特征值的计算方法 线性代数特征值计算方法
\u5982\u4f55\u8ba1\u7b97\u7279\u5f81\u503c\uff1f\u3000\u3000\u4e00\u822c\u60c5\u51b5\u4e0b\uff0c\u7279\u5f81\u503c\u4e0e\u7279\u5f81\u5411\u91cf\u5bf9\u5e94\u3002
\u5373A=\u03bb\u300a\u03b1\u300b\u4e0d\u77e5\u9053\u4f60\u7684\u610f\u601d\u662f\u5411\u91cf\u7684\u6478\u8fd8\u662f\u03bb\u7684\u6a21\uff0c\u4e0d\u8fc7\u6211\u89c9\u5f97\u5e94\u8be5\u662f\u5b83\u672c\u8eab\uff0c\u54cd\u4eae\u7684\u6a21\u5c31\u662f\u6b63\u5e38\u8ba1\u7b97\u6bcf\u9879\u5e73\u65b9\u76f8\u52a0\u7136\u540e\u5f00\u4e8c\u6b21\u6839\u53f7\u3002
\u3000\u3000\u753b\u77e9\u9635\u4e3a\u884c\u9636\u68af\u5f62\u77e9\u9635\uff0c\u65b9\u6cd5\u5c31\u662f\u7b2c\u4e8c\u884c\u51cf\u7b2c\u4e00\u884c\u76841/3\uff0c\u628a\u7b2c\u4e8c\u884c\u7b2c\u4e00\u4e2a\u5143\u7d20\u6d88\u6389\uff0c\u540c\u7406\u6d88\u6389\u7b2c\u4e09\u56db\u884c\u7684\u7b2c\u4e00\u4e2a\u5143\u7d20\uff0c\u6b64\u65f6\u7b2c\u4e00\u884c\u7684\u5bf9\u89d2\u7ebf\u53ea\u6709\u4e00\u4e2a\u5143\u7d20\uff0c\u7136\u540e\uff0c\u7b2c\u4e8c\u884c\u4e0d\u52a8\uff0c\u6d88\u53bb\u7b2c\u4e8c\u884c\u7b2c\u4e8c\u4e2a\u5143\u7d20\uff0c\u4ee5\u6b64\u7c7b\u63a8\u3002
\u54b3\u54b3\u3002
\u7279\u5f81\u8868\u793a\u5b58\u5728\u4e00\u4e2a\u975e\u96f6\u5411\u91cfa\uff0c\u4f7f\u5f97Aa=\u4ebaa\uff0c\u5373\uff08A-\u4ebaE\uff09a=0\u3002\u800c\u4eba\u7684\u6c42\u6cd5\u662f\u4ee4|A-\u4ebaE|=0\uff0c\u4ece\u800c\u6c42\u51fa\u4eba\u7684\u3002\u9898\u76ee\u4e2dA=
3 1 1
0 2 0
-4 -4 -2
\u6240\u4ee5|A-\u4ebaE|=
3-\u4eba 1 1
diag 0 2-\u4eba0
-4 -4 -2-\u4eba
=-\uff08\u4eba-2\uff09^2(\u4eba+1)
\u4ee4\u4e0a\u5f0f=0\uff0c\u5f97\u51fa\u4eba1=\u4eba2=2\uff0c\u4eba3=-1\u3002\u8bb0\u4f4f2\u4e00\u5b9a\u662f\u91cd\u6839\uff0c\u4e0d\u80fd\u4e22\u6389\u3002\u6402\u7740\u7684\u505a\u6cd5\u4e5f\u662f\u6b63\u786e\u7684\uff0c\u53ea\u662f\u628a|A-\u4ebaE|\u6362\u6210|\u4ebaE-A|\u800c\u5df2\uff0c\u6ca1\u6709\u5dee\u522b\u7684\u3002
设 A 是n阶方阵，如果存在数m和非零n维列向量 x，使得 Ax=mx 成立，则称 m 是A的一个特征值（characteristic value)或本征值（eigenvalue)。非零n维列向量x称为矩阵A的属于（对应于）特征值m的特征向量或本征向量，简称A的特征向量或A的本征向量。
扩展资料
判断相似矩阵的必要条件
设有n阶矩阵A和B，若A和B相似（A∽B），则有：
1、A的特征值与B的特征值相同——λ(A)=λ(B)，特别地，λ(A)=λ(Λ)，Λ为A的对角矩阵；
2、A的特征多项式与B的特征多项式相同——|λE-A|=|λE-B|；
3、A的迹等于B的迹——trA=trB/ ，其中i=1,2,…n（即主对角线上元素的和）；
4、A的行列式值等于B的行列式值——|A|=|B|；
5、A的秩等于B的秩——r(A)=r(B)。[1]
因而A与B的特征值是否相同是判断A与B是否相似的根本依据。
求n阶矩阵A的特征值的基本方法：
根据定义可改写为关系式，为单位矩阵（其形式为主对角线元素为λ- ，其余元素乘以-1）。要求向量具有非零解，即求齐次线性方程组有非零解的值。即要求行列式。 解次行列式获得的值即为矩阵A的特征值。将此值回代入原式求得相应的，即为输入这个行列式的特征向量。
具体操作以右图为例。
定义1设是一个阶方阵（即使一个n*n的矩阵），是一个数，如果方程
(1)
存在非零解向量，则称为的一个特征值，相应的非零解向量称为属于特征值的特征向量．
（1）式也可写成，
(2)
这是个未知数个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充分必要条件是系数行列式
, (3)
即
上式是以为未知数的一元次方程，称为方阵的特征方程．其左端是的次多项式，记作，称为方阵的特征多项式．
==
=
显然，的特征值就是特征方程的解．特征方程在复数范围内恒有解，其个数为方程的次数（重根按重数计算），因此，阶矩阵有个特征值．
设阶矩阵的特征值为由多项式的根与系数之间的关系，不难证明
（Ⅰ）
（Ⅱ）
若为的一个特征值，则一定是方程的根,因此又称特征根，若为方程的重根，则称为的重特征根．方程的每一个非零解向量都是相应于的特征向量，于是我们可以得到求矩阵的全部特征值和特征向量的方法如下：
第一步：计算的特征多项式；
第二步：求出特征方程的全部根，即为的全部特征值；
第三步：对于的每一个特征值，求出齐次线性方程组：
的一个基础解系，则的属于特征值的全部特征向量是
（其中是不全为零的任意实数）．
[注]：若是的属于的特征向量，则也是对应于的特征向量，因而特征向量不能由特征值惟一确定．反之，不同特征值对应的特征向量不会相等，亦即一个特征向量只能属于一个特征值.
由以上讨论可知，对于方阵的每一个特征值，我们都可以求出其全部的特征向量．但对于属于不同特征值的特征向量，它们之间存在什么关系呢？这一问题的讨论在对角化理论中有很重要的作用．对此我们给出以下结论：
定理1 属于不同特征值的特征向量一定线性无关.
特征值是方阵的一种特殊性质，是数，与方阵本身相关。计算特征值的方法如下：1. 假设A是n阶方阵，其特征值为λ，特征向量为x；2. 因为特征向量与特征值相关，即Ax=λx，移项可得到(A-λE)x=0，其中E为n阶单位矩阵；3. 对于非零解，方程(A-λE)x=0有解当且仅当方程系数矩阵(A-λE)的行列式det(A-λE)=0；4. 解出方程det(A-λE)=0的解λ1，λ2，…，λn，即为矩阵A的n个特征值；5. 对于每个特征值λi，求解其对应的特征向量xi，即求解方程(A-λiE)xi=0，得到n个线性无关的特征向量。特征值和特征向量的计算是矩阵分析和线性代数中的重要概念，广泛应用于数学、物理学、工程学等领域。
第一步：计算的特征多项式；
第二步：求出特征方程的全部根，即为的全部特征值；
绛旓細鐗瑰緛鍊肩殑璁＄畻鏂规硶濡備笅锛氬浜庝竴涓猲闃剁煩闃礎锛屽叾鐗瑰緛澶氶」寮忎负|位E-A|锛屽叾涓讳负鏈煡閲忥紝E涓哄崟浣嶇煩闃点備护|位E-A|=0锛岃В鍑何荤殑鍊硷紝绉颁负鐗瑰緛鍊笺傚皢姹傚嚭鐨勭壒寰佸间唬鍏位E-A|锛岃В鍑簗位E-A|=0鐨勫熀纭瑙ｇ郴锛岃鍩虹瑙ｇ郴鐨勭嚎鎬х粍鍚堜篃鏄疉鐨勭壒寰佸悜閲忋傞渶瑕佹敞鎰忕殑鏄紝鐗瑰緛鍊肩殑璁＄畻鏂规硶鍙兘鍥犵煩闃电殑闃舵暟...
绛旓細A伪=位伪.涓よ竟鍚屼箻A^-1 伪=位(A^-1)伪 鍗(A^-1)伪=(1/位)伪 鍒橝鐨勯嗙殑鐗瑰緛鍊间负1/位 濡傚皢鐗瑰緛鍊肩殑鍙栧兼墿灞曞埌澶嶆暟棰嗗煙锛屽垯涓涓箍涔夌壒寰佸兼湁濡備笅褰㈠紡锛欰谓=位B谓 鍏朵腑A鍜孊涓虹煩闃点傚叾骞夸箟鐗瑰緛鍊硷紙绗簩绉嶆剰涔夛級位 鍙互閫氳繃姹傝В鏂圭▼(A-位B)谓=0锛屽緱鍒癲et(A-位B)=0锛堝叾涓璬et鍗...
绛旓細姹俷闃剁煩闃礎鐨鐗瑰緛鍊肩殑鍩烘湰鏂规硶锛氭牴鎹畾涔夊彲鏀瑰啓涓哄叧绯诲紡 E涓哄崟浣嶇煩闃碉紝瑕佹眰鍚戦噺x鍏锋湁闈為浂瑙ｏ紝鍗虫眰榻愭绾挎ф柟绋嬬粍 鏈夐潪闆惰В鐨勫嘉伙紝鍗宠姹傝鍒楀紡 瑙ｆ琛屽垪寮忚幏寰楃殑位鍊煎嵆涓虹煩闃礎鐨勭壒寰佸笺傚皢姝ゅ煎洖浠ｅ叆鍘熷紡姹傚緱鐩稿簲鐨剎锛屽嵆涓鸿緭鍏ヨ繖涓鍒楀紡鐨勭壒寰佸悜閲忋
绛旓細4銆佸鏋滃瓨鍦ㄩ噸澶鐗瑰緛鍊锛屽嵆鏈変袱涓垨浠ヤ笂鐨勭壒寰佸悜閲忓搴斿悓涓涓壒寰佸硷紝闇瑕佷娇鐢ㄥ箍涔夌壒寰佸悜閲忔眰瑙ｅ鏉傜壒寰佸悜閲忋5銆佹渶鍚庡緱鍒扮殑n涓壒寰佸煎拰鍏跺搴旂殑鐗瑰緛鍚戦噺鏋勬垚浜嗙煩闃礎鐨勭壒寰佸煎垎瑙ｃ傛敞鎰忥細鍦ㄥ疄闄璁＄畻涓紝鍙互浣跨敤鐗瑰緛鍊煎垎瑙鐨勬柟娉姹傝В鐭╅樀鐨勭壒寰佸煎拰鐗瑰緛鍚戦噺锛屾垨鑰呬娇鐢ㄨ凯浠ｆ硶锛堝骞傛柟娉曘佸弽骞傛柟娉曘丵R鍒嗚В...
绛旓細5銆佽В鐗瑰緛鏂圭▼锛屽嵆姹傝В det(A - 位I) = 0 杩欎釜澶氶」寮忔柟绋嬨傛牴鎹椤瑰紡鏂圭▼鐨勬ц川锛岃鏂圭▼鏈塶涓鐗瑰緛鍊锛屽叾涓璶鏄煩闃礎鐨勭淮搴︺6銆佹眰瑙ｇ壒寰佸煎悗锛屽彲浠ラ氳繃甯﹀叆鐗瑰緛鍊煎埌 A - 位I 璁＄畻瀵瑰簲鐨勭壒寰佸悜閲忋傞渶瑕佹敞鎰忕殑鏄紝瀵逛簬杈冨ぇ鐨勫疄瀵圭О鐭╅樀锛屾眰瑙ｇ壒寰佸煎彲浠ヤ娇鐢ㄦ暟鍊璁＄畻鏂规硶锛屽闆呭彲姣旇凯浠ｃ丵R鏂规硶绛夈
绛旓細3.鐗瑰緛鏂圭▼鐨勬眰瑙ｏ細鐗瑰緛鏂圭▼det(A-位I)=0鏄竴涓叧浜幬荤殑澶氶」寮忔柟绋嬶紝绉颁负鐗瑰緛鏂圭▼銆傛牴鎹椤瑰紡鐨勬ц川锛岀壒寰佹柟绋嬫湁n涓牴锛屼篃灏辨槸n涓壒寰佸笺傛眰瑙ｇ壒寰佹柟绋嬪彲浠ラ氳繃涓浜涙暟鍊鏂规硶锛屽鐗涢】娉曘佽凯浠ｆ硶绛夈傚浜庤緝灏忕殑鐭╅樀锛屽彲浠ユ墜鍔璁＄畻琛屽垪寮忔潵瑙ｆ柟绋嬨4.鐗瑰緛鍊肩殑鎬ц川锛氱壒寰佸煎叿鏈変竴浜涢噸瑕佺殑鎬ц川銆傞鍏堬紝鐗瑰緛...
绛旓細闂涓锛氳繖涓煩闃电殑鐗瑰緛鍊煎浣曠畝渚挎眰鍑烘潵锛熼棶棰樹簩锛氱煩闃电壒寰佸肩殑姹傜煩闃鐗瑰緛鍊肩殑鏂规硶 Ax=mx锛岀瓑浠蜂簬姹俶锛屼娇寰(mE-A)x=0锛屽叾涓璄鏄崟浣嶇煩闃碉紝0涓洪浂鐭╅樀銆倈mE-A|=0锛屾眰寰楃殑m鍊煎嵆涓篈鐨勭壒寰佸笺倈mE-A| 鏄竴涓猲娆″椤瑰紡锛屽畠鐨勫叏閮ㄦ牴灏辨槸n闃舵柟闃礎鐨勫叏閮ㄧ壒寰佸硷紝杩欎簺鏍规湁鍙兘鐩搁噸澶嶏紝涔熸湁鍙兘鏄...
绛旓細瑙傚療杩欎釜瀹氫箟鍙互鍙戠幇锛岀壒寰佸兼槸涓涓暟锛岀壒寰佸悜閲忔槸涓涓垪鍚戦噺锛屼竴涓煩闃典箻浠ヤ竴涓悜閲忓氨绛変簬涓涓暟涔樹互涓涓悜閲忋傚箍涔夌壒寰佸 濡傚皢鐗瑰緛鍊肩殑鍙栧兼墿灞曞埌澶嶆暟棰嗗煙锛屽垯涓涓箍涔夌壒寰佸兼湁濡備笅褰㈠紡锛欰谓=位B谓 鍏朵腑A鍜孊涓虹煩闃点傚叾骞夸箟鐗瑰緛鍊硷紙绗簩绉嶆剰涔夛級位 鍙互閫氳繃姹傝В鏂圭▼(A-位B)谓=0锛屽緱鍒癲et(A-...
绛旓細鎺ヤ笅鏉ワ紝鎴戜滑闇瑕佹眰瑙ｉ偦鎺ョ煩闃电殑鐗瑰緛鏂圭▼det(A-位I)=0锛屽叾涓瑼鏄偦鎺ョ煩闃碉紝位鏄鐗瑰緛鍊锛孖鏄崟浣嶇煩闃点傝繖涓柟绋嬫湁n涓牴锛屽畠浠氨鏄鍒欏浘鐨勭壒寰佸笺備负浜嗘眰瑙ｇ壒寰佹柟绋嬶紝鎴戜滑鍙互浣跨敤涓浜涙暟鍊鏂规硶锛屽骞傛硶銆侀泤鍙瘮娉曟垨QR绠楁硶绛夈傝繖浜涙柟娉曠殑鍩烘湰鎬濇兂鏄氳繃杩唬璁＄畻鏉ラ艰繎鐗瑰緛鍊笺傚叿浣撴潵璇达紝骞傛硶鏄竴绉嶅父鐢ㄧ殑...
绛旓細|A|=0锛屽垯瀹冨繀鏈鐗瑰緛鍊0锛屽張鍥犱负r(A)=1锛孉X=0鐨勮В绌洪棿鐨勭淮鏁版槸4-r(A)=3锛屼粠鑰0鏄疉鐨勪笁閲嶇壒寰佸硷紝鐢变簬A鐨勫悇琛屽姞璧锋潵閮芥槸4锛屽垯璁綳0=(1,1,1,1)^T锛屼究鏈堿X0=4X0锛屼粠鑰4涔熸槸A鐨勭壒寰佸硷紝鏁匒鐨勫叏閮ㄧ壒寰佸0锛0锛0锛4銆傚垽鏂煩闃靛彲瀵硅鍖栫殑鍏呰鏉′欢锛氱煩闃靛彲瀵硅鍖栨湁涓や釜鍏呰鏉′欢锛...
