在1—100这100个自然数中，任取21个。求证：一定存在四个数，其中有两个数之和等于另两个数之和。 奥数题：在自然数1至100中任取21个数,其中一定有两个数的...
\u57281\u2014\u2014100\u8fd9\u4e00\u767e\u4e2a\u81ea\u7136\u6570\u4e2d,\u4efb\u53d621\u4e2a\u6570\u3002\u8bc1\u660e:\u4e00\u5b9a\u5b58\u5728\u56db\u4e2a\u6570,\u5176\u4e2d\u6709\u4e24\u4e2a\u6570\u4e4b\u548c\u7b49\u4e8e\u53e6\u4e24\u4e2a\u6570\u4e4b\u548c\u7528Ai\u8868\u793a100\u4ee5\u5185\u4e24\u4e2a\u4e0d\u540c\u81ea\u7136\u6570\u4e4b\u548c\u4e3ai\u7684\u96c6\u5408\uff08\u53eb\u62bd\u5c49\u6216\u76d2\u5b50\uff09\uff0c\u5219i\u4e3a3,4,...199\u5171\u4e0d\u8d85\u8fc7197\u4e2a\u3002
\u4efb\u610f21\u4e2a\u5c0f\u4e8e100\u7684\u81ea\u7136\u6570\u4e2d\uff0c\u53d62\u4e2a\u4e0d\u540c\u7684\u6570\uff0c\u8fd9\u6837\u7684\u7ec4\u5408\u6709\uff0cc(21,2)=20*21/2=210\u4e2a
\u5c06\u8fd9\u4e9b210\u4e2a\u7ec4\u5408\uff08\u7684\u7ed3\u679c\uff09\u653e\u5230\u5bf9\u5e94\u7684Ai\u4e2d\uff0c\u7531\u4e8e210>197\u5fc5\u7136\u4f1a\u6709\u67d0\u4e2ak\uff0c\u4f7f\u5f97Ak\u4e2d\u542b\u6709\u4e24\u4e2a\u7ec4\u5408\uff0c\u4e5f\u5c31\u662f\u5b58\u5728\u56db\u4e2a\u6570\uff0c\u6ee1\u8db3\u4e24\u4e2a\u7684\u548c\u7b49\u4e8e\u53e6\u5916\u4e24\u4e2a\u7684\u548c\u3002
\u6709\u4eba\u8bc1\u660e\u4e86\uff0c\u5c0621\u6362\u4e3a16\u4e5f\u662f\u7ed3\u8bba\u6210\u7acb\u7684\u3002
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【证明】21个数中，存在四个数A、B、C、D，满足A+B=C+D,也就是A-C=D-B，问题等价于，一定存在四个数，其中有两个数之差，等于另两个数之差！反设不成立，也就是说，1~100内，能抽取21个数，使得任何两个数之差都不相同！（这些差可以是1，2，3，4，5，....）
而从1~100中抽取两两相邻数之差都不相同的最大集合是（两相邻之差依次递增）{1、2、4、7、11、16、22、29、37、46、56、67、79、92}
总共是14个数，而21个数的话可以从中找到四个数m、n、s、t，使其中m-n=s-t
与反设矛盾！
因此命题得证！
=====================================================================“不能细说”的意思是
任意取21个数，如果要两两的和不一样，那么就肯定有21*20/2=210种（这个是高中的排列组合，就是从21个数中抽两个数，有210种抽法），而1~100中两两之和也无非就是3~199（最小和为1+2，最大和为100+99），总共是200种都不到，小于210，由抽屉原理，必然有两个和是一样的！
======================================================================
所有任意取两数和的个数为C(21,2)=210
而和的范围是2-200
所以一定有重复和
而且由于21个数不重复，所以不会有所选组合有数重复的情况
不懂
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