高数 等价无穷小求证明过程 高数。等价无穷小求过程

\u9ad8\u7b49\u6570\u5b66\u7b49\u4ef7\u65e0\u7a77\u5c0f\u66ff\u6362\u8bc1\u660e\uff0c\u8c01\u80fd\u7ed9\u6211\u8bc1\u660e\u4e00\u4e0b\uff08\u8981\u8fc7\u7a0b\uff09\uff1f

\u6d1b\u5fc5\u8fbe\u6cd5\u5219\uff0c[ln(1+x)]'=1/(x+1) [e^x-1]'=e^x \u5206\u6bcd\u5bfc\u6570\u90fd\u662f1\uff0c\u90a3\u4e0d\u5c31\u5206\u522b\u53d8\u6210\u4e861/(1+x)\u548ce^x\u5f53x\u21920\u65f6\u7684\u6781\u9650\u3002
lim(x->0) ( 1- cosx) /(x^2/2)
=lim(x->0) 2( 1- cosx) / x^2 (0/0 \u5206\u5b50\u5206\u6bcd\u5206\u522b\u6c42\u5bfc)
=lim(x->0) 2sinx/(2x)
=1
1- cosx ~ x^2/2
\u65e0\u7a77\u5c0f\u7684\u6027\u8d28\uff1a
1\u3001\u6709\u9650\u4e2a\u65e0\u7a77\u5c0f\u91cf\u4e4b\u548c\u4ecd\u662f\u65e0\u7a77\u5c0f\u91cf\u3002
2\u3001\u6709\u9650\u4e2a\u65e0\u7a77\u5c0f\u91cf\u4e4b\u79ef\u4ecd\u662f\u65e0\u7a77\u5c0f\u91cf\u3002
3\u3001\u6709\u754c\u51fd\u6570\u4e0e\u65e0\u7a77\u5c0f\u91cf\u4e4b\u79ef\u4e3a\u65e0\u7a77\u5c0f\u91cf\u3002
4\u3001\u7279\u522b\u5730\uff0c\u5e38\u6570\u548c\u65e0\u7a77\u5c0f\u91cf\u7684\u4e58\u79ef\u4e5f\u4e3a\u65e0\u7a77\u5c0f\u91cf\u3002
5\u3001\u6052\u4e0d\u4e3a\u96f6\u7684\u65e0\u7a77\u5c0f\u91cf\u7684\u5012\u6570\u4e3a\u65e0\u7a77\u5927\uff0c\u65e0\u7a77\u5927\u7684\u5012\u6570\u4e3a\u65e0\u7a77\u5c0f\u3002

\u8fd9\u91cc\u53ea\u662f\u4f7f\u7528\u4e86\u4e24\u4e2a\u7b49\u4ef7\u65e0\u7a77\u5c0f\u7684\u7ed3\u8bba\u800c\u5df2\uff0c\u9898\u76ee\u4e0d\u8981\u6c42\u4f60\u8bc1\u660e\u4e3a\u4ec0\u4e48\u6709\u8fd9\u79cd\u7b49\u4ef7\u5173\u7cfb\uff0c\u77e5\u9053\u5e76\u4f1a\u7528\u5c31\u53ef\u4ee5\u4e86\u3002
\u5373\uff1a\u5f53x->0\u65f6
(1+x)^a-1~ax
1-cosx~x^2/2
\u6ce8\u610f\u7b2c\u4e00\u6b65\u662f\u628ax^2\u5f53\u505a\u6574\u4f53\u6765\u5904\u7406\u7684\uff0c\u4e5f\u5c31\u662f(1+x^2)^(1/3)-1~x^2/3.
\u4f60\u9898\u76ee\u91cc\u5199\u6210\u201c=\u201d\u7684\u5173\u7cfb\u662f\u4e0d\u5bf9\u7684\uff0c\u5de6\u53f3\u4e24\u90e8\u5206\u5e76\u4e0d\u76f8\u7b49\uff0c\u53ea\u662f\u5f53x->0\u65f6\uff0c\u4ed6\u4eec\u6bd4\u503c\u7684\u6781\u9650\u662f1\u3002\u8fd9\u4e00\u70b9\u5bf9\u4e8e\u7406\u89e3\u7b49\u4ef7\u65e0\u7a77\u5c0f\u662f\u975e\u5e38\u91cd\u8981\u7684\u3002

\u53e6\u5916\uff0c\u4e0b\u9762\u662f\u4e00\u4e9b\u5e38\u7528\u7684\u7b49\u4ef7\u65e0\u7a77\u5c0f\u5173\u7cfb\uff1a
\u5f53x\u21920\u65f6\uff0c
\u3000\u3000sinx~x
\u3000\u3000tanx~x
\u3000\u3000arcsinx~x
\u3000\u3000arctanx~x
\u3000\u30001-cosx~(1/2)*\uff08x^2\uff09~ secx-1
\u3000\u3000\uff08a^x\uff09-1~x*lna (\uff08a^x-1)/x~lna)
\u3000\u3000\uff08e^x\uff09-1~x
\u3000\u3000ln(1+x)~x
\u3000\u3000(1+Bx)^a-1~aBx
\u3000\u3000[(1+x)^1/n]-1~\uff081/n\uff09*x
\u3000\u3000loga(1+x)~x/lna

lim(x->0) ( 1- cosx) /(x^2/2)
=lim(x->0) 2( 1- cosx) / x^2 (0/0 分子分母分别求导)
=lim(x->0) 2sinx/(2x)
=1
=>
1- cosx ~ x^2/2

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