高数中 收敛数列是什么意思 高等数学上的数列收敛是什么意思？

\u9ad8\u7b49\u6570\u5b66\u4e0a\u7684\u6570\u5217\u6536\u655b\u662f\u4ec0\u4e48\u610f\u601d\uff1f

\u8bbe\u6570\u5217{Xn}\uff0c\u5982\u679c\u5b58\u5728\u5e38\u6570a\uff0c\u5bf9\u4e8e\u4efb\u610f\u7ed9\u5b9a\u7684\u6b63\u6570q\uff08\u65e0\u8bba\u591a\u5c0f\uff09\uff0c\u603b\u5b58\u5728\u6b63\u6574\u6570N\uff0c\u4f7f\u5f97n>N\u65f6\uff0c\u6052\u6709|Xn-a|\u6570\u5217\u5b58\u5728\u552f\u4e00\u6781\u9650\u3002
\u6536\u655b\u6570\u5217\u4e0e\u5176\u5b50\u6570\u5217\u95f4\u7684\u5173\u7cfb\uff1a\u5b50\u6570\u5217\u4e5f\u662f\u6536\u655b\u6570\u5217\u4e14\u6781\u9650\u4e3aa\u6052\u6709|Xn|<M\u82e5\u5df2\u77e5\u4e00\u4e2a\u5b50\u6570\u5217\u53d1\u6563\uff0c\u6216\u6709\u4e24\u4e2a\u5b50\u6570\u5217\u6536\u655b\u4e8e\u4e0d\u540c\u7684\u6781\u9650\u503c\uff0c\u53ef\u65ad\u5b9a\u539f\u6570\u5217\u662f\u53d1\u6563\u7684\u3002\u5982\u679c\u6570\u5217{Xn}\u6536\u655b\u4e8ea\uff0c\u90a3\u4e48\u5b83\u7684\u4efb\u4e00\u5b50\u6570\u5217\u4e5f\u6536\u655b\u4e8ea\u3002

\u6269\u5c55\u8d44\u6599

\u6570\u5217\u7684\u6536\u655b\u6027\u4e0e\u524d\u9762\u6709\u9650\u9879\u65e0\u5173\uff1a\u5373\u6570\u5217\u53bb\u6389\u6709\u9650\u9879\u6216\u589e\u52a0\u6709\u9650\u9879\u4e0d\u5f71\u54cd\u6570\u5217\u7684\u6536\u655b\u6027\uff1b\u5982\u679c\u6570\u5217\u6536\u655b\uff0c\u4e5f\u4e0d\u5f71\u54cd\u6570\u5217\u7684\u6781\u9650\u503c\u3002
\u6536\u655b\u6570\u5217\u7684\u6709\u754c\u6027\uff1a\u5982\u679c\u6570\u5217{an}\u6536\u655b\u4e8ea\uff0c\u5219\u6570\u5217{an}\u6709\u754c\uff0c\u5373\u5b58\u5728M>0\uff0c\u4f7f\u5f97| an|\u2264M\u6052\u6210\u7acb\u3002
\u540c\u65f6\u4e5f\u8bf4\u660e\uff1a
(1)\u5982\u679c\u6570\u5217{an}\u6536\u655b\u4e8ea\uff0c\u5219\u5bf9\u4efb\u610f\u7ed9\u5b9a\u7684\u6b63\u6570\u03b5\uff0can \u6700\u591a\u53ea\u6709\u6709\u9650\u9879\u843d\u5728\u4ee5a\u4e3a\u4e2d\u5fc3\uff0c\u03b5\u4e3a\u534a\u5f84\u7684\u90bb\u57dfU(a,\u03b5)\u5916\u3002
(2) \u5982\u679c\u6570\u5217{an}\u6536\u655ba\uff0c\u5219\u5728\u6b64\u6570\u5217\u4e2d\u4e00\u5b9a\u6709\u6700\u5927\u6570\u6216\u6700\u5c0f\u6570\uff0c\u4f46\u4e0d\u4e00\u5b9a\u540c\u65f6\u6709\u6700\u5927\u6570\u548c\u6700\u5c0f\u6570\u3002
(3) \u6570\u5217\u6536\u655b\u4e00\u5b9a\u6709\u754c\uff0c\u4f46\u662f\u6709\u754c\u7684\u6570\u5217\u4e0d\u4e00\u5b9a\u6536\u655b\u3002
\u53c2\u8003\u8d44\u6599\u6765\u6e90\uff1a\u767e\u5ea6\u767e\u79d1-\u6536\u655b\u6570\u5217

\u6709\u6781\u9650\u7684\u6570\u5217\u4e0d\u4e00\u5b9a\u5355\u8c03\u3002
\u9996\u5148\u6570\u5217\u6536\u655b\u7684\u5b9a\u4e49\uff0c\u5bf9\u4efb\u53d6\u7684e>0\uff0c\u5b58\u5728N\uff0c\u5f53n>N\uff0c\u6709 |a(n)-A|<e \uff1b
\u6ee1\u8db3\u4e0a\u8ff0\u5b9a\u4e49\uff0c\u5c31\u79f0\u6570\u5217{a(n)}\u6536\u655b\uff0c\u4e14\u6536\u655b\u4e8eA\u3002
\u5982\u6570\u5217a(n)=sin3n/3^n\uff0c\u5206\u5b50\u6709\u754c\uff0c\u5206\u6bcd\u8d8b\u4e8e\u6b63\u65e0\u7a77\u5927\uff0c
\u90a3\u4e48a(n)=sin3n/3^n\u6536\u655b\u52300\uff0c\u4f46\u5374\u4e0d\u662f\u5355\u8c03\u7684\u3002

设数列{Xn}，如果存在常数a，对于任意给定的正数q（无论多小），总存在正整数N，使得n>N时，恒有|Xn-a|<q成立，就称数列{Xn}收敛于a（极限为a），即数列{Xn}为收敛数列（Convergent Sequences）。数列收敛<=>数列存在唯一极限。

收敛数列与其子数列间的关系：子数列也是收敛数列且极限为a恒有|Xn|<M若已知一个子数列发散，或有两个子数列收敛于不同的极限值，可断定原数列是发散的。如果数列{Xn}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛于a。

扩展资料

数列的收敛性与前面有限项无关：即数列去掉有限项或增加有限项不影响数列的收敛性；如果数列收敛，也不影响数列的极限值。

收敛数列的有界性：如果数列{an}收敛于a，则数列{an}有界，即存在M>0，使得| an|≤M恒成立。

同时也说明：

(1)如果数列{an}收敛于a，则对任意给定的正数ε，an 最多只有有限项落在以a为中心，ε为半径的邻域U(a,ε)外。

(2) 如果数列{an}收敛a，则在此数列中一定有最大数或最小数，但不一定同时有最大数和最小数。

(3) 数列收敛一定有界，但是有界的数列不一定收敛。

参考资料来源：百度百科-收敛数列

收敛是高数中对于函数及数列极限的一个定义，也就是极限。在数列中即为随着项数n趋近于正无穷的变化过程中，an数列所对应的值无限趋向于一个界，但是不会达到。也可以说它的极限是这个数。 用数学定理解释就是　设 {An} 为实数列，a 为定数．若对任给的正数 ε，总存在正整数N，使得当 n>N 时有∣An-a∣<ε 则称数列 {An} 收敛于 a，定数 a 称为数列 {Xn} 的极限

收敛于一个数就是小于这个数、它的极限是这个数

就是有极限的数列。

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