比内-柯西(Binet-Cauchy)公式的证明与应用

探索比内-柯西公式：理论与实际的交汇点

小希在知乎上首次分享了这个数学瑰宝——比内-柯西公式，它以简洁的形式揭示了矩阵乘积的秘密。公式表述为：

形式之美
|AB| = Σ(s阶子式A×B)，其中s≤n

这个看似复杂的公式，实则将不规则矩阵乘积的计算简化为规则矩阵的和，展现了数学的优雅与力量。

证明的艺术

当矩阵乘积的阶数s大于矩阵的阶数n时，|AB|的值为零，因为非满秩性决定了其行列式的值为零。而当s≤n，通过精心的分块初等行变换，我们可以一步步证明其有效性。

经典应用

在行列式估计中，比内-柯西公式的应用无比广泛，如Hadamard不等式，它不仅用于确定矩阵的上界，其证明过程还牵涉到Cauchy-Bunyakovsky公式，展示了数学的相互渗透。

通过子矩阵的视角，行列式的不等式得以揭示，取等条件是子空间的正交补性，这个性质同样适用于行矩阵，展示了比内-柯西公式的普适性。

哈达玛的致敬 - 在连续使用中，哈达玛不等式中的等号成立条件，令人惊奇地与列向量的正交性相契合。

最后，总结来说，比内-柯西公式为我们提供了一把钥匙，通过正定对称矩阵来精确估计行列式，这是数学世界里一次深刻的洞察。