如何求两个随机变量联合分布的期望与方差?
好的,我来帮你解析一下这道题。这道题是关于随机变量的联合概率分布的。题目给出了两个随机变量 X 和 Y 的概率分布表。
第一步:求 P(X = 0, Y = 0)
根据题目给出的概率分布表,P(X = 0) = 1/2,P(Y = 0) = 1/4。因此,P(X = 0, Y = 0) = P(X = 0) * P(Y = 0) = (1/2) * (1/4) = 1/8。
第二步:求 P(X = 0, Y = -1)
根据题目给出的概率分布表,P(X = 0) = 1/2,P(Y = -1) = 1/8。因此,P(X = 0, Y = -1) = P(X = 0) * P(Y = -1) = (1/2) * (1/8) = 1/16。
第三步:求 P(XY = 0)
根据题目给出的概率分布表,P(X = 0, Y = 0) = 1/8,P(X = 1, Y = -1) = 1/8。因此,P(XY = 0) = P(X = 0, Y = 0) + P(X = 1, Y = -1) = (1/8) + (1/8) = 1/4。
第四步:求 P(X 和 Y 独立)
根据题目的定义,X 和 Y 独立,当且仅当 P(X = x, Y = y) = P(X = x) * P(Y = y) 成立,对所有 x 和 y。
根据题目给出的概率分布表,P(X = 0, Y = 0) = P(X = 0) * P(Y = 0)。因此,X 和 Y 独立的充分必要条件是 P(X = 0, Y = -1) = P(X = 0) * P(Y = -1)。
根据题目给出的概率分布表,P(X = 0, Y = -1) = 1/16,P(X = 0) * P(Y = -1) = (1/2) * (1/8) = 1/16。因此,X 和 Y 是独立的。
详细过程如下:
**第一步:求 P(X = 0, Y = 0)**
P(X = 0, Y = 0) = P(X = 0) * P(Y = 0)
= (1/2) * (1/4)
= 1/8
**第二步:求 P(X = 0, Y = -1)**
P(X = 0, Y = -1) = P(X = 0) * P(Y = -1)
= (1/2) * (1/8)
= 1/16
**第三步:求 P(XY = 0)**
P(XY = 0) = P(X = 0, Y = 0) + P(X = 1, Y = -1)
= (1/8) + (1/8)
= 1/4
**第四步:求 P(X 和 Y 独立)**
P(X = 0, Y = -1) = P(X = 0) * P(Y = -1)
= (1/2) * (1/8)
= 1/16
因此,X 和 Y 是独立的。
希望我的解析能够帮助你理解这道题。
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