圆台表面积的推导过程？ 如何推导圆台的表面积和体积计算公式？
\u5706\u53f0\u7684\u4fa7\u9762\u79ef\u516c\u5f0f\u7684\u63a8\u5bfc\u8fc7\u7a0b\u662f\u600e\u4e48\u6837\u7684\uff1f\u662f\u6309\u4fa7\u9762\u5c55\u5f00\u56fe\u53bb\u8ba1\u7b97\u7684\u3002
\u8bbe\u5706\u53f0\u7684\u4e0a\u4e0b\u5e95\u9762\u534a\u5f84\u5206\u522b\u4e3ar'\uff0cr\uff0c\u6bcd\u7ebf\u957f\u4e3al\u3002
\u5219\u5176\u4fa7\u9762\u5c55\u5f00\u56fe\u662f\u4e00\u4e2a\u6247\u73af\uff0c\u5c0f\u6247\u5f62\u7684\u5f27\u957f\u4e3a2\u03c0r'\uff0c\u5927\u6247\u5f62\u7684\u5f27\u957f\u4e3a2\u03c0r\u3002
\u8bbe\u5c0f\u6247\u5f62\u7684\u534a\u5f84\u4e3ax\uff0c\u5219\u5927\u6247\u5f62\u7684\u534a\u5f84\u4e3ax+l\uff0c\u5219x/(x+l)=r'/r\uff0crx=r'(x+l)\u3002
\u6240\u4ee5\uff1a
S\u5706\u53f0\u4fa7\uff1dS\u5927\u6247\u5f62 \uff0dS\u5c0f\u6247\u5f62=\u03c0r(x+l)-\u03c0r'x=\u03c0rx+\u03c0rl -\u03c0r'x=\u03c0r'(x+l)+\u03c0rl -\u03c0r'x=\u03c0(r+r')l\u3002
\u6269\u5c55\u8d44\u6599\uff1a
\u5706\u53f0\u7684\u6027\u8d28\uff1a
1\u3001\u5e73\u884c\u4e8e\u5e95\u9762\u7684\u622a\u9762\u662f\u5706\u3002
2\u3001\u8fc7\u8f74\u7684\u622a\u9762\u662f\u7b49\u8170\u68af\u5f62\u3002
3\u3001\u540c\u522b\u7684\u68f1\u53f0\u4e00\u6837\uff0c\u82e5\u5b83\u662f\u4e00\u4e2a\u5706\u9525\u4f53\u5728½\u5904\u622a\u65ad\uff0c\u5219\u4e0a\u5e95\u534a\u5f84\u4e5f\u5e94\u4e3a\u4e0b\u5e95\u76841/2\uff0c\u622a\u4e0b\u9762\u79ef\u662f\u6574\u4e2a\u5706\u9525\u9762\u79ef\u76841/7.\u8fc7\u5706\u53f0\u4fa7\u9762\u4e00\u70b9\u6709\u4e14\u53ea\u6709\u4e00\u6761\u6bcd\u7ebf\u3002
4\u3001\u5982\u679c\u6cbf\u4e00\u4e2a\u76f4\u89d2\u68af\u5f62\u5782\u76f4\u4e8e\u5e95\u8fb9\u7684\u8170\u65cb\u8f6c\u4e00\u5468\uff0c\u5c06\u5f97\u5230\u4e00\u4e2a\u5706\u53f0\u3002
5\u3001\u5706\u53f0\u4efb\u610f\u4e24\u6761\u6bcd\u7ebf\u5ef6\u957f\u540e\u4ea4\u4e8e\u4e00\u70b9\u3002
S=\u03c0(r'2+r2+r'l+rl)
\u6700\u7b80\u5355\u7684\u662f\u4f7f\u7528\u6781\u9650\u7684\u601d\u60f3\uff0c\u5c06\u5706\u53f0\u6a2a\u622a\u6210\u65e0\u6570\u4e2a\u5c0f\u5706\u53f0\uff0c\u5219\u6bcf\u4e2a\u5706\u53f0\u53ef\u4ee5\u8fd1\u4f3c\u7684\u770b\u6210\u4e00\u4e2a\u5706\u67f1\uff0c\u90a3\u4e48\u518d\u4f7f\u7528\u5fae\u79ef\u5206\u5373\u53ef\u6c42\u89e3\uff1aS\u4fa7==\u222b(0\u5230l)2\u03c0dz=\u03c0\uff08r1+r2)l \u5176\u4e2dl \u4e3a\u5706\u53f0\u6bcd\u7ebf\u957f\uff0cr1\uff0cr2\u4e3a\u4e0a\u4e0b\u5706\u534a\u5f84\u7531\u6b64S=S\u4fa7+S\u4e0a+S\u4e0b=\u03c0\uff08r1+r2)l +\u03c0r12+\u03c0r22=\u03c0(r'2+r2+r'l+rl) \u5f53\u7136\u7528\u65cb\u8f6c\u4f53\u8868\u9762\u79ef\u516c\u5f0f\u3002\u3002\u3002S=2\u03c0\u222bydx \u5176\u4e2dy=(r2-r1)x/L+r1 \u4e5f\u53ef\u6c42\u89e3S\u4fa7\uff0c\u4f46\u90fd\u662f\u9ad8\u7b49\u6570\u5b66\uff0c
\u53e6\u5916\u9ad8\u4e2d\u6570\u5b66\u4e0d\u8981\u6c42\u5706\u53f0\u8868\u9762\u79ef\u516c\u5f0f\u7684\u63a8\u5bfc\uff0c\u53ea\u8981\u8bb0\u4f4f\u3002
圆台的表面积公式：S=πr²+πR²+πRl+πrl=π(r²+R²+Rl+rl)。
r－上底半径、R－下底半径、h－高、l—母线=根号下[（R-r）²+h²]
设圆台的上下底面半径分别为r'，r，母线长为l。
则其侧面展开图是一个扇环，小扇形的弧长为2πr'，大扇形的弧长为2πr。
设小扇形的半径为x，则大扇形的半径为x+l，则x/(x+l)=r/R，Rx=r(x+l)。
所以：S圆台侧＝S大扇形 －S小扇形=πR(x+l)-πrx=πRx+πRl -πrx=πr(x+l)+πRl -πrx=π(R+r)l。
扩展资料
以直角梯形垂直于底边的腰所在直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫做圆台．旋转轴叫做圆台的轴。
直角梯形上、下底旋转所成的圆面称为圆台的上、下底面，另一腰旋转所成的曲面称为圆台的侧面，侧面上各个位置的直角梯形的腰称为圆台的母线。
圆台的轴上的梯形的腰的长度叫做圆台的高，圆台的高也是上、下底面间的距离。圆台也可认为是圆锥被它的轴的两个垂直平面所截的部分，因此也可称为“截头圆锥”。
参考资料来源：百度百科-圆台
可以通过圆锥侧面积和体积导出，圆台是圆锥切割而成。
圆锥公式：S = PI * r * l，V = 1/3 * PI * r^2 * h (其中，PI 圆周率，r 底面半径，l 圆锥母线长，h为圆锥高度)
侧面积：上圆锥：S1 = PI * r1 * l1，整个圆锥：S2 = PI * r2 * (l1 + l2)，
圆台面积 S = S2 - S1，根据三角形相似，l1/l2 = r1/(r2 - r1)，所以 l1 = r1/(r2 - r1) * l2，
所以 S =PI * r2 * (r1/(r2 - r1) * l2 + l2) - PI * r1 * r1/(r2 - r1) * l2，
化简得 S = PI * (r1 + r2) * l2，其中 r1 为圆台上底面半径，r2 为圆台下底面半径，l2 为圆台母线。
性质
平行于底面的截面是圆。
过轴的截面是等腰梯形。
同别的棱台一样，若它是一个圆锥体在½处截断，则上底半径也应为下底的1/2，截下面积是整个圆锥面积的1/7.过圆台侧面一点有且只有一条母线。
如果沿一个直角梯形垂直于底边的腰旋转一周，将得到一个圆台。
圆台任意两条母线延长后交于一点。
注：有几个重要步骤不能显示，所以请打开参考链接！！！）
圆台的体积和表面积
用平行于底面的平面切割圆锥时，上部分仍是圆锥，下部分成为圆台。
圆台的上下两个平面是平行的，侧面是圆锥的一部分，它显然是曲面。
切割高度为h的圆锥，做成圆台，将下底面的半径记这r1，上底面的半径记为r2；将高度h分为两个，圆台的高度记为h1，上圆锥部分的高度记为h2。
首先，由于两个相似形的面积比是相应项之比的平方，体积比是相应项之比的立方，参见图3．10有
另外，由h2∶h＝r2∶r1有r1h2＝r2h，
r1h2＝r2(h1+h2)，r1h2－r2h2
＝r2h1
将②代入①，
由此可知，如果知道上底面、下底面的半径和圆台的高度，即可求出圆台的体积，在此式中也有π。
下面求圆台的表面积(全表面积)。这样的问题用展开图描绘比较容易理解。
因此，参看图3－11。
因为上底面和下底面都是圆，所以其面积为πr22+πr12＝π(r22+r12)，侧面面积为
(侧面的面积)＝πr1l－πr2l2
＝π〔r1(l1+l2)－r2l2〕
＝π〔r1l1+l2(r1－r2)〕
①
另外，因为r2∶r1＝l2∶l
及r2∶r1＝l2∶(l1+l2)
有r2(l1+l2)＝r1l2
r2l1+r2l2＝r1l2，r2l1＝l2(r1－r2
)
将②式代入①式，有
＝π(r1l1+r2l1)
＝πl1(r1+r2)
由此可知，为了求圆台的表面积，可求出上底面和下底面的半径及斜高(不是高度，而是母线的一部分)，即可像下面那样求表面积。
(表面积)＝(上、下两个圆的面积)+(侧面积)
＝π(r22+r12)+πl1(r1+r2)
＝π(r1l1+r22+r12+r2l1)
＝π｛r1(l1+r1)+r2(l1+r2)｝
在此，π也起着重要作用。
重新整理写出圆台的体积V和表面积S的计算公式：
S＝π〔r1(l1+r1)+r2(l1+r2)〕
百度文库图片
最简单的方法
上底半径r,下底为R，母线长l，圆台侧面可以当做一个曲边梯形处理。
上底面积3.14r*r 下底3.14R*R 恻面积3.14(r+R)*l
三个面积加起来就行了
圆台侧面积也可以用大圆锥侧面减小圆锥侧面求的，比较麻烦。
可设小圆锥母线长X X/（X+l）=r/（R+r）
X=rl/R
大圆锥母线长为l+X
侧面积3.14*(l+X)*R-3.14*X*r
就是(这里的1(一竖)是母线的意思)
上底半径r,下底为R,母线长l,圆台侧面可以当做一个曲边梯形处理.
上底面积3.14r*r
下底3.14R*R
恻面积3.14(r+R)*l
三个面积加起来
圆台侧面积也可以用大圆锥侧面减小圆锥侧面求的,但比较麻烦.
可设小圆锥母线长X，
X/（X+l）=r/（R+r）
X=rl/R
大圆锥母线长为l+X
侧面积3.14*(l+X)*R-3.14*X*r
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