数学期望和方差公式是什么？ 数学期望和方差公式是什么？
\u6570\u5b66\u671f\u671b\u548c\u65b9\u5dee\u516c\u5f0f\u6709\u54ea\u4e9b\uff1f\u6570\u5b66\u671f\u671b\u548c\u65b9\u5dee\u516c\u5f0f\u6709\uff1aDX=E(X)^2-(EX)^2\uff1bEX=1/P\uff0cDX=p^2/q\uff1bEX=np\uff0cDX=np(1-p)\u7b49\u7b49\u3002
\u5bf9\u4e8e2\u9879\u5206\u5e03(\u4f8b\u5b50\uff1a\u5728n\u6b21\u8bd5\u9a8c\u4e2d\u6709K\u6b21\u6210\u529f\uff0c\u6bcf\u6b21\u6210\u529f\u6982\u7387\u4e3aP\uff0c\u5176\u5206\u5e03\u5217\u6c42\u6570\u5b66\u671f\u671b\u548c\u65b9\u5dee)\u6709EX=np\uff0cDX=np(1-p)\u3002
n\u4e3a\u8bd5\u9a8c\u6b21\u6570 p\u4e3a\u6210\u529f\u7684\u6982\u7387\u3002
\u5bf9\u4e8e\u51e0\u4f55\u5206\u5e03(\u6bcf\u6b21\u8bd5\u9a8c\u6210\u529f\u6982\u7387\u4e3aP\uff0c\u4e00\u76f4\u8bd5\u9a8c\u5230\u6210\u529f\u4e3a\u6b62)\u6709EX=1/P\uff0cDX=p^2/q\u3002
\u8fd8\u6709\u4efb\u4f55\u5206\u5e03\u5217\u90fd\u901a\u7528\u7684\u3002
DX=E(X)^2-(EX)^2\u3002
\u5728\u6982\u7387\u8bba\u548c\u7edf\u8ba1\u5b66\u4e2d\uff0c\u6570\u5b66\u671f\u671b(mean)\uff08\u6216\u5747\u503c\uff0c\u4ea6\u7b80\u79f0\u671f\u671b\uff09\u662f\u8bd5\u9a8c\u4e2d\u6bcf\u6b21\u53ef\u80fd\u7ed3\u679c\u7684\u6982\u7387\u4e58\u4ee5\u5176\u7ed3\u679c\u7684\u603b\u548c\uff0c\u662f\u6700\u57fa\u672c\u7684\u6570\u5b66\u7279\u5f81\u4e4b\u4e00\u3002\u5b83\u53cd\u6620\u968f\u673a\u53d8\u91cf\u5e73\u5747\u53d6\u503c\u7684\u5927\u5c0f\u3002
\u9ad8\u4e2d\u6570\u5b66\u671f\u671b\u4e0e\u65b9\u5dee\u516c\u5f0f\u5e94\u7528\uff1a
1\uff09\u968f\u673a\u7092\u80a1\u3002
\u968f\u673a\u7092\u80a1\u4e5f\u5c31\u662f\u95ed\u7740\u773c\u775b\u5728\u80a1\u5e02\u4e2d\u6311\u4e00\u53ea\u80a1\u7968\uff0c\u5e76\u4e14\u5047\u8bbe\u6b62\u635f\u548c\u6b62\u76c8\u7ebf\u90fd\u4e3a10%\uff0c\u56e0\u4e3a\u662f\u968f\u673a\u9009\u80a1\uff0c\u90a3\u4e48\u80dc\u7387=\u8d25\u7387\uff0c\u7531\u4e8e\u5370\u82b1\u7a0e\u3001\u4f63\u91d1\u548c\u624b\u7eed\u8d39\u7684\u5b58\u5728\uff0c\u80dc\u7387=\u8d25\u7387<50%\uff0c\u6700\u540e\u7684\u6570\u5b66\u671f\u671b\u4e00\u5b9a\u4e3a\u8d1f\uff0c\u53ef\u89c1\u968f\u673a\u7092\u80a1\uff0c\u957f\u671f\u7684\u540e\u679c\uff0c\u5fc5\u8f93\u65e0\u7591\u3002
2\uff09\u8d8b\u52bf\u7092\u80a1\u3002
\u8d8b\u52bf\u7092\u80a1\u662f\u5efa\u7acb\u5728\u60ef\u6027\u7406\u8bba\u4e0a\u7684\uff0c\u80dc\u7387\u8ddf\u7ecf\u9a8c\u6709\u5f88\u5927\u5173\u7cfb\uff0c\u57fa\u672c\u4e0a\u5e73\u5747\u80dc\u7387\u53ef\u4ee5\u5047\u5b9a\u4e3a60%\uff0c\u5219\u8d25\u7387\u4e3a40%\uff0c\u4e00\u822c\u8d8b\u52bf\u6295\u8d44\u8005\u672c\u7740\u8d5a\u70b9\u5c31\u8dd1\uff0c\u4e8f\u4e86\u5957\u6b7b\u4e0d\u5356\u7684\u539f\u5219\uff0c\u5982\u6da810%\u6b62\u76c8\uff0c\u8dcc50%\u6b62\u635f\uff0c\u6570\u5b66\u671f\u671b\u4e3aEP=60%*10%-40%*50%=-0.14\uff0c\u5fc5\u8f93\u65e0\u7591\u3002
\u65b9\u7a0bD\uff08X\uff09=E{[X-E\uff08X\uff09]^2}=E\uff08X^2\uff09 - [ E\uff08X\uff09]^2\uff0c\u5176\u4e2d E\uff08X\uff09\u8868\u793a\u6570\u5b66\u671f\u671b\u3002
\u5bf9\u4e8e\u8fde\u7eed\u578b\u968f\u673a\u53d8\u91cfX\uff0c\u82e5\u5176\u5b9a\u4e49\u57df\u4e3a\uff08a\uff0cb\uff09\uff0c\u6982\u7387\u5bc6\u5ea6\u51fd\u6570\u4e3af\uff08x\uff09\uff0c\u8fde\u7eed\u578b\u968f\u673a\u53d8\u91cfX\u65b9\u5dee\u8ba1\u7b97\u516c\u5f0f\uff1aD\uff08X\uff09=\uff08x-\u03bc\uff09^2 f\uff08x\uff09 dx\u3002
\u5728\u6982\u7387\u8bba\u548c\u7edf\u8ba1\u5b66\u4e2d\uff0c\u6570\u5b66\u671f\u671b(mean)\uff08\u6216\u5747\u503c\uff0c\u4ea6\u7b80\u79f0\u671f\u671b\uff09\u4e3a\u8bd5\u9a8c\u4e2d\u6bcf\u6b21\u53ef\u80fd\u7ed3\u679c\u7684\u6982\u7387\u4e58\u4ee5\u5176\u7ed3\u679c\u7684\u603b\u548c\uff0c\u662f\u6700\u57fa\u672c\u7684\u6570\u5b66\u7279\u5f81\u4e4b\u4e00\u3002\u5b83\u53cd\u6620\u968f\u673a\u53d8\u91cf\u5e73\u5747\u53d6\u503c\u7684\u5927\u5c0f\u3002
\u6269\u5c55\u8d44\u6599\uff1a
\u8bbeC\u4e3a\u5e38\u6570\uff0c\u5219D(C) = 0\uff08\u5e38\u6570\u65e0\u6ce2\u52a8\uff09\uff1b
D(CX )=C2D(X ) \uff08\u5e38\u6570\u5e73\u65b9\u63d0\u53d6\uff0cC\u4e3a\u5e38\u6570\uff0cX\u4e3a\u968f\u673a\u53d8\u91cf\uff09\uff1b
\u8bc1\uff1a\u7279\u522b\u5730 D(-X ) = D(X ), D(-2X ) = 4D(X )\uff08\u65b9\u5dee\u65e0\u8d1f\u503c\uff09
\u82e5X \u3001Y \u76f8\u4e92\u72ec\u7acb\uff0c\u5219\u8bc1\uff1a\u8bb0\u5219
\u524d\u9762\u4e24\u9879\u6070\u4e3a D(X)\u548cD(Y)\uff0c\u7b2c\u4e09\u9879\u5c55\u5f00\u540e\u4e3a
\u5f53X\u3001Y \u76f8\u4e92\u72ec\u7acb\u65f6\uff0c
\u6545\u7b2c\u4e09\u9879\u4e3a\u96f6\u3002
\u53c2\u8003\u8d44\u6599\u6765\u6e90\uff1a\u767e\u5ea6\u767e\u79d1-\u65b9\u5dee\u5206\u5e03
数学期望和方差公式为：EX=npDX=np（1-p）、EX=1/PDX=p^2/q、DX=E（X）^2-（EX）^2。
对于2项分布（例子：在n次试验中有K次成功，每次成功概率为P，它的分布列求数学期望和方差）有EX=npDX=np（1-p）。
n为试验次数p为成功的概率，对于几何分布（每次试验成功概率为P，一直试验到成功为止）有EX=1/PDX=p^2/q。还有任何分布列都通用的，DX=E（X）^2-（EX）^2。
关于数学期望的历史故事
在17世纪，有一个赌徒向法国著名数学家帕斯卡挑战，给他出了一道题目：甲乙两个人赌博，他们两人获胜的机率相等，比赛规则是先胜三局者为赢家，一共进行五局，赢家可以获得100法郎的奖励。
当比赛进行到第四局的时候，甲胜了两局，乙胜了一局，这时由于某些原因中止了比赛，那么如何分配这100法郎才比较公平？用概率论的知识，不难得知，甲获胜的可能性大，乙获胜的可能性小。
因为甲输掉后两局的可能性只有(1/2)×(1/2）=1/4，也就是说甲赢得后两局或后两局中任意赢一局的概率为1－(1/4)=3/4，甲有75%的期望获得100法郎；而乙期望赢得100法郎就得在后两局均击败甲，乙连续赢得后两局的概率为(1/2)*(1/2)=1/4，即乙有25%的期望获得100法郎奖金。
可见，虽然不能再进行比赛，但依据上述可能性推断，甲乙双方最终胜利的客观期望分别为75%和25%，因此甲应分得奖金的100*75%=75(法郎)，乙应分得奖金的的100×25%=25(法郎)。这个故事里出现了“期望”这个词，数学期望由此而来。
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