《线性代数》证明：等价的两个向量组生成同一个向量空间
这个证明主要是考察对（线性）向量空间的理解，从本质上讲，一个向量空间的结构是清楚的当且仅当我们清楚地把握生成这个空间的基向量和维数。本题证明如下:设向量组
a1,a2,...,an与b1,b2,...bm
(m，n不一定相等)等价，A为a1,a2,...,an生成的线性向量空间，B为b1,b2,...bm生成的空间，往证
A包含于B
且B包含于A
首先
先证A包含于B
任取
x属于A
（往证x属于B），由于A为a1,a2,...,an生成的线性向量空间，故有
x=p1
a1+p2
a2+...+pn
an=（p1
p2
...
pn）(a1
a2
...an)T
又向量组
a1,a2,...,an与b1,b2,...bm等价
故 a1,a2,...,an
可由b1,b2,...bm线性表出
即 (a1
a2
...an)T=Tn*m( b1,b2,...bm)
T
Tn*m为(n*m矩阵)
代入
得
x=p1
a1+p2
a2+...+pn
an=（p1
p2
...
pn）(a1
a2
...an)T=（p1
p2
...
pn）Tn*m( b1,b2,...bm)T
=（q1
q2
...qm）( b1,b2,...bm)T
上式意味着x可由b1,b2,...bm
线性表出，亦即
x
属于
B
故A包含于B
同理
可证
B包含于A
综上
A=B
得证
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