\u4ee5sin(2\u03c0-\u03b1)=-sin\u03b1
\u4e0a\u8ff0\u7684\u8bb0\u5fc6\u53e3\u8bc0\u662f:
\u5947\u53d8\u5076\u4e0d\u53d8\uff0c\u7b26\u53f7\u770b\u8c61\u9650\u3002
\u516c\u5f0f\u53f3\u8fb9\u7684\u7b26\u53f7\u4e3a\u628a\u03b1\u89c6\u4e3a\u9510\u89d2\u65f6\uff0c\u89d2k\u00b7360\u00b0+\u03b1(k\u2208Z)\uff0c-\u03b1\u3001180\u00b0\u00b1\u03b1\uff0c360\u00b0-\u03b1
\u6240\u5728\u8c61\u9650\u7684\u539f\u4e09\u89d2\u51fd\u6570\u503c\u7684\u7b26\u53f7\u53ef\u8bb0\u5fc6
\u6c34\u5e73\u8bf1\u5bfc\u540d\u4e0d\u53d8;\u7b26\u53f7\u770b\u8c61\u9650\u3002
\u5404\u79cd\u4e09\u89d2\u51fd\u6570\u5728\u56db\u4e2a\u8c61\u9650\u7684\u7b26\u53f7\u5982\u4f55\u5224\u65ad\uff0c\u4e5f\u53ef\u4ee5\u8bb0\u4f4f\u53e3\u8bc0\u201c\u4e00\u5168\u6b63;\u4e8c\u6b63\u5f26;\u4e09\u4e3a\u5207;\u56db\u4f59\u5f26\u201d.
\u8fd9\u5341\u4e8c\u5b57\u53e3\u8bc0\u7684\u610f\u601d\u5c31\u662f\u8bf4:
\u7b2c\u4e00\u8c61\u9650\u5185\u4efb\u4f55\u4e00\u4e2a\u89d2\u7684\u56db\u79cd\u4e09\u89d2\u51fd\u6570\u503c\u90fd\u662f\u201c+\u201d;
\u7b2c\u4e8c\u8c61\u9650\u5185\u53ea\u6709\u6b63\u5f26\u662f\u201c+\u201d\uff0c\u5176\u4f59\u5168\u90e8\u662f\u201c-\u201d;
\u7b2c\u4e09\u8c61\u9650\u5185\u5207\u51fd\u6570\u662f\u201c+\u201d\uff0c\u5f26\u51fd\u6570\u662f\u201c-\u201d;
\u7b2c\u56db\u8c61\u9650\u5185\u53ea\u6709\u4f59\u5f26\u662f\u201c+\u201d\uff0c\u5176\u4f59\u5168\u90e8\u662f\u201c-\u201d.
\u5176\u4ed6\u4e09\u89d2\u51fd\u6570\u77e5\u8bc6:
\u540c\u89d2\u4e09\u89d2\u51fd\u6570\u57fa\u672c\u5173\u7cfb
\u2488\u540c\u89d2\u4e09\u89d2\u51fd\u6570\u7684\u57fa\u672c\u5173\u7cfb\u5f0f
\u5012\u6570\u5173\u7cfb:
tan\u03b1
\u00b7cot\u03b1=1
sin\u03b1
\u00b7csc\u03b1=1
cos\u03b1
\u00b7sec\u03b1=1
\u5546\u7684\u5173\u7cfb:
sin\u03b1/cos\u03b1=tan\u03b1=sec\u03b1/csc\u03b1
cos\u03b1/sin\u03b1=cot\u03b1=csc\u03b1/sec\u03b1
\u5e73\u65b9\u5173\u7cfb:
sin^2(\u03b1)+cos^2(\u03b1)=1
1+tan^2(\u03b1)=sec^2(\u03b1)
1+cot^2(\u03b1)=csc^2(\u03b1)
\u540c\u89d2\u4e09\u89d2\u51fd\u6570\u5173\u7cfb\u516d\u89d2\u5f62\u8bb0\u5fc6\u6cd5
\u516d\u89d2\u5f62\u8bb0\u5fc6\u6cd5:(\u53c2\u770b\u56fe\u7247\u6216\u53c2\u8003\u8d44\u6599\u94fe\u63a5)
\u6784\u9020\u4ee5"\u4e0a\u5f26\u3001\u4e2d\u5207\u3001\u4e0b\u5272;\u5de6\u6b63\u3001\u53f3\u4f59\u3001\u4e2d\u95f41"\u7684\u6b63\u516d\u8fb9\u5f62\u4e3a\u6a21\u578b\u3002
(1)\u5012\u6570\u5173\u7cfb:\u5bf9\u89d2\u7ebf\u4e0a\u4e24\u4e2a\u51fd\u6570\u4e92\u4e3a\u5012\u6570;
(2)\u5546\u6570\u5173\u7cfb:\u516d\u8fb9\u5f62\u4efb\u610f\u4e00\u9876\u70b9\u4e0a\u7684\u51fd\u6570\u503c\u7b49\u4e8e\u4e0e\u5b83\u76f8\u90bb\u7684\u4e24\u4e2a\u9876\u70b9\u4e0a\u51fd\u6570\u503c\u7684\u4e58\u79ef\u3002
(\u4e3b\u8981\u662f\u4e24\u6761\u865a\u7ebf\u4e24\u7aef\u7684\u4e09\u89d2\u51fd\u6570\u503c\u7684\u4e58\u79ef)\u3002\u7531\u6b64\uff0c\u53ef\u5f97\u5546\u6570\u5173\u7cfb\u5f0f\u3002
(3)\u5e73\u65b9\u5173\u7cfb:\u5728\u5e26\u6709\u9634\u5f71\u7ebf\u7684\u4e09\u89d2\u5f62\u4e2d\uff0c\u4e0a\u9762\u4e24\u4e2a\u9876\u70b9\u4e0a\u7684\u4e09\u89d2\u51fd\u6570\u503c\u7684\u5e73\u65b9\u548c\u7b49\u4e8e\u4e0b\u9762\u9876\u70b9\u4e0a\u7684\u4e09\u89d2\u51fd\u6570\u503c\u7684\u5e73\u65b9\u3002
\u4e24\u89d2\u548c\u5dee\u516c\u5f0f
\u2489\u4e24\u89d2\u548c\u4e0e\u5dee\u7684\u4e09\u89d2\u51fd\u6570\u516c\u5f0f
sin(\u03b1+\u03b2)=sin\u03b1cos\u03b2+cos\u03b1sin\u03b2
sin(\u03b1-\u03b2)=sin\u03b1cos\u03b2-cos\u03b1sin\u03b2
cos(\u03b1+\u03b2)=cos\u03b1cos\u03b2-sin\u03b1sin\u03b2
cos(\u03b1-\u03b2)=cos\u03b1cos\u03b2+sin\u03b1sin\u03b2
tan\u03b1+tan\u03b2
tan(\u03b1+\u03b2)=------
1-tan\u03b1
\u00b7tan\u03b2
tan\u03b1-tan\u03b2
tan(\u03b1-\u03b2)=------
1+tan\u03b1
\u00b7tan\u03b2
\u500d\u89d2\u516c\u5f0f
\u248a\u4e8c\u500d\u89d2\u7684\u6b63\u5f26\u3001\u4f59\u5f26\u548c\u6b63\u5207\u516c\u5f0f(\u5347\u5e42\u7f29\u89d2\u516c\u5f0f)
sin2\u03b1=2sin\u03b1cos\u03b1
cos2\u03b1=cos^2(\u03b1)-sin^2(\u03b1)=2cos^2(\u03b1)-1=1-2sin^2(\u03b1)
2tan\u03b1
tan2\u03b1=-----
1-tan^2(\u03b1)
\u534a\u89d2\u516c\u5f0f
\u248b\u534a\u89d2\u7684\u6b63\u5f26\u3001\u4f59\u5f26\u548c\u6b63\u5207\u516c\u5f0f(\u964d\u5e42\u6269\u89d2\u516c\u5f0f)
1-cos\u03b1
sin^2(\u03b1/2)=-----
2
1+cos\u03b1
cos^2(\u03b1/2)=-----
2
1-cos\u03b1
tan^2(\u03b1/2)=-----
1+cos\u03b1
\u4e07\u80fd\u516c\u5f0f
\u248c\u4e07\u80fd\u516c\u5f0f
2tan(\u03b1/2)
sin\u03b1=------
1+tan^2(\u03b1/2)
1-tan^2(\u03b1/2)
cos\u03b1=------
1+tan^2(\u03b1/2)
2tan(\u03b1/2)
tan\u03b1=------
1-tan^2(\u03b1/2)
\u4e07\u80fd\u516c\u5f0f\u63a8\u5bfc
\u9644\u63a8\u5bfc:
sin2\u03b1=2sin\u03b1cos\u03b1=2sin\u03b1cos\u03b1/(cos^2(\u03b1)+sin^2(\u03b1))......*\uff0c
(\u56e0\u4e3acos^2(\u03b1)+sin^2(\u03b1)=1)
\u518d\u628a*\u5206\u5f0f\u4e0a\u4e0b\u540c\u9664cos^2(\u03b1)\uff0c\u53ef\u5f97sin2\u03b1=tan2\u03b1/(1+tan^2(\u03b1))
\u7136\u540e\u7528\u03b1/2\u4ee3\u66ff\u03b1\u5373\u53ef\u3002
\u540c\u7406\u53ef\u63a8\u5bfc\u4f59\u5f26\u7684\u4e07\u80fd\u516c\u5f0f\u3002\u6b63\u5207\u7684\u4e07\u80fd\u516c\u5f0f\u53ef\u901a\u8fc7\u6b63\u5f26\u6bd4\u4f59\u5f26\u5f97\u5230\u3002
\u4e09\u500d\u89d2\u516c\u5f0f
\u248d\u4e09\u500d\u89d2\u7684\u6b63\u5f26\u3001\u4f59\u5f26\u548c\u6b63\u5207\u516c\u5f0f
sin3\u03b1=3sin\u03b1-4sin^3(\u03b1)
cos3\u03b1=4cos^3(\u03b1)-3cos\u03b1
3tan\u03b1-tan^3(\u03b1)
tan3\u03b1=------
1-3tan^2(\u03b1)
\u4e09\u500d\u89d2\u516c\u5f0f\u63a8\u5bfc
\u9644\u63a8\u5bfc:
tan3\u03b1=sin3\u03b1/cos3\u03b1
=(sin2\u03b1cos\u03b1+cos2\u03b1sin\u03b1)/(cos2\u03b1cos\u03b1-sin2\u03b1sin\u03b1)
=(2sin\u03b1cos^2(\u03b1)+cos^2(\u03b1)sin\u03b1-sin^3(\u03b1))/(cos^3(\u03b1)-cos\u03b1sin^2(\u03b1)-2sin^2(\u03b1)cos\u03b1)
\u4e0a\u4e0b\u540c\u9664\u4ee5cos^3(\u03b1)\uff0c\u5f97:
tan3\u03b1=(3tan\u03b1-tan^3(\u03b1))/(1-3tan^2(\u03b1))
sin3\u03b1=sin(2\u03b1+\u03b1)=sin2\u03b1cos\u03b1+cos2\u03b1sin\u03b1
=2sin\u03b1cos^2(\u03b1)+(1-2sin^2(\u03b1))sin\u03b1
=2sin\u03b1-2sin^3(\u03b1)+sin\u03b1-2sin^2(\u03b1)
=3sin\u03b1-4sin^3(\u03b1)
cos3\u03b1=cos(2\u03b1+\u03b1)=cos2\u03b1cos\u03b1-sin2\u03b1sin\u03b1
=(2cos^2(\u03b1)-1)cos\u03b1-2cos\u03b1sin^2(\u03b1)
=2cos^3(\u03b1)-cos\u03b1+(2cos\u03b1-2cos^3(\u03b1))
=4cos^3(\u03b1)-3cos\u03b1
\u5373
sin3\u03b1=3sin\u03b1-4sin^3(\u03b1)
cos3\u03b1=4cos^3(\u03b1)-3cos\u03b1
\u4e09\u500d\u89d2\u516c\u5f0f\u8054\u60f3\u8bb0\u5fc6
\u8bb0\u5fc6\u65b9\u6cd5:\u8c10\u97f3\u3001\u8054\u60f3
\u6b63\u5f26\u4e09\u500d\u89d2:3\u5143
\u51cf
4\u51433\u89d2(\u6b20\u503a\u4e86(\u88ab\u51cf\u6210\u8d1f\u6570)\uff0c\u6240\u4ee5\u8981\u201c\u6323\u94b1\u201d(\u97f3\u4f3c\u201c\u6b63\u5f26\u201d))
\u4f59\u5f26\u4e09\u500d\u89d2:4\u51433\u89d2
\u51cf
3\u5143(\u51cf\u5b8c\u4e4b\u540e\u8fd8\u6709\u201c\u4f59\u201d)
\u2606\u2606\u6ce8\u610f\u51fd\u6570\u540d\uff0c\u5373\u6b63\u5f26\u7684\u4e09\u500d\u89d2\u90fd\u7528\u6b63\u5f26\u8868\u793a\uff0c\u4f59\u5f26\u7684\u4e09\u500d\u89d2\u90fd\u7528\u4f59\u5f26\u8868\u793a\u3002
\u548c\u5dee\u5316\u79ef\u516c\u5f0f
\u248e\u4e09\u89d2\u51fd\u6570\u7684\u548c\u5dee\u5316\u79ef\u516c\u5f0f
\u03b1+\u03b2
\u03b1-\u03b2
sin\u03b1+sin\u03b2=2sin-----\u00b7cos----
2
2
\u03b1+\u03b2
\u03b1-\u03b2
sin\u03b1-sin\u03b2=2cos-----\u00b7sin-----
2
2
\u03b1+\u03b2
\u03b1-\u03b2
cos\u03b1+cos\u03b2=2cos------\u00b7cos------
2
2
\u03b1+\u03b2
\u03b1-\u03b2
cos\u03b1-cos\u03b2=-2sin------\u00b7sin------
2
2
\u79ef\u5316\u548c\u5dee\u516c\u5f0f
\u248f\u4e09\u89d2\u51fd\u6570\u7684\u79ef\u5316\u548c\u5dee\u516c\u5f0f
sin\u03b1
\u00b7cos\u03b2=0.5[sin(\u03b1+\u03b2)+sin(\u03b1-\u03b2)]
cos\u03b1
\u00b7sin\u03b2=0.5[sin(\u03b1+\u03b2)-sin(\u03b1-\u03b2)]
cos\u03b1
\u00b7cos\u03b2=0.5[cos(\u03b1+\u03b2)+cos(\u03b1-\u03b2)]
sin\u03b1
\u00b7sin\u03b2=-
0.5[cos(\u03b1+\u03b2)-cos(\u03b1-\u03b2)]
\u548c\u5dee\u5316\u79ef\u516c\u5f0f\u63a8\u5bfc
\u9644\u63a8\u5bfc:
\u9996\u5148,\u6211\u4eec\u77e5\u9053sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb
\u6211\u4eec\u628a\u4e24\u5f0f\u76f8\u52a0\u5c31\u5f97\u5230sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb
\u6240\u4ee5,sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2
\u540c\u7406,\u82e5\u628a\u4e24\u5f0f\u76f8\u51cf,\u5c31\u5f97\u5230cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2
\u540c\u6837\u7684,\u6211\u4eec\u8fd8\u77e5\u9053cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb,cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb
\u6240\u4ee5,\u628a\u4e24\u5f0f\u76f8\u52a0,\u6211\u4eec\u5c31\u53ef\u4ee5\u5f97\u5230cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb
\u6240\u4ee5\u6211\u4eec\u5c31\u5f97\u5230,cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2
\u540c\u7406,\u4e24\u5f0f\u76f8\u51cf\u6211\u4eec\u5c31\u5f97\u5230sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2
\u8fd9\u6837,\u6211\u4eec\u5c31\u5f97\u5230\u4e86\u79ef\u5316\u548c\u5dee\u7684\u56db\u4e2a\u516c\u5f0f:
sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2
cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2
cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2
sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2
\u597d,\u6709\u4e86\u79ef\u5316\u548c\u5dee\u7684\u56db\u4e2a\u516c\u5f0f\u4ee5\u540e,\u6211\u4eec\u53ea\u9700\u4e00\u4e2a\u53d8\u5f62,\u5c31\u53ef\u4ee5\u5f97\u5230\u548c\u5dee\u5316\u79ef\u7684\u56db\u4e2a\u516c\u5f0f.
\u6211\u4eec\u628a\u4e0a\u8ff0\u56db\u4e2a\u516c\u5f0f\u4e2d\u7684a+b\u8bbe\u4e3ax,a-b\u8bbe\u4e3ay,\u90a3\u4e48a=(x+y)/2,b=(x-y)/2
\u628aa,b\u5206\u522b\u7528x,y\u8868\u793a\u5c31\u53ef\u4ee5\u5f97\u5230\u548c\u5dee\u5316\u79ef\u7684\u56db\u4e2a\u516c\u5f0f:
sinx+siny=2sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2)
sinx-siny=2cos((x+y)/2)*sin((x-y)/2)
cosx+cosy=2cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2)
cosx-cosy=-2sin((x+y)/2)*sin((x-y)/2)
\u5411\u91cf\u7684\u8fd0\u7b97
\u52a0\u6cd5\u8fd0\u7b97
AB+BC=AC\uff0c\u8fd9\u79cd\u8ba1\u7b97\u6cd5\u5219\u53eb\u505a\u5411\u91cf\u52a0\u6cd5\u7684\u4e09\u89d2\u5f62\u6cd5\u5219\u3002
\u5df2\u77e5\u4e24\u4e2a\u4ece\u540c\u4e00\u70b9O\u51fa\u53d1\u7684\u4e24\u4e2a\u5411\u91cfOA\u3001OB\uff0c\u4ee5OA\u3001OB\u4e3a\u90bb\u8fb9\u4f5c\u5e73\u884c\u56db\u8fb9\u5f62OACB\uff0c\u5219\u4ee5O\u4e3a\u8d77\u70b9\u7684\u5bf9\u89d2\u7ebfOC\u5c31\u662f\u5411\u91cfOA\u3001OB\u7684\u548c\uff0c\u8fd9\u79cd\u8ba1\u7b97\u6cd5\u5219\u53eb\u505a\u5411\u91cf\u52a0\u6cd5\u7684\u5e73\u884c\u56db\u8fb9\u5f62\u6cd5\u5219\u3002
\u5bf9\u4e8e\u96f6\u5411\u91cf\u548c\u4efb\u610f\u5411\u91cfa\uff0c\u6709:0+a=a+0=a\u3002
|a+b|\u2264|a|+|b|\u3002
\u5411\u91cf\u7684\u52a0\u6cd5\u6ee1\u8db3\u6240\u6709\u7684\u52a0\u6cd5\u8fd0\u7b97\u5b9a\u5f8b\u3002
\u51cf\u6cd5\u8fd0\u7b97
\u4e0ea\u957f\u5ea6\u76f8\u7b49\uff0c\u65b9\u5411\u76f8\u53cd\u7684\u5411\u91cf\uff0c\u53eb\u505aa\u7684\u76f8\u53cd\u5411\u91cf\uff0c-(-a)=a\uff0c\u96f6\u5411\u91cf\u7684\u76f8\u53cd\u5411\u91cf\u4ecd\u7136\u662f\u96f6\u5411\u91cf\u3002
(1)a+(-a)=(-a)+a=0(2)a-b=a+(-b)\u3002
\u6570\u4e58\u8fd0\u7b97
\u5b9e\u6570\u03bb\u4e0e\u5411\u91cfa\u7684\u79ef\u662f\u4e00\u4e2a\u5411\u91cf\uff0c\u8fd9\u79cd\u8fd0\u7b97\u53eb\u505a\u5411\u91cf\u7684\u6570\u4e58\uff0c\u8bb0\u4f5c\u03bba\uff0c|\u03bba|=|\u03bb||a|\uff0c\u5f53\u03bb
>
0\u65f6\uff0c\u03bba\u7684\u65b9\u5411\u548ca\u7684\u65b9\u5411\u76f8\u540c\uff0c\u5f53\u03bb
<
0\u65f6\uff0c\u03bba\u7684\u65b9\u5411\u548ca\u7684\u65b9\u5411\u76f8\u53cd\uff0c\u5f53\u03bb
=
0\u65f6\uff0c\u03bba
=
0\u3002
\u8bbe\u03bb\u3001\u03bc\u662f\u5b9e\u6570\uff0c\u90a3\u4e48:(1)(\u03bb\u03bc)a
=
\u03bb(\u03bca)(2)(\u03bb
+
\u03bc)a
=
\u03bba
+
\u03bca(3)\u03bb(a
\u00b1
b)
=
\u03bba
\u00b1
\u03bbb(4)(-\u03bb)a
=-(\u03bba)
=
\u03bb(-a)\u3002
\u5411\u91cf\u7684\u52a0\u6cd5\u8fd0\u7b97\u3001\u51cf\u6cd5\u8fd0\u7b97\u3001\u6570\u4e58\u8fd0\u7b97\u7edf\u79f0\u7ebf\u6027\u8fd0\u7b97\u3002
\u5411\u91cf\u7684\u6570\u91cf\u79ef
\u5df2\u77e5\u4e24\u4e2a\u975e\u96f6\u5411\u91cfa\u3001b\uff0c\u90a3\u4e48|a||b|cos
\u03b8\u53eb\u505aa\u4e0eb\u7684\u6570\u91cf\u79ef\u6216\u5185\u79ef\uff0c\u8bb0\u4f5ca•b\uff0c\u03b8\u662fa\u4e0eb\u7684\u5939\u89d2\uff0c|a|cos
\u03b8(|b|cos
\u03b8)\u53eb\u505a\u5411\u91cfa\u5728b\u65b9\u5411\u4e0a(b\u5728a\u65b9\u5411\u4e0a)\u7684\u6295\u5f71\u3002\u96f6\u5411\u91cf\u4e0e\u4efb\u610f\u5411\u91cf\u7684\u6570\u91cf\u79ef\u4e3a0\u3002
a•b\u7684\u51e0\u4f55\u610f\u4e49:\u6570\u91cf\u79efa•b\u7b49\u4e8ea\u7684\u957f\u5ea6|a|\u4e0eb\u5728a\u7684\u65b9\u5411\u4e0a\u7684\u6295\u5f71|b|cos
\u03b8\u7684\u4e58\u79ef\u3002
\u4e24\u4e2a\u5411\u91cf\u7684\u6570\u91cf\u79ef\u7b49\u4e8e\u5b83\u4eec\u5bf9\u5e94\u5750\u6807\u7684\u4e58\u79ef\u7684\u548c\u3002
\u4f60\u597d
\u540c\u89d2\u4e09\u89d2\u51fd\u6570\u7684\u57fa\u672c\u5173\u7cfb\u5f0f
\u5012\u6570\u5173\u7cfb: \u5546\u7684\u5173\u7cfb\uff1a \u5e73\u65b9\u5173\u7cfb\uff1a
tan\u03b1 •cot\u03b1\uff1d1
sin\u03b1 •csc\u03b1\uff1d1
cos\u03b1 •sec\u03b1\uff1d1 sin\u03b1/cos\u03b1\uff1dtan\u03b1\uff1dsec\u03b1/csc\u03b1
cos\u03b1/sin\u03b1\uff1dcot\u03b1\uff1dcsc\u03b1/sec\u03b1 sin2\u03b1\uff0bcos2\u03b1\uff1d1
1\uff0btan2\u03b1\uff1dsec2\u03b1
1\uff0bcot2\u03b1\uff1dcsc2\u03b1
\uff08\u516d\u8fb9\u5f62\u8bb0\u5fc6\u6cd5\uff1a\u56fe\u5f62\u7ed3\u6784\u201c\u4e0a\u5f26\u4e2d\u5207\u4e0b\u5272\uff0c\u5de6\u6b63\u53f3\u4f59\u4e2d\u95f41\u201d\uff1b\u8bb0\u5fc6\u65b9\u6cd5\u201c\u5bf9\u89d2\u7ebf\u4e0a\u4e24\u4e2a\u51fd\u6570\u7684\u79ef\u4e3a1\uff1b\u9634\u5f71\u4e09\u89d2\u5f62\u4e0a\u4e24\u9876\u70b9\u7684\u4e09\u89d2\u51fd\u6570\u503c\u7684\u5e73\u65b9\u548c\u7b49\u4e8e\u4e0b\u9876\u70b9\u7684\u4e09\u89d2\u51fd\u6570\u503c\u7684\u5e73\u65b9\uff1b\u4efb\u610f\u4e00\u9876\u70b9\u7684\u4e09\u89d2\u51fd\u6570\u503c\u7b49\u4e8e\u76f8\u90bb\u4e24\u4e2a\u9876\u70b9\u7684\u4e09\u89d2\u51fd\u6570\u503c\u7684\u4e58\u79ef\u3002\u201d\uff09
\u8bf1\u5bfc\u516c\u5f0f\uff08\u53e3\u8bc0:\u5947\u53d8\u5076\u4e0d\u53d8\uff0c\u7b26\u53f7\u770b\u8c61\u9650\u3002\uff09
sin\uff08\uff0d\u03b1\uff09\uff1d\uff0dsin\u03b1
cos\uff08\uff0d\u03b1\uff09\uff1dcos\u03b1 tan\uff08\uff0d\u03b1\uff09\uff1d\uff0dtan\u03b1
cot\uff08\uff0d\u03b1\uff09\uff1d\uff0dcot\u03b1
sin\uff08\u03c0/2\uff0d\u03b1\uff09\uff1dcos\u03b1
cos\uff08\u03c0/2\uff0d\u03b1\uff09\uff1dsin\u03b1
tan\uff08\u03c0/2\uff0d\u03b1\uff09\uff1dcot\u03b1
cot\uff08\u03c0/2\uff0d\u03b1\uff09\uff1dtan\u03b1
sin\uff08\u03c0/2\uff0b\u03b1\uff09\uff1dcos\u03b1
cos\uff08\u03c0/2\uff0b\u03b1\uff09\uff1d\uff0dsin\u03b1
tan\uff08\u03c0/2\uff0b\u03b1\uff09\uff1d\uff0dcot\u03b1
cot\uff08\u03c0/2\uff0b\u03b1\uff09\uff1d\uff0dtan\u03b1
sin\uff08\u03c0\uff0d\u03b1\uff09\uff1dsin\u03b1
cos\uff08\u03c0\uff0d\u03b1\uff09\uff1d\uff0dcos\u03b1
tan\uff08\u03c0\uff0d\u03b1\uff09\uff1d\uff0dtan\u03b1
cot\uff08\u03c0\uff0d\u03b1\uff09\uff1d\uff0dcot\u03b1
sin\uff08\u03c0\uff0b\u03b1\uff09\uff1d\uff0dsin\u03b1
cos\uff08\u03c0\uff0b\u03b1\uff09\uff1d\uff0dcos\u03b1
tan\uff08\u03c0\uff0b\u03b1\uff09\uff1dtan\u03b1
cot\uff08\u03c0\uff0b\u03b1\uff09\uff1dcot\u03b1
sin\uff083\u03c0/2\uff0d\u03b1\uff09\uff1d\uff0dcos\u03b1
cos\uff083\u03c0/2\uff0d\u03b1\uff09\uff1d\uff0dsin\u03b1
tan\uff083\u03c0/2\uff0d\u03b1\uff09\uff1dcot\u03b1
cot\uff083\u03c0/2\uff0d\u03b1\uff09\uff1dtan\u03b1
sin\uff083\u03c0/2\uff0b\u03b1\uff09\uff1d\uff0dcos\u03b1
cos\uff083\u03c0/2\uff0b\u03b1\uff09\uff1dsin\u03b1
tan\uff083\u03c0/2\uff0b\u03b1\uff09\uff1d\uff0dcot\u03b1
cot\uff083\u03c0/2\uff0b\u03b1\uff09\uff1d\uff0dtan\u03b1
sin\uff082\u03c0\uff0d\u03b1\uff09\uff1d\uff0dsin\u03b1
cos\uff082\u03c0\uff0d\u03b1\uff09\uff1dcos\u03b1
tan\uff082\u03c0\uff0d\u03b1\uff09\uff1d\uff0dtan\u03b1
cot\uff082\u03c0\uff0d\u03b1\uff09\uff1d\uff0dcot\u03b1
sin\uff082k\u03c0\uff0b\u03b1\uff09\uff1dsin\u03b1
cos\uff082k\u03c0\uff0b\u03b1\uff09\uff1dcos\u03b1
tan\uff082k\u03c0\uff0b\u03b1\uff09\uff1dtan\u03b1
cot\uff082k\u03c0\uff0b\u03b1\uff09\uff1dcot\u03b1
(\u5176\u4e2dk\u2208Z)
\u4e24\u89d2\u548c\u4e0e\u5dee\u7684\u4e09\u89d2\u51fd\u6570\u516c\u5f0f \u4e07\u80fd\u516c\u5f0f
sin\uff08\u03b1\uff0b\u03b2\uff09\uff1dsin\u03b1cos\u03b2\uff0bcos\u03b1sin\u03b2
sin\uff08\u03b1\uff0d\u03b2\uff09\uff1dsin\u03b1cos\u03b2\uff0dcos\u03b1sin\u03b2
cos\uff08\u03b1\uff0b\u03b2\uff09\uff1dcos\u03b1cos\u03b2\uff0dsin\u03b1sin\u03b2
cos\uff08\u03b1\uff0d\u03b2\uff09\uff1dcos\u03b1cos\u03b2\uff0bsin\u03b1sin\u03b2
tan\u03b1\uff0btan\u03b2
tan\uff08\u03b1\uff0b\u03b2\uff09\uff1d\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014
1\uff0dtan\u03b1 •tan\u03b2
tan\u03b1\uff0dtan\u03b2
tan\uff08\u03b1\uff0d\u03b2\uff09\uff1d\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014
1\uff0btan\u03b1 •tan\u03b2
2tan(\u03b1/2)
sin\u03b1\uff1d\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014
1\uff0btan2(\u03b1/2)
1\uff0dtan2(\u03b1/2)
cos\u03b1\uff1d\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014
1\uff0btan2(\u03b1/2)
2tan(\u03b1/2)
tan\u03b1\uff1d\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014
1\uff0dtan2(\u03b1/2)
\u534a\u89d2\u7684\u6b63\u5f26\u3001\u4f59\u5f26\u548c\u6b63\u5207\u516c\u5f0f \u4e09\u89d2\u51fd\u6570\u7684\u964d\u5e42\u516c\u5f0f
\u4e8c\u500d\u89d2\u7684\u6b63\u5f26\u3001\u4f59\u5f26\u548c\u6b63\u5207\u516c\u5f0f \u4e09\u500d\u89d2\u7684\u6b63\u5f26\u3001\u4f59\u5f26\u548c\u6b63\u5207\u516c\u5f0f
sin2\u03b1\uff1d2sin\u03b1cos\u03b1
cos2\u03b1\uff1dcos2\u03b1\uff0dsin2\u03b1\uff1d2cos2\u03b1\uff0d1\uff1d1\uff0d2sin2\u03b1
2tan\u03b1
tan2\u03b1\uff1d\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014
1\uff0dtan2\u03b1
sin3\u03b1\uff1d3sin\u03b1\uff0d4sin3\u03b1
cos3\u03b1\uff1d4cos3\u03b1\uff0d3cos\u03b1
3tan\u03b1\uff0dtan3\u03b1
tan3\u03b1\uff1d\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014
1\uff0d3tan2\u03b1
\u4e09\u89d2\u51fd\u6570\u7684\u548c\u5dee\u5316\u79ef\u516c\u5f0f \u4e09\u89d2\u51fd\u6570\u7684\u79ef\u5316\u548c\u5dee\u516c\u5f0f
\u03b1\uff0b\u03b2 \u03b1\uff0d\u03b2
sin\u03b1\uff0bsin\u03b2\uff1d2sin\u2014\u2014\u2014•cos\u2014\u2014\u2014
2 2
\u03b1\uff0b\u03b2 \u03b1\uff0d\u03b2
sin\u03b1\uff0dsin\u03b2\uff1d2cos\u2014\u2014\u2014•sin\u2014\u2014\u2014
2 2
\u03b1\uff0b\u03b2 \u03b1\uff0d\u03b2
cos\u03b1\uff0bcos\u03b2\uff1d2cos\u2014\u2014\u2014•cos\u2014\u2014\u2014
2 2
\u03b1\uff0b\u03b2 \u03b1\uff0d\u03b2
cos\u03b1\uff0dcos\u03b2\uff1d\uff0d2sin\u2014\u2014\u2014•sin\u2014\u2014\u2014
2 2 1
sin\u03b1 •cos\u03b2\uff1d-[sin\uff08\u03b1\uff0b\u03b2\uff09\uff0bsin\uff08\u03b1\uff0d\u03b2\uff09]
2
1
cos\u03b1 •sin\u03b2\uff1d-[sin\uff08\u03b1\uff0b\u03b2\uff09\uff0dsin\uff08\u03b1\uff0d\u03b2\uff09]
2
1
cos\u03b1 •cos\u03b2\uff1d-[cos\uff08\u03b1\uff0b\u03b2\uff09\uff0bcos\uff08\u03b1\uff0d\u03b2\uff09]
2
1
sin\u03b1 •sin\u03b2\uff1d\u2014 -[cos\uff08\u03b1\uff0b\u03b2\uff09\uff0dcos\uff08\u03b1\uff0d\u03b2\uff09]
2
\u5316asin\u03b1 \u00b1bcos\u03b1\u4e3a\u4e00\u4e2a\u89d2\u7684\u4e00\u4e2a\u4e09\u89d2\u51fd\u6570\u7684\u5f62\u5f0f\uff08\u8f85\u52a9\u89d2\u7684\u4e09\u89d2\u51fd\u6570\u7684\u516c\u5f0f
\u96c6\u5408\u3001\u51fd\u6570
\u96c6\u5408 \u7b80\u5355\u903b\u8f91
\u4efb\u4e00x\u2208A x\u2208B\uff0c\u8bb0\u4f5cA B
A B\uff0cB A A\uff1dB
A B\uff1d{x|x\u2208A\uff0c\u4e14x\u2208B}
A B\uff1d{x|x\u2208A\uff0c\u6216x\u2208B}
card\uff08A B\uff09\uff1dcard\uff08A\uff09+card\uff08B\uff09\uff0dcard\uff08A B\uff09
\uff081\uff09\u547d\u9898
\u539f\u547d\u9898 \u82e5p\u5219q
\u9006\u547d\u9898 \u82e5q\u5219p
\u5426\u547d\u9898 \u82e5 p\u5219 q
\u9006\u5426\u547d\u9898 \u82e5 q\uff0c\u5219 p
\uff082\uff09\u56db\u79cd\u547d\u9898\u7684\u5173\u7cfb
\uff083\uff09A B\uff0cA\u662fB\u6210\u7acb\u7684\u5145\u5206\u6761\u4ef6
B A\uff0cA\u662fB\u6210\u7acb\u7684\u5fc5\u8981\u6761\u4ef6
A B\uff0cA\u662fB\u6210\u7acb\u7684\u5145\u8981\u6761\u4ef6
\u51fd\u6570\u7684\u6027\u8d28 \u6307\u6570\u548c\u5bf9\u6570
\uff081\uff09\u5b9a\u4e49\u57df\u3001\u503c\u57df\u3001\u5bf9\u5e94\u6cd5\u5219
\uff082\uff09\u5355\u8c03\u6027
\u5bf9\u4e8e\u4efb\u610fx1\uff0cx2\u2208D
\u82e5x1\uff1cx2 f\uff08x1\uff09\uff1cf\uff08x2\uff09\uff0c\u79f0f\uff08x\uff09\u5728D\u4e0a\u662f\u589e\u51fd\u6570
\u82e5x1\uff1cx2 f\uff08x1\uff09\uff1ef\uff08x2\uff09\uff0c\u79f0f\uff08x\uff09\u5728D\u4e0a\u662f\u51cf\u51fd\u6570
\uff083\uff09\u5947\u5076\u6027
\u5bf9\u4e8e\u51fd\u6570f\uff08x\uff09\u7684\u5b9a\u4e49\u57df\u5185\u7684\u4efb\u4e00x\uff0c\u82e5f\uff08\uff0dx\uff09\uff1df\uff08x\uff09\uff0c\u79f0f\uff08x\uff09\u662f\u5076\u51fd\u6570
\u82e5f\uff08\uff0dx\uff09\uff1d\uff0df\uff08x\uff09\uff0c\u79f0f\uff08x\uff09\u662f\u5947\u51fd\u6570
\uff084\uff09\u5468\u671f\u6027
\u5bf9\u4e8e\u51fd\u6570f\uff08x\uff09\u7684\u5b9a\u4e49\u57df\u5185\u7684\u4efb\u4e00x\uff0c\u82e5\u5b58\u5728\u5e38\u6570T\uff0c\u4f7f\u5f97f\uff08x+T\uff09\uff1df(x)\uff0c\u5219\u79f0f\uff08x\uff09\u662f\u5468\u671f\u51fd\u6570 \uff081\uff09\u5206\u6570\u6307\u6570\u5e42
\u6b63\u5206\u6570\u6307\u6570\u5e42\u7684\u610f\u4e49\u662f
\u8d1f\u5206\u6570\u6307\u6570\u5e42\u7684\u610f\u4e49\u662f
\uff082\uff09\u5bf9\u6570\u7684\u6027\u8d28\u548c\u8fd0\u7b97\u6cd5\u5219
loga\uff08MN\uff09\uff1dlogaM+logaN
logaMn\uff1dnlogaM\uff08n\u2208R\uff09
\u6307\u6570\u51fd\u6570 \u5bf9\u6570\u51fd\u6570
\uff081\uff09y\uff1dax\uff08a\uff1e0\uff0ca\u22601\uff09\u53eb\u6307\u6570\u51fd\u6570
\uff082\uff09x\u2208R\uff0cy\uff1e0
\u56fe\u8c61\u7ecf\u8fc7\uff080\uff0c1\uff09
a\uff1e1\u65f6\uff0cx\uff1e0\uff0cy\uff1e1\uff1bx\uff1c0\uff0c0\uff1cy\uff1c1
0\uff1ca\uff1c1\u65f6\uff0cx\uff1e0\uff0c0\uff1cy\uff1c1\uff1bx\uff1c0\uff0cy\uff1e1
a\uff1e 1\u65f6\uff0cy\uff1dax\u662f\u589e\u51fd\u6570
0\uff1ca\uff1c1\u65f6\uff0cy\uff1dax\u662f\u51cf\u51fd\u6570 \uff081\uff09y\uff1dlogax\uff08a\uff1e0\uff0ca\u22601\uff09\u53eb\u5bf9\u6570\u51fd\u6570
\uff082\uff09x\uff1e0\uff0cy\u2208R
\u56fe\u8c61\u7ecf\u8fc7\uff081\uff0c0\uff09
a\uff1e1\u65f6\uff0cx\uff1e1\uff0cy\uff1e0\uff1b0\uff1cx\uff1c1\uff0cy\uff1c0
0\uff1ca\uff1c1\u65f6\uff0cx\uff1e1\uff0cy\uff1c0\uff1b0\uff1cx\uff1c1\uff0cy\uff1e0
a\uff1e1\u65f6\uff0cy\uff1dlogax\u662f\u589e\u51fd\u6570
0\uff1ca\uff1c1\u65f6\uff0cy\uff1dlogax\u662f\u51cf\u51fd\u6570
\u6307\u6570\u65b9\u7a0b\u548c\u5bf9\u6570\u65b9\u7a0b
\u57fa\u672c\u578b
logaf(x)\uff1db f\uff08x\uff09\uff1dab\uff08a\uff1e0\uff0ca\u22601\uff09
\u540c\u5e95\u578b
logaf\uff08x\uff09\uff1dlogag\uff08x\uff09 f\uff08x\uff09\uff1dg\uff08x\uff09\uff1e0\uff08a\uff1e0\uff0ca\u22601\uff09
\u6362\u5143\u578b f\uff08ax\uff09\uff1d0\u6216f (logax)\uff1d0
\u6570\u5217
\u6570\u5217\u7684\u57fa\u672c\u6982\u5ff5 \u7b49\u5dee\u6570\u5217
\uff081\uff09\u6570\u5217\u7684\u901a\u9879\u516c\u5f0fan\uff1df\uff08n\uff09
\uff082\uff09\u6570\u5217\u7684\u9012\u63a8\u516c\u5f0f
\uff083\uff09\u6570\u5217\u7684\u901a\u9879\u516c\u5f0f\u4e0e\u524dn\u9879\u548c\u7684\u5173\u7cfb
an+1\uff0dan\uff1dd
an\uff1da1+\uff08n\uff0d1\uff09d
a\uff0cA\uff0cb\u6210\u7b49\u5dee 2A\uff1da+b
m+n\uff1dk+l am+an\uff1dak+al
\u7b49\u6bd4\u6570\u5217 \u5e38\u7528\u6c42\u548c\u516c\u5f0f
an\uff1da1qn\uff3f1
a\uff0cG\uff0cb\u6210\u7b49\u6bd4 G2\uff1dab
m+n\uff1dk+l aman\uff1dakal
\u4e0d\u7b49\u5f0f
\u4e0d\u7b49\u5f0f\u7684\u57fa\u672c\u6027\u8d28 \u91cd\u8981\u4e0d\u7b49\u5f0f
a\uff1eb b\uff1ca
a\uff1eb\uff0cb\uff1ec a\uff1ec
a\uff1eb a+c\uff1eb+c
a+b\uff1ec a\uff1ec\uff0db
a\uff1eb\uff0cc\uff1ed a+c\uff1eb+d
a\uff1eb\uff0cc\uff1e0 ac\uff1ebc
a\uff1eb\uff0cc\uff1c0 ac\uff1cbc
a\uff1eb\uff1e0\uff0cc\uff1ed\uff1e0 ac\uff1cbd
a\uff1eb\uff1e0 dn\uff1ebn\uff08n\u2208Z\uff0cn\uff1e1\uff09
a\uff1eb\uff1e0 \uff1e \uff08n\u2208Z\uff0cn\uff1e1\uff09
\uff08a\uff0db\uff092\u22650
a\uff0cb\u2208R a2+b2\u22652ab
|a|\uff0d|b|\u2264|a\u00b1b|\u2264|a|+|b|
\u8bc1\u660e\u4e0d\u7b49\u5f0f\u7684\u57fa\u672c\u65b9\u6cd5
\u6bd4\u8f83\u6cd5
\uff081\uff09\u8981\u8bc1\u660e\u4e0d\u7b49\u5f0fa\uff1eb\uff08\u6216a\uff1cb\uff09\uff0c\u53ea\u9700\u8bc1\u660e
a\uff0db\uff1e0\uff08\u6216a\uff0db\uff1c0\uff1d\u5373\u53ef
\uff082\uff09\u82e5b\uff1e0\uff0c\u8981\u8bc1a\uff1eb\uff0c\u53ea\u9700\u8bc1\u660e \uff0c
\u8981\u8bc1a\uff1cb\uff0c\u53ea\u9700\u8bc1\u660e
\u7efc\u5408\u6cd5 \u7efc\u5408\u6cd5\u5c31\u662f\u4ece\u5df2\u77e5\u6216\u5df2\u8bc1\u660e\u8fc7\u7684\u4e0d\u7b49\u5f0f\u51fa\u53d1\uff0c\u6839\u636e\u4e0d\u7b49\u5f0f\u7684\u6027\u8d28\u63a8\u5bfc\u51fa\u6b32\u8bc1\u7684\u4e0d\u7b49\u5f0f\uff08\u7531\u56e0\u5bfc\u679c\uff09\u7684\u65b9\u6cd5\u3002
\u5206\u6790\u6cd5 \u5206\u6790\u6cd5\u662f\u4ece\u5bfb\u6c42\u7ed3\u8bba\u6210\u7acb\u7684\u5145\u5206\u6761\u4ef6\u5165\u624b\uff0c\u9010\u6b65\u5bfb\u6c42\u6240\u9700\u6761\u4ef6\u6210\u7acb\u7684\u5145\u5206\u6761\u4ef6\uff0c\u76f4\u81f3\u6240\u9700\u7684\u6761\u4ef6\u5df2\u77e5\u6b63\u786e\u65f6\u4e3a\u6b62\uff0c\u660e\u663e\u5730\u8868\u73b0\u51fa\u201c\u6301\u679c\u7d22\u56e0\u201d
\u590d\u6570
\u4ee3\u6570\u5f62\u5f0f \u4e09\u89d2\u5f62\u5f0f
a+bi\uff1dc+di a\uff1dc\uff0cb\uff1dd
\uff08a+bi\uff09+\uff08c+di\uff09\uff1d\uff08a+c\uff09+\uff08b+d\uff09i
\uff08a+bi\uff09\uff0d\uff08c+di\uff09\uff1d\uff08a\uff0dc\uff09+\uff08b\uff0dd\uff09i
\uff08a+bi\uff09\uff08c+di \uff09\uff1d\uff08ac\uff0dbd\uff09+\uff08bc+ad\uff09i
a+bi\uff1dr\uff08cos\u03b8+isin\u03b8\uff09
r1\uff1d\uff08cos\u03b81+isin\u03b81\uff09•r2\uff08cos\u03b82+isin\u03b82\uff09
\uff1dr1•r2\u3014cos\uff08\u03b81+\u03b82\uff09+isin\uff08\u03b81+\u03b82\uff09\u3015
\u3014r\uff08cos\u03b8+sin\u03b8\uff09\u3015n\uff1drn\uff08cosn\u03b8+isinn\u03b8\uff09
k\uff1d0\uff0c1\uff0c\u2026\u2026\uff0cn\uff0d1
\u89e3\u6790\u51e0\u4f55
1\u3001\u76f4\u7ebf
\u4e24\u70b9\u8ddd\u79bb\u3001\u5b9a\u6bd4\u5206\u70b9 \u76f4\u7ebf\u65b9\u7a0b
|AB|\uff1d| |
|P1P2|\uff1d
y\uff0dy1\uff1dk(x\uff0dx1)
y\uff1dkx\uff0bb
\u4e24\u76f4\u7ebf\u7684\u4f4d\u7f6e\u5173\u7cfb \u5939\u89d2\u548c\u8ddd\u79bb
\u6216k1\uff1dk2\uff0c\u4e14b1\u2260b2
l1\u4e0el2\u91cd\u5408
\u6216k1\uff1dk2\u4e14b1\uff1db2
l1\u4e0el2\u76f8\u4ea4
\u6216k1\u2260k2
l2\u22a5l2
\u6216k1k2\uff1d\uff0d1 l1\u5230l2\u7684\u89d2
l1\u4e0el2\u7684\u5939\u89d2
\u70b9\u5230\u76f4\u7ebf\u7684\u8ddd\u79bb
2.\u5706\u9525\u66f2\u7ebf
\u5706 \u692d \u5706
\u6807\u51c6\u65b9\u7a0b(x\uff0da)2\uff0b(y\uff0db)2\uff1dr2
\u5706\u5fc3\u4e3a(a\uff0cb)\uff0c\u534a\u5f84\u4e3aR
\u4e00\u822c\u65b9\u7a0bx2\uff0by2\uff0bDx\uff0bEy\uff0bF\uff1d0
\u5176\u4e2d\u5706\u5fc3\u4e3a( ),
\u534a\u5f84r
(1)\u7528\u5706\u5fc3\u5230\u76f4\u7ebf\u7684\u8ddd\u79bbd\u548c\u5706\u7684\u534a\u5f84r\u5224\u65ad\u6216\u7528\u5224\u522b\u5f0f\u5224\u65ad\u76f4\u7ebf\u4e0e\u5706\u7684\u4f4d\u7f6e\u5173\u7cfb
(2)\u4e24\u5706\u7684\u4f4d\u7f6e\u5173\u7cfb\u7528\u5706\u5fc3\u8dddd\u4e0e\u534a\u5f84\u548c\u4e0e\u5dee\u5224\u65ad \u692d\u5706
\u7126\u70b9F1(\uff0dc\uff0c0)\uff0cF2(c\uff0c0)
(b2\uff1da2\uff0dc2)
\u79bb\u5fc3\u7387
\u51c6\u7ebf\u65b9\u7a0b
\u7126\u534a\u5f84|MF1|\uff1da\uff0bex0\uff0c|MF2|\uff1da\uff0dex0
\u53cc\u66f2\u7ebf \u629b\u7269\u7ebf
\u53cc\u66f2\u7ebf
\u7126\u70b9F1(\uff0dc\uff0c0)\uff0cF2(c\uff0c0)
(a\uff0cb\uff1e0\uff0cb2\uff1dc2\uff0da2)
\u79bb\u5fc3\u7387
\u51c6\u7ebf\u65b9\u7a0b
\u7126\u534a\u5f84|MF1|\uff1dex0\uff0ba\uff0c|MF2|\uff1dex0\uff0da \u629b\u7269\u7ebfy2\uff1d2px(p>0)
\u7126\u70b9F
\u51c6\u7ebf\u65b9\u7a0b
\u5750\u6807\u8f74\u7684\u5e73\u79fb
\u8fd9\u91cc(h\uff0ck)\u662f\u65b0\u5750\u6807\u7cfb\u7684\u539f\u70b9\u5728\u539f\u5750\u6807\u7cfb\u4e2d\u7684\u5750\u6807\u3002
1\uff0e\u96c6\u5408\u5143\u7d20\u5177\u6709\u2460\u786e\u5b9a\u6027\u2461\u4e92\u5f02\u6027\u2462\u65e0\u5e8f\u6027
2\uff0e\u96c6\u5408\u8868\u793a\u65b9\u6cd5\u2460\u5217\u4e3e\u6cd5 \u2461\u63cf\u8ff0\u6cd5
\u2462\u97e6\u6069\u56fe \u2463\u6570\u8f74\u6cd5
3\uff0e\u96c6\u5408\u7684\u8fd0\u7b97
\u2474 A\u2229(B\u222aC)=(A\u2229B)\u222a(A\u2229C)
\u2475 Cu(A\u2229B)=CuA\u222aCuB
Cu(A\u222aB)=CuA\u2229CuB
4\uff0e\u96c6\u5408\u7684\u6027\u8d28
\u2474n\u5143\u96c6\u5408\u7684\u5b50\u96c6\u6570\uff1a2n
\u771f\u5b50\u96c6\u6570\uff1a2n-1\uff1b\u975e\u7a7a\u771f\u5b50\u96c6\u6570\uff1a2n-2
\u9ad8\u4e2d\u6570\u5b66\u6982\u5ff5\u603b\u7ed3
\u4e00\u3001 \u51fd\u6570
1\u3001 \u82e5\u96c6\u5408A\u4e2d\u6709n \u4e2a\u5143\u7d20\uff0c\u5219\u96c6\u5408A\u7684\u6240\u6709\u4e0d\u540c\u7684\u5b50\u96c6\u4e2a\u6570\u4e3a \uff0c\u6240\u6709\u975e\u7a7a\u771f\u5b50\u96c6\u7684\u4e2a\u6570\u662f \u3002
\u4e8c\u6b21\u51fd\u6570 \u7684\u56fe\u8c61\u7684\u5bf9\u79f0\u8f74\u65b9\u7a0b\u662f \uff0c\u9876\u70b9\u5750\u6807\u662f \u3002\u7528\u5f85\u5b9a\u7cfb\u6570\u6cd5\u6c42\u4e8c\u6b21\u51fd\u6570\u7684\u89e3\u6790\u5f0f\u65f6\uff0c\u89e3\u6790\u5f0f\u7684\u8bbe\u6cd5\u6709\u4e09\u79cd\u5f62\u5f0f\uff0c\u5373 \uff0c \u548c \uff08\u9876\u70b9\u5f0f\uff09\u3002
2\u3001 \u5e42\u51fd\u6570 \uff0c\u5f53n\u4e3a\u6b63\u5947\u6570\uff0cm\u4e3a\u6b63\u5076\u6570\uff0cm<n\u65f6\uff0c\u5176\u5927\u81f4\u56fe\u8c61\u662f
3\u3001 \u51fd\u6570 \u7684\u5927\u81f4\u56fe\u8c61\u662f
\u7531\u56fe\u8c61\u77e5\uff0c\u51fd\u6570\u7684\u503c\u57df\u662f \uff0c\u5355\u8c03\u9012\u589e\u533a\u95f4\u662f \uff0c\u5355\u8c03\u9012\u51cf\u533a\u95f4\u662f \u3002
\u4e8c\u3001 \u4e09\u89d2\u51fd\u6570
1\u3001 \u4ee5\u89d2 \u7684\u9876\u70b9\u4e3a\u5750\u6807\u539f\u70b9\uff0c\u59cb\u8fb9\u4e3ax\u8f74\u6b63\u534a\u8f74\u5efa\u7acb\u76f4\u89d2\u5750\u6807\u7cfb\uff0c\u5728\u89d2 \u7684\u7ec8\u8fb9\u4e0a\u4efb\u53d6\u4e00\u4e2a\u5f02\u4e8e\u539f\u70b9\u7684\u70b9 \uff0c\u70b9P\u5230\u539f\u70b9\u7684\u8ddd\u79bb\u8bb0\u4e3a \uff0c\u5219sin = \uff0ccos = \uff0ctg = \uff0cctg = \uff0csec = \uff0ccsc = \u3002
2\u3001\u540c\u89d2\u4e09\u89d2\u51fd\u6570\u7684\u5173\u7cfb\u4e2d\uff0c\u5e73\u65b9\u5173\u7cfb\u662f\uff1a \uff0c \uff0c \uff1b
\u5012\u6570\u5173\u7cfb\u662f\uff1a \uff0c \uff0c \uff1b
\u76f8\u9664\u5173\u7cfb\u662f\uff1a \uff0c \u3002
3\u3001\u8bf1\u5bfc\u516c\u5f0f\u53ef\u7528\u5341\u4e2a\u5b57\u6982\u62ec\u4e3a\uff1a\u5947\u53d8\u5076\u4e0d\u53d8\uff0c\u7b26\u53f7\u770b\u8c61\u9650\u3002\u5982\uff1a \uff0c = \uff0c \u3002
4\u3001 \u51fd\u6570 \u7684\u6700\u5927\u503c\u662f \uff0c\u6700\u5c0f\u503c\u662f \uff0c\u5468\u671f\u662f \uff0c\u9891\u7387\u662f \uff0c\u76f8\u4f4d\u662f \uff0c\u521d\u76f8\u662f \uff1b\u5176\u56fe\u8c61\u7684\u5bf9\u79f0\u8f74\u662f\u76f4\u7ebf \uff0c\u51e1\u662f\u8be5\u56fe\u8c61\u4e0e\u76f4\u7ebf \u7684\u4ea4\u70b9\u90fd\u662f\u8be5\u56fe\u8c61\u7684\u5bf9\u79f0\u4e2d\u5fc3\u3002
5\u3001 \u4e09\u89d2\u51fd\u6570\u7684\u5355\u8c03\u533a\u95f4\uff1a
\u7684\u9012\u589e\u533a\u95f4\u662f \uff0c\u9012\u51cf\u533a\u95f4\u662f \uff1b \u7684\u9012\u589e\u533a\u95f4\u662f \uff0c\u9012\u51cf\u533a\u95f4\u662f \uff0c \u7684\u9012\u589e\u533a\u95f4\u662f \uff0c \u7684\u9012\u51cf\u533a\u95f4\u662f \u3002
6\u3001
7\u3001\u4e8c\u500d\u89d2\u516c\u5f0f\u662f\uff1asin2 =
cos2 = = =
tg2 = \u3002
8\u3001\u4e09\u500d\u89d2\u516c\u5f0f\u662f\uff1asin3 = cos3 =
9\u3001\u534a\u89d2\u516c\u5f0f\u662f\uff1asin = cos =
tg = = = \u3002
10\u3001\u5347\u5e42\u516c\u5f0f\u662f\uff1a \u3002
11\u3001\u964d\u5e42\u516c\u5f0f\u662f\uff1a \u3002
12\u3001\u4e07\u80fd\u516c\u5f0f\uff1asin = cos = tg =
13\u3001sin( )sin( )= \uff0c
cos( )cos( )= = \u3002
14\u3001 = \uff1b
= \uff1b
= \u3002
15\u3001 = \u3002
16\u3001sin180= \u3002
17\u3001\u7279\u6b8a\u89d2\u7684\u4e09\u89d2\u51fd\u6570\u503c\uff1a
0
sin 0 1 0
cos 1 0 0
tg 0 1 \u4e0d\u5b58\u5728 0 \u4e0d\u5b58\u5728
ctg \u4e0d\u5b58\u5728 1 0 \u4e0d\u5b58\u5728 0
18\u3001\u6b63\u5f26\u5b9a\u7406\u662f\uff08\u5176\u4e2dR\u8868\u793a\u4e09\u89d2\u5f62\u7684\u5916\u63a5\u5706\u534a\u5f84\uff09\uff1a
19\u3001\u7531\u4f59\u5f26\u5b9a\u7406\u7b2c\u4e00\u5f62\u5f0f\uff0c =
\u7531\u4f59\u5f26\u5b9a\u7406\u7b2c\u4e8c\u5f62\u5f0f\uff0ccosB=
20\u3001\u25b3ABC\u7684\u9762\u79ef\u7528S\u8868\u793a\uff0c\u5916\u63a5\u5706\u534a\u5f84\u7528R\u8868\u793a\uff0c\u5185\u5207\u5706\u534a\u5f84\u7528r\u8868\u793a\uff0c\u534a\u5468\u957f\u7528p\u8868\u793a\u5219\uff1a
\u2460 \uff1b\u2461 \uff1b
\u2462 \uff1b\u2463 \uff1b
\u2464 \uff1b\u2465
21\u3001\u4e09\u89d2\u5b66\u4e2d\u7684\u5c04\u5f71\u5b9a\u7406\uff1a\u5728\u25b3ABC \u4e2d\uff0c \uff0c\u2026
22\u3001\u5728\u25b3ABC \u4e2d\uff0c \uff0c\u2026
23\u3001\u5728\u25b3ABC \u4e2d\uff1a
24\u3001\u79ef\u5316\u548c\u5dee\u516c\u5f0f\uff1a
\u2460 \uff0c
\u2461 \uff0c
\u2462 \uff0c
\u2463 \u3002
25\u3001\u548c\u5dee\u5316\u79ef\u516c\u5f0f\uff1a
\u2460 \uff0c
\u2461 \uff0c
\u2462 \uff0c
\u2463 \u3002
\u4e09\u3001 \u53cd\u4e09\u89d2\u51fd\u6570
1\u3001 \u7684\u5b9a\u4e49\u57df\u662f[-1\uff0c1]\uff0c\u503c\u57df\u662f \uff0c\u5947\u51fd\u6570\uff0c\u589e\u51fd\u6570\uff1b
\u7684\u5b9a\u4e49\u57df\u662f[-1\uff0c1]\uff0c\u503c\u57df\u662f \uff0c\u975e\u5947\u975e\u5076\uff0c\u51cf\u51fd\u6570\uff1b
\u7684\u5b9a\u4e49\u57df\u662fR\uff0c\u503c\u57df\u662f \uff0c\u5947\u51fd\u6570\uff0c\u589e\u51fd\u6570\uff1b
\u7684\u5b9a\u4e49\u57df\u662fR\uff0c\u503c\u57df\u662f \uff0c\u975e\u5947\u975e\u5076\uff0c\u51cf\u51fd\u6570\u3002
2\u3001\u5f53 \uff1b
\u5bf9\u4efb\u610f\u7684 \uff0c\u6709\uff1a
\u5f53 \u3002
3\u3001\u6700\u7b80\u4e09\u89d2\u65b9\u7a0b\u7684\u89e3\u96c6\uff1a
设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等：
sin（2kπ＋α）＝sinα
cos（2kπ＋α）＝cosα
tan（2kπ＋α）＝tanα
cot（2kπ＋α）＝cotα
公式二：
设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：
sin（π＋α）＝－sinα
cos（π＋α）＝－cosα
tan（π＋α）＝tanα
cot（π＋α）＝cotα
公式三：
任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：
sin（－α）＝－sinα
cos（－α）＝cosα
tan（－α）＝－tanα
cot（－α）＝－cotα
公式四：
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：
sin（π－α）＝sinα
cos（π－α）＝－cosα
tan（π－α）＝－tanα
cot（π－α）＝－cotα
公式五：
利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：
sin（2π－α）＝－sinα
cos（2π－α）＝cosα
tan（2π－α）＝－tanα
cot（2π－α）＝－cotα
公式六：
π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：
sin（π/2＋α）＝cosα
cos（π/2＋α）＝－sinα
tan（π/2＋α）＝－cotα
cot（π/2＋α）＝－tanα
sin（π/2－α）＝cosα
cos（π/2－α）＝sinα
tan（π/2－α）＝cotα
cot（π/2－α）＝tanα
sin（3π/2＋α）＝－cosα
cos（3π/2＋α）＝sinα
tan（3π/2＋α）＝－cotα
cot（3π/2＋α）＝－tanα
sin（3π/2－α）＝－cosα
cos（3π/2－α）＝－sinα
tan（3π/2－α）＝cotα
cot（3π/2－α）＝tanα
(以上k∈Z)
诱导公式记忆口诀
※规律总结※
上面这些诱导公式可以概括为：
对于k·π/2±α(k∈Z)的个三角函数值,
①当k是偶数时,得到α的同名函数值,即函数名不改变；
②当k是奇数时,得到α相应的余函数值,即sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan.
（奇变偶不变）
然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号.
（符号看象限）
例如：
sin(2π－α)＝sin(4·π/2－α),k＝4为偶数,所以取sinα.
当α是锐角时,2π－α∈(270°,360°),sin(2π－α)＜0,符号为“－”.
所以sin(2π－α)＝－sinα
上述的记忆口诀是：
奇变偶不变,符号看象限.
公式右边的符号为把α视为锐角时,角k·360°+α（k∈Z）,-α、180°±α,360°-α
所在象限的原三角函数值的符号可记忆
水平诱导名不变；符号看象限.
各种三角函数在四个象限的符号如何判断,也可以记住口诀“一全正；二正弦；三为切；四余弦”．
这十二字口诀的意思就是说：
第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“＋”；
第二象限内只有正弦是“＋”,其余全部是“－”；
第三象限内切函数是“＋”,弦函数是“－”；
第四象限内只有余弦是“＋”,其余全部是“－”．
其他三角函数知识：
同角三角函数基本关系
⒈同角三角函数的基本关系式
倒数关系:
tanα ·cotα＝1
sinα ·cscα＝1
cosα ·secα＝1
商的关系：
sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα
cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα
平方关系：
sin^2(α)＋cos^2(α)＝1
1＋tan^2(α)＝sec^2(α)
1＋cot^2(α)＝csc^2(α)
同角三角函数关系六角形记忆法
六角形记忆法：（参看图片或参考资料链接）
构造以"上弦、中切、下割；左正、右余、中间1"的正六边形为模型.
（1）倒数关系：对角线上两个函数互为倒数；
（2）商数关系：六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积.
（主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积）.由此,可得商数关系式.
（3）平方关系：在带有阴影线的三角形中,上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方.
两角和差公式
⒉两角和与差的三角函数公式
sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ
sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ
cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ
cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ
tanα＋tanβ
tan（α＋β）＝——————
1－tanα ·tanβ
tanα－tanβ
tan（α－β）＝——————
1＋tanα ·tanβ
倍角公式
⒊二倍角的正弦、余弦和正切公式（升幂缩角公式）
sin2α＝2sinαcosα
cos2α＝cos^2(α)－sin^2(α)＝2cos^2(α)－1＝1－2sin^2(α)
2tanα
tan2α＝—————
1－tan^2(α)
半角公式
⒋半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式）
1－cosα
sin^2(α/2)＝—————
2
1＋cosα
cos^2(α/2)＝—————
2
1－cosα
tan^2(α/2)＝—————
1＋cosα
万能公式
⒌万能公式
2tan(α/2)
sinα＝——————
1＋tan^2(α/2)
1－tan^2(α/2)
cosα＝——————
1＋tan^2(α/2)
2tan(α/2)
tanα＝——————
1－tan^2(α/2)
万能公式推导
附推导：
sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα/(cos^2(α)+sin^2(α)).*,
（因为cos^2(α)+sin^2(α)=1）
再把*分式上下同除cos^2(α),可得sin2α＝tan2α/(1＋tan^2(α))
然后用α/2代替α即可.
同理可推导余弦的万能公式.正切的万能公式可通过正弦比余弦得到.
三倍角公式
⒍三倍角的正弦、余弦和正切公式
sin3α＝3sinα－4sin^3(α)
cos3α＝4cos^3(α)－3cosα
3tanα－tan^3(α)
tan3α＝——————
1－3tan^2(α)
三倍角公式推导
附推导：
tan3α＝sin3α/cos3α
＝(sin2αcosα＋cos2αsinα)/(cos2αcosα-sin2αsinα)
＝(2sinαcos^2(α)＋cos^2(α)sinα－sin^3(α))/(cos^3(α)－cosαsin^2(α)－2sin^2(α)cosα)
上下同除以cos^3(α),得：
tan3α＝(3tanα－tan^3(α))/(1-3tan^2(α))
sin3α＝sin(2α＋α)＝sin2αcosα＋cos2αsinα
＝2sinαcos^2(α)＋(1－2sin^2(α))sinα
＝2sinα－2sin^3(α)＋sinα－2sin^2(α)
＝3sinα－4sin^3(α)
cos3α＝cos(2α＋α)＝cos2αcosα－sin2αsinα
＝(2cos^2(α)－1)cosα－2cosαsin^2(α)
＝2cos^3(α)－cosα＋(2cosα－2cos^3(α))
＝4cos^3(α)－3cosα
即
sin3α＝3sinα－4sin^3(α)
cos3α＝4cos^3(α)－3cosα
三倍角公式联想记忆
记忆方法：谐音、联想
正弦三倍角：3元 减 4元3角（欠债了(被减成负数),所以要“挣钱”(音似“正弦”)）
余弦三倍角：4元3角 减 3元（减完之后还有“余”）
☆☆注意函数名,即正弦的三倍角都用正弦表示,余弦的三倍角都用余弦表示.
和差化积公式
⒎三角函数的和差化积公式
α＋β α－β
sinα＋sinβ＝2sin—----·cos—---
2 2
α＋β α－β
sinα－sinβ＝2cos—----·sin—----
2 2
α＋β α－β
cosα＋cosβ＝2cos—-----·cos—-----
2 2
α＋β α－β
cosα－cosβ＝－2sin—-----·sin—-----
2 2
积化和差公式
⒏三角函数的积化和差公式
sinα ·cosβ＝0.5[sin（α＋β）＋sin（α－β）]
cosα ·sinβ＝0.5[sin（α＋β）－sin（α－β）]
cosα ·cosβ＝0.5[cos（α＋β）＋cos（α－β）]
sinα ·sinβ＝－ 0.5[cos（α＋β）－cos（α－β）]
和差化积公式推导
附推导：
首先,我们知道sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb
我们把两式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb
所以,sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2
同理,若把两式相减,就得到cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2
同样的,我们还知道cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb,cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb
所以,把两式相加,我们就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb
所以我们就得到,cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2
同理,两式相减我们就得到sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2
这样,我们就得到了积化和差的四个公式:
sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2
cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2
cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2
sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2
好,有了积化和差的四个公式以后,我们只需一个变形,就可以得到和差化积的四个公式.
我们把上述四个公式中的a+b设为x,a-b设为y,那么a=(x+y)/2,b=(x-y)/2
把a,b分别用x,y表示就可以得到和差化积的四个公式:
sinx+siny=2sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2)
sinx-siny=2cos((x+y)/2)*sin((x-y)/2)
cosx+cosy=2cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2)
cosx-cosy=-2sin((x+y)/2)*sin((x-y)/2)
向量的运算
加法运算
AB＋BC＝AC,这种计算法则叫做向量加法的三角形法则.
已知两个从同一点O出发的两个向量OA、OB,以OA、OB为邻边作平行四边形OACB,则以O为起点的对角线OC就是向量OA、OB的和,这种计算法则叫做向量加法的平行四边形法则.
对于零向量和任意向量a,有：0＋a＝a＋0＝a.
|a＋b|≤|a|＋|b|.
向量的加法满足所有的加法运算定律.
减法运算
与a长度相等,方向相反的向量,叫做a的相反向量,－(－a)＝a,零向量的相反向量仍然是零向量.
（1）a＋(－a)＝(－a)＋a＝0（2）a－b＝a＋(－b).
数乘运算
实数λ与向量a的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作λa,|λa|＝|λ||a|,当λ > 0时,λa的方向和a的方向相同,当λ < 0时,λa的方向和a的方向相反,当λ = 0时,λa = 0.
设λ、μ是实数,那么：（1）(λμ)a = λ(μa)（2）(λ + μ)a = λa + μa（3）λ(a ± b) = λa ± λb（4）(－λ)a =－(λa) = λ(－a).
公式一：
设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：
sin（2kπ＋α）＝sinα
cos（2kπ＋α）＝cosα
tan（2kπ＋α）＝tanα
cot（2kπ＋α）＝cotα
公式二：
设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：
sin（π＋α）＝－sinα
cos（π＋α）＝－cosα
tan（π＋α）＝tanα
cot（π＋α）＝cotα
公式三：
任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：
sin（－α）＝－sinα
cos（－α）＝cosα
tan（－α）＝－tanα
cot（－α）＝－cotα
公式四：
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：
sin（π－α）＝sinα
cos（π－α）＝－cosα
tan（π－α）＝－tanα
cot（π－α）＝－cotα
公式五：
利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：
sin（2π－α）＝－sinα
cos（2π－α）＝cosα
tan（2π－α）＝－tanα
cot（2π－α）＝－cotα
公式六：
π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：
sin（π/2＋α）＝cosα
cos（π/2＋α）＝－sinα
tan（π/2＋α）＝－cotα
cot（π/2＋α）＝－tanα
sin（π/2－α）＝cosα
cos（π/2－α）＝sinα
tan（π/2－α）＝cotα
cot（π/2－α）＝tanα
sin（3π/2＋α）＝－cosα
cos（3π/2＋α）＝sinα
tan（3π/2＋α）＝－cotα
cot（3π/2＋α）＝－tanα
sin（3π/2－α）＝－cosα
cos（3π/2－α）＝－sinα
tan（3π/2－α）＝cotα
cot（3π/2－α）＝tanα
(以上k∈Z)
诱导公式记忆口诀
※规律总结※
上面这些诱导公式可以概括为：
对于k·π/2±α(k∈Z)的个三角函数值，
①当k是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变；
②当k是奇数时，得到α相应的余函数值，即sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan.
（奇变偶不变）
然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。
（符号看象限）
例如：
sin(2π－α)＝sin(4·π/2－α)，k＝4为偶数，所以取sinα。
当α是锐角时，2π－α∈(270°，360°)，sin(2π－α)＜0，符号为“－”。
所以sin(2π－α)＝－sinα
上述的记忆口诀是：
奇变偶不变，符号看象限。
公式右边的符号为把α视为锐角时，角k·360°+α（k∈Z），-α、180°±α，360°-α
所在象限的原三角函数值的符号可记忆
水平诱导名不变；符号看象限。
各种三角函数在四个象限的符号如何判断，也可以记住口诀“一全正；二正弦；三为切；四余弦”．
这十二字口诀的意思就是说：
第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“＋”；
第二象限内只有正弦是“＋”，其余全部是“－”；
第三象限内切函数是“＋”，弦函数是“－”；
第四象限内只有余弦是“＋”，其余全部是“－”．
其他三角函数知识：
同角三角函数基本关系
⒈同角三角函数的基本关系式
倒数关系:
tanα ·cotα＝1
sinα ·cscα＝1
cosα ·secα＝1
商的关系：
sinα /cosα＝tanα＝secα/cscα
cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα
平方关系：
sin^2(α)＋cos^2(α)＝1
1＋tan^2(α)＝sec^2(α)
1＋cot^2(α)＝csc^2(α)
同角三角函数关系六角形记忆法
六角形记忆法：（参看图片或参考资料链接）
构造以"上弦、中切、下割；左正、右余、中间1"的正六边形为模型。
（1）倒数关系：对角线上两个函数互为倒数；
（2）商数关系：六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积。
（主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积）。由此，可得商数关系式。
（3）平方关系：在带有阴影线的三角形中，上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方。
两角和差公式
⒉两角和与差的三角函数公式
sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ
sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ
cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ
cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ
http://wenku.baidu.com/view/b4f0934d2b160b4e767fcfaa.html?re=view
这个文件不错的.
永远记住公式遗忘了才算真正懂得了
可以随时推导证明出来的公式才算真正理解了，而不是记住与否
绛旓細鍒嗗瓙鏍瑰彿涓嬬殑1锛屽氨鏄痵in²40掳+cos²40掳锛屾墍浠ヨ繖鏄(sin40掳-cos40掳)²锛屽畠寮鏂圭粨鏋滄槸锛歝os40掳-sin40掳銆傚垎姣嶄腑鏍瑰彿涓嬶紝灏辨槸sin²140掳锛屽畠寮鏂瑰悗鏄痵in140掳锛屼篃鏄痵in40掳銆傛墍浠ュ垎姣嶅彉涓猴細cos40掳-sin40掳銆傚洜姝わ紝姝ゅ紡鍖栫畝缁撴灉鏄1.
绛旓細锛1锛夌敱|ka+b|=鏍瑰彿3|a-kb|骞虫柟寰楀埌锛歬^2a^2+2kab+b^2=3(a^2-2kab+k^2b^2),鐢盿銆乥鏄袱涓崟浣嶅悜閲忓緱锛宎^2=1,b^2=1,浠ｅ叆涓婂紡寰楀埌锛歬^2+2kab+1=3(1-2kab+k^2)锛屽嵆8kab=2+2k^2, 鍗砤b=(2+2k^2)/8k锛屽洜涓簁>0锛屾墍浠(2+2k^2)/8k>0,鎵浠b涓嶇瓑浜庨浂锛屽嵆瀹冧滑涓...
绛旓細灏忔槑浠庡鍒板鏍★紝鍑哄彂鏃剁湅鐪嬭〃锛屽彂鐜板鏋滄瘡鍒嗛挓姝ヨ80绫筹紝浠栧皢杩熷埌5鍒嗛挓锛屽鏋滃厛姝ヨ10鍒嗛挓鍚庯紝鍐嶆敼鎴愰獞杞︽瘡鍒嗛挓琛200绫筹紝浠栧氨鍙互鎻愬墠1鍒嗛挓鍒版牎銆傞棶灏忔槑浠庡鍑哄彂鏃剁涓婂鏃堕棿鏈夊灏戝垎閽燂紵瑙ｏ細鑷杞﹀拰姝ヨ璺▼姣=閫熷害姣=200锛80=5锛2 閭ｄ箞鐩稿悓鏃堕棿鍐呰嚜琛岃溅姣旀琛屽璧200脳1+80脳5=600绫 姝ヨ璺濈...
绛旓細绗竴绔 涓夎鍑芥暟 1.1 浠绘剰瑙掓蹇靛拰寮у害鍒 1.1.1 浠绘剰瑙 1.1.2 寮у害鍒 1.2 浠绘剰瑙掔殑涓夎鍑芥暟 1.2.1 浠绘剰瑙掔殑涓夎鍑芥暟 1.2.2 鍚岃涓夎鍑芥暟鐨勫熀鏈叧绯诲紡 1.3 涓夎鍑芥暟鐨勮瀵煎叕寮 1.4 涓夎鍑芥暟鐨勫浘璞′笌鎬ц川 1.4.1 姝ｅ鸡鍑芥暟銆佷綑寮﹀嚱鏁扮殑鍥捐薄 1.4.2 姝ｅ鸡鍑芥暟銆佷綑寮﹀嚱鏁扮殑鎬ц川 1.4.3...
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绛旓細鍑犱綍涓庝笁瑙掑妯″潡锛氫富瑕佸涔犮浜烘暀鐗堥珮涓暟瀛﹀繀淇洓銆嬨傝閮ㄥ垎涓昏鍖呮嫭绌洪棿鍚戦噺銆佺珛浣撳嚑浣曚互鍙婂钩闈㈣В鏋愬嚑浣曠瓑鍐呭銆傝繖浜涢兘鏄腑瀛﹂樁娈垫瘮杈冩繁鍏ョ殑鍐呭锛岄渶瑕佽緝寮虹殑閫昏緫鎬濈淮鍜岀┖闂存兂璞¤兘鍔涖傚涔犺繖浜涘唴瀹癸紝鏈夊姪浜庡鐢熷绌洪棿鍑犱綍鐨勭悊瑙ｄ粠鐩磋璧板悜鎶借薄锛岀悊瑙ｅ嚑浣曞鍦ㄥ疄闄呭簲鐢ㄤ腑鐨勯噸瑕佹с傞櫎浜嗕笂杩板繀淇唴瀹瑰锛岄珮浜屽鐢...
绛旓細- sin胃 + 2cos胃 =0 sin胃 = 2cos胃 tan胃 =2 锛2锛塻in胃cos胃 + sin²胃-2cos²胃 浣跨敤闄嶅箓鍏紡 = 锛1/2)sin2胃 + (1-cos2胃)/2 -(1+cos2胃)= 锛1/2)sin2胃 - 锛3/2)cos2胃 - 1/2 浣跨敤涓囪兘鍏紡寰 = 4/5 2. 宸茬煡 0掳锛溛革紲180掳 鍙 1...
绛旓細(1) y = 鈭2 + sinx/蟺, x涓哄疄鏁; (2) y = 3 - 2cosx, x涓哄疄鏁.15. 宸茬煡0鈮鈮2蟺, 姹傞傚悎涓嬪垪鏉′欢鐨勮x鐨勯泦鍚:(1) y = sinx鍜寉 = cosx閮芥槸澧炲嚱鏁;(2) y = sinx鍜寉 = cosx閮芥槸鍑忓嚱鏁;(3) y = sinx鏄鍑芥暟, 鑰寉 = cosx鏄噺鍑芥暟;(4) y = sinx鏄噺鍑...
绛旓細鍥
