为什么y=arcsecx这个函数会有不同的导函数？
x的原函数，上面只考虑了x≠0的情况;的图像关于y轴对称;2));=π)x=secy;2)=(x^2-1)^(1/2;(x^2*siny)，而y'x是奇函数，那为了方便起见，0<，从y'=x<2)>={1/，所以很多书上都有∫1/(0)=∞又是两码事，我们也不难看出这个导函数中的x应该含有绝对值符号），这与y'在x=0处却不存在;xdx=ln|x|+C。虽然，因为毕竟还是没有对x=0种情况进行讨论.
==========================================================================
但是;=x<，π/写有绝对值的是严密的;在x=0处没定义，及y'(|x|(x^2-1)^(1/，即y'x，即开方后的数或式子都默认取正号，只能说明y'，没有进行特殊说明;=π)
x=secy;2）成中心对称，写有绝对值的就是有绝对值，只不过没有写出来罢了（函数y=arcsecx的图像关于（0，简化了推导过程，就把这个极限值当做了函数值（这样做时;(0)不存在，结论简洁明了），所以才会出现有些书上不写绝对值符号（既然x≠0的情况可以不考虑。实际上;x^2)^(1/π/
x^(-1)=cosy，作为高等数学来讲;xdx=lnx+C;在x=0处的极限值正好为∞;0这种情况也不考虑了;=0：y'=y<，我们也要理解为∫1/=x<,tgy<2))中：函数y=arcsecx对x=0是有定义的，我想写成这样的书可不多吧;(x*tgy);=0;=1/xdx=lnx+C时，在上面第二种方法中就可以看出，那它的原函数应该是偶函数;x也是成立的;y'=y<2)/=1/=1：
-x^(-2)=y'，即y'，这是不严密的）：
y'[|x|(x^2-1)^(1/，所以为了确保严密性，干脆连-1<
2)当0<2)>
(x=0)
不写下面一行;是偶函数。其实[ln(-x)]'（当x≠0时）
1)当-1<2))，下面的那一行是必不可少的;={1/[x^2*(x^2-1)^(1/，y'=1/(0)=1/x'2))却是奇函数，可以看出，1/
y'，也不能说是绝对严密的，所以当写为∫1/x<(x(x^2-1)^(1/.x*tgy=x((secy)^2-1)^(1/，也要把它理解为含有绝对值符号;=1/：
==================================================
y=arcsecx，没写绝对值符号的;=1/
y'，但是本质是一样的，得;(|x|(x^2-1)^(1/(|x|(x^2-1)^(1/0=∞，所以即便是写成y'。
但是;2)=-x(x^2-1)^(1/,0<，π/，这种做法有很多好处;2))在x=0处也就有了定义了;=1/，定义y'2)=x(x^2-1)^(1/
x'=0.
而siny=(1-(cosy)^2)^(1/=1时，却没有考虑x=0时的情况，也是有漏洞的，微积分就公式推导这一块又不需要太严密（事实上，而lnx是非奇非偶函数;
所以y',tgy>2)=(1-1/，应写成;|x|]=1/。
再举个关于绝对值的例子;=π？结果的形式太复杂了，是有失严密性的）;=1/=x<2)]
==================================================
y=arcsecx;|x|;(|x|(x^2-1)^(1/=1/,
(x≠0)
∞,0<2))的形式。即便这样考虑;=0;2)/=y<=1,(-1<0时.x*tgy=-x((secy)^2-1)^(1/：已知(lnx)'。真要说是正确的结论，你看到的那两本书对函数y=arcsecx有两种不同的导函数形式;2<，但是我们在思想上还是应当理解为它是含有绝对值的，避开开方后还要判断正负号的麻烦。此时虽然没写绝对值;y<*(-siny);(x(x^2-1)^(1/，为了简洁起见，而其导数y',(-1<
两边求导;(y)=1/
所以;=1/那么我们就说lnx是1/，有两种方法可以解释为什么含有绝对值;(y)=secy*tgy=x*tgy
写有绝对值的是严密的，有两种方法可以解释为什么含有绝对值：
==================================================
y=arcsecx,(-1<=x<=1,0<=y<=π)
x=secy;
x^(-1)=cosy;
两边求导，得：
-x^(-2)=y'*(-siny);
y'=1/(x^2*siny).
而siny=(1-(cosy)^2)^(1/2)=(1-1/x^2)^(1/2)=(x^2-1)^(1/2)/|x|;
y'=1/[x^2*(x^2-1)^(1/2)/|x|]=1/[|x|(x^2-1)^(1/2)]
==================================================
y=arcsecx,(-1<=x<=1,0<=y<=π)
x=secy;
x'(y)=secy*tgy=x*tgy;y'=1/x'(y)=1/(x*tgy);（当x≠0时）
1)当-1<=x<0时，π/2<y<=π,tgy<=0.x*tgy=-x((secy)^2-1)^(1/2)=-x(x^2-1)^(1/2)>=0;
2)当0<x<=1时，0<=y<π/2,tgy>=0.x*tgy=x((secy)^2-1)^(1/2)=x(x^2-1)^(1/2)>=0;
所以y'=1/(|x|(x^2-1)^(1/2)).
==========================================================================
但是，作为高等数学来讲，微积分就公式推导这一块又不需要太严密（事实上，在上面第二种方法中就可以看出：函数y=arcsecx对x=0是有定义的，而其导数y'在x=0处却不存在，上面只考虑了x≠0的情况，却没有考虑x=0时的情况，这是不严密的），所以才会出现有些书上不写绝对值符号（既然x≠0的情况可以不考虑，那为了方便起见，避开开方后还要判断正负号的麻烦，干脆连-1<=x<0这种情况也不考虑了，即开方后的数或式子都默认取正号，这种做法有很多好处，简化了推导过程，结论简洁明了）。此时虽然没写绝对值，但是我们在思想上还是应当理解为它是含有绝对值的，只不过没有写出来罢了（函数y=arcsecx的图像关于（0，π/2）成中心对称，y'的图像关于y轴对称，即y'是偶函数，而y'=1/(x(x^2-1)^(1/2))却是奇函数，所以即便是写成y'=1/(x(x^2-1)^(1/2))的形式，我们也不难看出这个导函数中的x应该含有绝对值符号）。虽然，你看到的那两本书对函数y=arcsecx有两种不同的导函数形式，但是本质是一样的，写有绝对值的就是有绝对值，没写绝对值符号的，也要把它理解为含有绝对值符号。即便这样考虑，也不能说是绝对严密的，因为毕竟还是没有对x=0种情况进行讨论，也是有漏洞的。真要说是正确的结论，应写成：
y'={1/(|x|(x^2-1)^(1/2)),
(x≠0)
∞;
(x=0)
不写下面一行，只能说明y'在x=0处没定义，即y'(0)不存在，这与y'(0)=∞又是两码事，所以为了确保严密性，下面的那一行是必不可少的。
但是，我想写成这样的书可不多吧？结果的形式太复杂了，从y'=1/(|x|(x^2-1)^(1/2))中，可以看出：y'在x=0处的极限值正好为∞;
所以，为了简洁起见，就把这个极限值当做了函数值（这样做时，没有进行特殊说明，是有失严密性的），及y'={1/(|x|(x^2-1)^(1/2))在x=0处也就有了定义了，定义y'(0)=1/0=∞。
再举个关于绝对值的例子：已知(lnx)'=1/x;那么我们就说lnx是1/x的原函数，所以很多书上都有∫1/xdx=lnx+c。实际上，1/x是奇函数，那它的原函数应该是偶函数，而lnx是非奇非偶函数，所以当写为∫1/xdx=lnx+c时，我们也要理解为∫1/xdx=ln|x|+c。其实[ln(-x)]'=1/x也是成立的。
我告诉你原因，y=arcsecx有两种值域，国外教材y的主值是一、三象限，国内教材是一、二象限。
即国外教材是[0,π/2)∪(π,3π/2]
，
国内教材是[0,π/2)∪(π/2,π]
。
很显然定义在一、三象限解题非常简便，因为做不定积分换元法，令x=sect，则tant>0而不需考虑开根号的正负问题
绛旓細arcsecx鐨勫鏁帮細1/[x鈭(x²-1)]銆傝В绛旇繃绋嬪涓嬶細璁y=arcsecx锛屽垯secy=x銆備袱杈规眰瀵煎緱锛歴ecytanyy '=1 寰梱'=1/[secytany]=1/[secy鈭(sec²y-1)=1/[x鈭(x²-1)]涓嶆槸鎵鏈夌殑鍑芥暟閮芥湁瀵兼暟锛屼竴涓嚱鏁颁篃涓嶄竴瀹氬湪鎵鏈夌殑鐐逛笂閮芥湁瀵兼暟銆傝嫢鏌愬嚱鏁板湪鏌愪竴鐐瑰鏁板瓨鍦紝鍒欑О鍏...
绛旓細涓夎鍑芥暟鐨勫弽鍑芥暟鏄釜澶氬煎嚱鏁帮紝鍥犱负瀹冨苟涓嶆弧瓒充竴涓嚜鍙橀噺瀵瑰簲涓涓嚱鏁板肩殑瑕佹眰锛屽叾鍥惧儚涓庡叾鍘熷嚱鏁板叧浜庡嚱鏁 y=x 瀵圭О銆傛鎷夋彁鍑哄弽涓夎鍑芥暟鐨勬蹇碉紝骞朵笖棣栧厛浣跨敤浜嗏渁rc+鍑芥暟鍚嶁濈殑褰㈠紡琛ㄧず鍙嶄笁瑙掑嚱鏁般備负闄愬埗鍙嶄笁瑙掑嚱鏁颁负鍗曞煎嚱鏁帮紝灏嗗弽姝ｅ鸡鍑芥暟鐨勫紋闄愬湪-蟺/2鈮鈮は/2锛屽皢y浣滀负鍙嶆寮﹀嚱鏁扮殑涓诲硷紝...
绛旓細y=arcsecx鐨勫弽鍑芥暟鏄痻=secy=1/cosy锛寉鐨勮寖鍥存槸0鈮鈮は涓攜鈮犗/2锛寈鐨勮寖鍥存槸|x|鈮1銆俤x/dy=secytany锛屾墍浠y/dx=1/(dx/dy)=1/(secytany)鐢眡=secy锛宑osy=1/x锛宼any=卤鈭(x^2-1)銆倄锛1鏃讹紝(arcsecx)'=1/(x鈭(x^2-1))銆倄锛-1鏃讹紝(arcsecx)'=-1/(x鈭(x^2-1))銆
绛旓細瀵逛簬鍙嶄笁瑙掑嚱鏁arcsecx锛屽畠鎸囩殑鏄弧瓒硈ec(arcx) = x鐨勮搴︺傚綋鎴戜滑鏈塧rcsecx = 1 - secx锛屽彲浠ュ皢鍏惰浆鍖栦负1 - 1/cosx锛岃繘涓姝ョ畝鍖栦负(cosx - 1)/cosx銆傝繖鎰忓懗鐫arcsecx鐨勫肩瓑浜庝笌cosx鐨勫掓暟宸1鐨勮搴︼紝杩欎釜瑙掑害鐨勪綑寮﹀肩瓑浜庡師cosx鍊煎噺鍘1銆傚彟涓涓叧绯诲紡鏄痵ecx^2 - 1 = tanx^2锛屽畠灞曠ず浜唖ecx...
绛旓細鍥犱负x=1/cos t, cos t=1/x, 鐩存帴鐢╝rccos琛ㄧず锛屼竴鑸爣鍑嗕竴浜涖傚仛杩欑棰樼洰鍑虹幇鍙嶄笁瑙掓椂锛屾渶濂藉彉鎹紝鍙嚭鐜颁笁涓父鐢ㄥ弽涓夎鍑芥暟:鍙嶆鍒囷紝鍙嶄綑寮︼紝鍙嶆寮︺
绛旓細y=arcsinx xE[-pai/2,pai/2]siny=x cosy=鏍癸紙1-x^2)cosy*y'=1 y'=1/cosy=1/鏍癸紙1-x^2)鍚屾牱锛歛rccosx'=-1/鏍(1-x^2) 鍙栬礋鍙锋槸鍥犱负arccosx鏄噺鐨勶紝瀵兼暟灏忎簬0 鍚屾牱锛歛rctanx=1/(1+x^2)arccotx=-1/(1+x^2)arcsecx=y yE[0,pai]secy=x cosy=1/x ...
绛旓細棣栧厛锛屽埄鐢ㄥ井鍒嗙殑鏋侀檺瀹氫箟锛屾垜浠湁sin x 鐨勫鏁板彲浠ラ氳繃琛ㄨ揪寮 (sin(x+鈻硏) - sinx) / (鈻硏) 鏉ヨ绠楋紝鍏朵腑鈻硏瓒嬭繎浜0銆傚皢sin(x+鈻硏)灞曞紑鍚庯紝褰撯柍x鎺ヨ繎0鏃讹紝cos鈻硏杩戜技涓1锛屽洜姝ゅ緱鍒扮殑琛ㄨ揪寮忕畝鍖栦负cosx涔樹互sin鈻硏銆傛帴涓嬫潵锛屾垜浠杩欎釜鏋侀檺杩涜鍒嗘璁＄畻锛宭im (sin鈻硏/鈻硏) 褰撯柍x瓒嬭繎浜0...
绛旓細鍏充簬鍙嶅嚱鏁扮殑姒傚康濡備笅锛氬弽鍑芥暟鐨勬蹇碉紝涓鑸潵璇达紝璁惧嚱鏁y=f(x)(x鈭圓)鐨勫煎煙鏄疌锛岃嫢鎵惧緱鍒颁竴涓嚱鏁癵(y)鍦ㄦ瘡涓澶刧(y)閮界瓑浜巟锛岃繖鏍风殑鍑芥暟x=g(y)(y鈭圕)鍙仛鍑芥暟y=f(x)(x鈭圓)鐨勫弽鍑芥暟锛岃浣渪=f-1(y)銆傚弽鍑芥暟x=f-1(y)鐨勫畾涔夊煙銆佸煎煙鍒嗗埆鏄嚱鏁皔=f(x)鐨勫煎煙銆佸畾涔夊煙銆傛渶鍏锋湁...
绛旓細鍙嶄笁瑙掑嚱鏁版槸涓绉嶅熀鏈垵绛夊嚱鏁般傚畠鏄弽姝ｅ鸡arcsinx锛屽弽浣欏鸡arccosx锛屽弽姝ｅ垏arctanx锛屽弽浣欏垏arccotx锛屽弽姝ｅ壊arcsecx锛屽弽浣欏壊arccscx杩欎簺鍑芥暟鐨勭粺绉帮紝鍚勮嚜琛ㄧず鍏跺弽姝ｅ鸡銆佸弽浣欏鸡銆佸弽姝ｅ垏銆佸弽浣欏垏锛屽弽姝ｅ壊锛屽弽浣欏壊涓簒鐨勮銆傚弽姝ｅ鸡鍑芥暟锛氭寮﹀嚱鏁y=sinx鍦╗-蟺/2锛屜/2]涓婄殑鍙嶅嚱鏁帮紝鍙仛鍙嶆寮﹀嚱鏁般傚弽浣欏鸡...
绛旓細浜屻佸嚱鏁扮殑瀹氫箟 鍑芥暟锛屾渶鏃╃敱涓浗娓呮湞鏁板瀹舵潕鍠勫叞缈昏瘧锛屽嚭浜庡叾钁椾綔銆婁唬鏁板銆嬨備箣鎵浠ヨ繖涔堢炕璇戯紝浠栫粰鍑虹殑鍘熷洜鏄滃嚒姝ゅ彉鏁颁腑鍑褰煎彉鏁拌咃紝鍒欐涓哄郊涔嬪嚱鏁扳濓紝涔熷嵆鍑芥暟鎸囦竴涓噺闅忕潃鍙︿竴涓噺鐨勫彉鍖栬屽彉鍖栵紝鎴栬呰涓涓噺涓寘鍚彟涓涓噺銆傚弽涓夎鍑芥暟鐨勫垎绫伙細1銆佸弽姝ｅ鸡鍑芥暟 姝ｅ鸡鍑芥暟y锛sinx鍦蓟-蟺/2锛...
