设A是n阶可逆方阵，将A的第i行和第j行对换后得到的矩阵记为B．（1）证明B可逆．（2）求AB-1 设A是可逆方阵，将A的第 i 行和第 j 行对换后得到的矩阵...

\u8bbeA\u662fn\u9636\u53ef\u9006\u77e9\u9635\uff0c\u5c06A\u7684\u7b2ci\u884c\u548c\u7b2cj\u884c\u5bf9\u6362\u540e\u5f97\u5230\u77e9\u9635B\uff0c\u8bc1\u660eB\u53ef\u9006\uff0c\u5e76\u6c42AB\uffe31

1.A\u662fn\u9636\u53ef\u9006\u77e9\u9635,\u5219A\u7684\u884c\u5217\u5f0f\u4e0d\u7b49\u4e8e\u96f6,A\u7684\u7b2ci\u884c\u548c\u7b2cj\u884c\u5bf9\u6362\u540e\u5f97\u5230\u77e9\u9635B,\u77e9\u9635B\u4e0e\u77e9\u9635A\u7684\u884c\u5217\u5f0f\u4ec5\u5dee\u4e00\u4e2a\u7b26\u53f7,\u6545\u77e9\u9635B\u7684\u884c\u5217\u5f0f\u4e5f\u4e0d\u7b49\u4e8e\u96f6,\u6545\u77e9\u9635B\u4e5f\u53ef\u9006.
2.\u77e9\u9635B\u662f\u7531A\u7684\u7b2ci\u884c\u548c\u7b2cj\u884c\u5bf9\u6362\u5f97\u5230,\u6545
B=I(i,j)A,\u5176\u4e2dI(i,j)\u662f\u5c06\u5355\u4f4d\u9635I\u4ea4\u6362\u7b2ci,j\u4e24\u884c\u5f97\u7684\u4ea4\u6362\u9635,
B^-1=A^-1*I(i,j)^-1=A^-1*I(i,j)(I(i,j)\u7684\u9006\u662f\u5176\u81ea\u8eab)
AB^-1=AA-1*I(i,j)=I(i,j)
\u6545AB^-1=I(i,j),\u5373AB^-1\u7b49\u4e8e\u5355\u4f4d\u9635I\u4ea4\u6362\u7b2ci,j\u4e24\u884c\u5f97\u7684\u4ea4\u6362\u9635.

1 Bm\u00d7n=Em(i\uff0cj)Am\u00d7n
\u5219|B|=|E(i\uff0cj)A|=|A|\u22600
\u6240\u4ee5B\u53ef\u9006
2 Am\u00d7n=Em(j\uff0ci)Bm\u00d7n
\u5219AB^-1=Em\uff08j\uff0ci)

解答：证明：
（1）
令：E_ij表示单位阵中的第i行和第j行对换，
则由题意B=E_ijA，而E_ij是初等矩阵，是可逆的，
又A是可逆的，
根据逆矩阵的乘积依然是可逆的，得：
B=AE_ij可逆．

（2）
∵B=E_ijA，
∴B^-1=（E_ijA）^-1=A^-1?E_ij^-1=A^-1E_ij，（E_ij的逆矩阵依然为本身）
从而：AB^-1=A?A^-1E_ij=E_ij．

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