高数 求数列极限 高数，求数列极限

\u9ad8\u7b49\u6570\u5b66\u4e2d\u6570\u5217\u6781\u9650\u7684\u6c42\u6cd5

\u5206\u5b50\u5206\u6bcd\u90fd\u9664\u4ee5n\uff0c\u76f4\u63a5\u5f97\u7b54\u68483/2\u3002sinn^2/n\u548ccosn^2/n\u7684\u6781\u9650\u4e3a0,\u56e0\u4e3a\u6709\u754c\u91cf\u4e58\u4ee5\u65e0\u7a77\u5c0f\u7684\u6781\u9650\u4e3a0\uff0c\u4e66\u4e0a\u7684\u57fa\u672c\u5b9a\u7406\uff0c\u8bb2\u4e24\u4e2a\u91cd\u8981\u6781\u9650\u548c\u65e0\u7a77\u5c0f\u7684\u65f6\u5019\u8bb2\u7684\u3002

\u4ee5\u4e0a\uff0c\u8bf7\u91c7\u7eb3\u3002

L = lim(n->∞) [ (2n)!/(n!.n^n) ]^[1/(n+1)]
lnL
=lim(n->∞) [1/(n+1) ] { ∑(i:1->n) ln[(n+i)/n ] }
=lim(n->∞) [1/(n+1) ] { ∑(i:1->n) ln[(1 + i/n) }
=∫(0->1) ln(1+x) dx
=[ xln(1+x) ]|(0->1) -∫(0->1) x/(1+x) dx
=ln2 - ∫(0->1) [1- 1/(1+x)] dx
=ln2 - [ x- ln|1+x| ]|(0->1)
=ln2- ( 1- ln2)
=2ln2 -1
L = e^(2ln2-1)= 4e^(-1)
lim(n->∞) [ (2n)!/(n!.n^n) ]^[1/(n+1)] = 4e^(-1)

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