《计算机图形学基础》之变换矩阵
缩放变换 是最基本的变换，可以改变向量的长度和方向。
错切 变换，在一个轴向上根据另一个轴上的值以一定比例移动，看图很容易明白。沿 轴和沿 轴上的错切矩阵分别如下：
沿 轴的错切也可以理解是沿 轴顺时针旋转 （与 轴的夹角）：
旋转变换 ，证明过程 略 ，逆时针旋转 的矩阵为：
可以看到旋转矩阵是 正交矩阵 ，并且有两对正交向量，一对是第一行和第二行向量；一对是第一列和第二列向量。每一行会被带给标准基向量（ ），标准基向量会被带给每一列。简单来说就是，对标准基向量进行一个 旋转变换，就会变成 的列向量，看下图的 点，变换后为 ，就是 的第二列（因为 相当于是 ，所以是第二列）；对 的每一行做 的旋转变换，结果就是标准基向量，看下面的 ，变换后为 。
反射变换 是一种使用负数的缩放变换，下面分别是关于 轴的反射变换矩阵，和关于 轴的反射变换矩阵：
有人会认为矩阵的左上角和右下角都为 时，也是一种反射变换（关于原点的反射），但实际上那只是 的旋转变换而已。
我们经常需要对一个图案进行多种变换，这些变换可以通过将他们的变换矩阵连乘进行 合并 ，比如需要先对 进行 变换得到 ，然后再对 进行 变换得到 ，那么有以下转换：
有时候我们也需要将一个组合的变换进行 分解 ，所有的 2D 矩阵都可以通过 奇异值分解（SVD） 成为旋转、缩放、旋转的形式。下图是把一个错切变换进行 SVD 的过程：
我们可以把 当做是一次旋转，把 当成是一次缩放，那么其实就是一个组合变换，请结合下面的文字看图：
我们可以发现对于 对称矩阵 来说，变换的表现就是沿着一对基向量进行非均匀缩放，这一对基向量依然是正交的，跟标准基向量没什么不同，只是整体方向不一样。而这一对基向量正是 对称矩阵 的特征向量。
看一个例子：
对于非对称矩阵，我们可以使用 奇异值分解（SVD） ，对此有疑问的可以看 这里 。他与特征值分解基本一样，不同的是左右旋转矩阵不再是同一个，而是分为两个，特征值分解的结果是 ，而奇异值分解 写成 ，这里的 依然是一个正交矩阵，列是 左奇异向量 ， 也是一个正交向量，列是 右奇异向量 ， S 依然是对角矩阵，对角线上是奇异值。
还有一种旋转的分解叫做 Paeth 分解 ，这是将旋转分解成 错切 的方式，最大的好处就是不会在图像中出现间隙，下面是分解公式：
顺着笛卡尔坐标系的 缩放 矩阵为：
如何将一个点绕着 3D 中任意轴进行旋转呢？假设该点为 ，旋转轴为 （这里的 是起点为原点的向量，所以不涉及平移），那么如果能构建一组以 为 轴的基向量，并把 转换到该空间，进行旋转，再转回来就可以了。
第一步 ：构建以 为 的一组正交基
首先我们将 进行归一化得到 ：
第二步 ：构建空间转换矩阵
假设我们有一组基向量， ，还有一个点 ，将 按行来摆好，写成 我们可以提前知道 在上述基向量中的坐标应该为 ，正是 的结果。下面是书上的证明过程，有兴趣的可以看一下，没兴趣就记着我们可以用任意的一组正交基，把 三个分量摆第一行，把 三个分量摆第二行，把 三个分量摆第三行，总而构建出转换到该空间下的转换矩阵。并且再次乘其转置，就可以再次变回来。
上面所说的变换都是方向或者点，还有一种特殊的向量叫做 法线 ，如果图形应用的变换矩阵我们称为 ，那么 经过 变换之后不再垂于表面，但切线 依然与表面相切。期望求出一个矩阵 ，使得 ，其中 。
以上所有的变换都是 线性变换 （原点不变，且直线变换后依然是直线）,而 平移 变换并不满足。我们把一个线性变换 + 一次平移的操作叫做 仿射变换 ，通过增加一个维度的方式来实现，叫做 齐次坐标 。
我们把一个 2D 中的点 写成 ，把 的矩阵写成：
变换中一个比较重要的类叫做 刚体 ，他们只有旋转和平移组成，没有拉伸或者缩放。
我们知道了矩阵的几何意义之后，可以通过几何意义来进行逆操作，比如 的逆就是 ；比如旋转矩阵的逆就是角度变成相反的符号；平移矩阵的逆就是相反的方向。如果我们有一系列的变换 ，那么逆操作就是 。
不过，有些矩阵在代数上也是很好求的，比如说对于缩放矩阵，他是对角矩阵；第二重要的是旋转矩阵，他是正交矩阵，逆就是它的转置。所以使得求旋转和缸体的逆操作都变得简单。当然我们也需要知道，求完逆之后，原矩阵最下面一行不要动，比如是 的话，那逆的最下面一行也是 。
有趣的是，我们也可以使用奇异值分解来求逆，我们知道可以将一个矩阵分解成旋转——缩放——旋转的方式：
通常我们会在场景中有一个全局坐标系（世界坐标系），图中的 ，图中有另外一个坐标系 ，还有一个点 。
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